نموذج Z N

ال${\displaystyle Z_{N}}$يُعدّ نموذج (المعروف أيضًا باسم نموذج الساعة ) نموذجًا إحصائيًا ميكانيكيًا مبسطًا للدوران المغزلي . وهو تعميم لنموذج إيزينغ . على الرغم من إمكانية تعريفه على أي رسم بياني ، إلا أنه قابل للتكامل فقط على الشبكات أحادية وثنائية الأبعاد ، في حالات خاصة قليلة.

ال${\displaystyle Z_{N}}$يتم تعريف النموذج عن طريق تعيين قيمة دوران عند كل عقدة${\displaystyle r}$على رسم بياني، حيث تأخذ الدورات قيمًا${\displaystyle s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}}$، أين${\displaystyle q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$وبالتالي، تأخذ اللفات قيمًا على شكل جذور مركبة للوحدة . وبشكل تقريبي، يمكننا اعتبار اللفات المخصصة لكل عقدة من العقدة${\displaystyle Z_{N}}$النموذج يشير إلى أي من${\displaystyle N}$اتجاهات متساوية البعد. أوزان بولتزمان لحافة عامة${\displaystyle rr'}$نكون:

${\displaystyle w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}}$

أين${\displaystyle *}$يشير إلى الاقتران المعقد و${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}}$ترتبط بقوة التفاعل على طول الحافة${\displaystyle rr'}$. لاحظ أن${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{Nk}^{\left(rr'\right)}}$و${\displaystyle x_{0}}$غالباً ما يتم ضبطها على 1. أوزان بولتزمان (ذات القيم الحقيقية) ثابتة تحت التحويلات.${\displaystyle s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}}$و${\displaystyle s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}}$، على غرار الدوران والانعكاس العالميين على التوالي.

هناك فئة من الحلول لـ${\displaystyle Z_{N}}$نموذج مُعرَّف على شبكة مربعة غير متجانسة بشكل عام . إذا كان النموذج ذاتي التناظر بمعنى كرامرز-وانييه ، وبالتالي حرجًا ، وكانت الشبكة بحيث يوجد وزنان محتملان.${\displaystyle x_{k}^{1}}$و${\displaystyle x_{k}^{2}}$بالنسبة لاتجاهي الحافة المحتملين، يمكننا إدخال المعلمة التالية في${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)}$

${\displaystyle x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)}$–

باشتراط تحقق علاقة الازدواجية وعلاقة النجمة والمثلث ، التي تضمن التكامل ، يصبح من الممكن إيجاد الحل:

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

مع${\displaystyle x_{0}=1}$هذه الحالة بالذات من${\displaystyle Z_{N}}$يُطلق على هذا النموذج غالبًا اسم نموذج FZ، نسبةً إلى ف. أ. فاتيف وأ. ب. زامولودتشيكوف اللذين قاما بحساب هذا الحل لأول مرة. يقترب نموذج FZ من نموذج XY في النهاية عندما${\displaystyle N\rightarrow \infty }$كما أنها حالة خاصة من نموذج بوتس الكيرالي ونموذج كاشيوارا-ميوا .

كما هو الحال بالنسبة لمعظم نماذج الشبكة في الميكانيكا الإحصائية ، لا توجد حلول دقيقة معروفة لـ${\displaystyle Z_{N}}$النموذج في ثلاثة أبعاد. أما في بعدين، فيمكن حله بدقة على شبكة مربعة لقيم معينة من${\displaystyle N}$و/أو "الأوزان"${\displaystyle x_{k}}$ولعلّ أشهر مثال على ذلك هو نموذج إيزينغ ، الذي يسمح بوجود دوران في اتجاهين متعاكسين (أي${\displaystyle s_{r}=\pm 1}$هذا هو بالضبط${\displaystyle Z_{N}}$نموذج لـ${\displaystyle N=2}$وبالتالي${\displaystyle Z_{N}}$يمكن اعتبار هذا النموذج تعميمًا لنموذج إيزينغ . وهناك نماذج أخرى قابلة للحل بدقة، تُقابل حالات خاصة من هذا النموذج.${\displaystyle Z_{N}}$يتضمن النموذج نموذج بوتس ثلاثي الحالات ، مع${\displaystyle N=3}$و${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{c}}$، أين${\displaystyle x_{c}}$هي قيمة حرجة معينة (FZ)، ونموذج أسكين-تيلر الحرج حيث${\displaystyle N=4}$.

نسخة كمومية من${\displaystyle Z_{N}}$يمكن بناء نموذج الساعة بطريقة مماثلة لنموذج إيزينغ ذي المجال المستعرض . ويكون الهاميلتوني لهذا النموذج كما يلي:

${\displaystyle H=-J\left[\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right]}$

هنا، تشير الرموز السفلية إلى مواقع الشبكة، والمجموع${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$يتم ذلك على أزواج من مواقع الجوار الأقرب${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$مصفوفات الساعة${\displaystyle X_{j}}$و${\displaystyle Z_{j}}$هي تعميمات لمصفوفات باولي التي تحقق

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

و

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

أين${\displaystyle \delta _{j,k}}$يساوي 1 إذا${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$هي نفس الموقع، وصفر في غير ذلك.${\displaystyle J}$هو عامل أولي ذو أبعاد طاقة، و${\displaystyle g}$وهو معامل اقتران آخر يحدد القوة النسبية للمجال الخارجي مقارنة بتفاعل الجوار الأقرب.

• فاتيف وزامولودتشيكوف (1982)؛ "حلول ذاتية التناظر لعلاقات النجمة والمثلث في${\displaystyle Z_{N}}$-نماذج،" رسائل الفيزياء أ ، 92، ص  37-39
• MA Rajabpour و J. Cardy (2007)؛ "البارافيرميونات الهولومورفية المنفصلة في الشبكة${\displaystyle Z_{N}}$نماذج" J. Phys. A 22 40، 14703 – 14714