دوال أبيل الإهليلجية

في الرياضيات، تُعدّ دوال أبيل الإهليلجية نوعًا خاصًا من الدوال الإهليلجية ، وقد وضعها عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل . نشر أبيل بحثه "Recherches sur les Fonctions elliptiques" في مجلة كريل عام 1827. ^{[ 1 ]} وكان هذا أول عمل منشور فعليًا حول الدوال الإهليلجية. ^{[ 2 ]} كما أثّر عمل أبيل في الدوال الإهليلجية على دراسات جاكوبي في هذا المجال، والذي أصبح كتابه "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" (المنشور عام 1829) مرجعًا أساسيًا في الدوال الإهليلجية. ^{[ 3 ]}

كانت نقطة انطلاق آبل هي التكاملات الإهليلجية التي درسها أدريان ماري ليجندر بتفصيل كبير . بدأ أبحاثه عام ١٨٢٣ عندما كان لا يزال طالبًا. وعلى وجه الخصوص، نظر إليها على أنها دوال مركبة كانت آنذاك لا تزال في بداياتها. في السنوات اللاحقة، واصل آبل استكشاف هذه الدوال. كما حاول تعميمها لتشمل دوالًا ذات دورات أكثر، لكن يبدو أنه لم يكن في عجلة من أمره لنشر نتائجه.

لكن في مطلع عام ١٨٢٧، كتب عرضه الأول المطوّل بعنوان " أبحاث حول الدوال الإهليلجية" (Recherches sur les fonctions elliptiques) الذي عرض فيه اكتشافاته. ^{[ ٤ ]} وفي نهاية العام نفسه، اطلع على أعمال كارل غوستاف جاكوبي حول التحويلات الجديدة للتكاملات الإهليلجية. حينها، أنجز آبل الجزء الثاني من مقالته حول الدوال الإهليلجية، وبيّن في ملحق كيف يمكن استنتاج نتائج تحويلات جاكوبي بسهولة. ^{[ ٥ ] [ ٣ ]} وعندما رأى منشور جاكوبي التالي، حيث استخدم الدوال الإهليلجية لإثبات نتائجه دون الإشارة إلى آبل، وجد عالم الرياضيات النرويجي نفسه في صراع مع جاكوبي حول الأسبقية. أنهى جاكوبي عدة مقالات جديدة حول قضايا ذات صلة، وحدد تاريخها لأول مرة، لكنه توفي بعد أقل من عام في عام 1829. ^{[ 6 ]} في هذه الأثناء، أنجز جاكوبي عمله العظيم "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" حول الدوال الإهليلجية، والذي نُشر في العام نفسه ككتاب. وقد ساهم هذا العمل في تحديد الشكل القياسي للدوال الإهليلجية في السنوات اللاحقة. ^{[ 6 ]}

ضع في اعتبارك التكامل الإهليلجي من النوع الأول بالشكل المتناظر التالي: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \alpha (x):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$مع${\displaystyle c,e\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \alpha }$هي دالة فردية متزايدة على الفترة${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{c}}},{\tfrac {1}{c}}{\bigr ]}}$بحد أقصى: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\omega \over 2}:=\int _{0}^{1/c}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}.}$

هذا يعني${\displaystyle \alpha }$دالة قابلة للعكس: توجد دالة${\displaystyle \varphi }$بحيث${\displaystyle x=\varphi (\alpha (x))}$، وهو محدد جيدًا على الفترة${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {\omega }{2}}},{\tfrac {\omega }{2}}{\bigr ]}}$.

مثل الوظيفة${\displaystyle \alpha }$يعتمد ذلك على المعايير${\displaystyle c}$و${\displaystyle e}$والتي يمكن التعبير عنها بالكتابة${\displaystyle \varphi (u;e,c)}$.

منذ${\displaystyle \alpha }$هي دالة فردية ،${\displaystyle \varphi }$وهي أيضاً دالة فردية، مما يعني${\displaystyle \varphi (-u)=-\varphi (u)}$.

بأخذ المشتقة بالنسبة إلى${\displaystyle u}$يحصل المرء على:

${\displaystyle \varphi '(u)={\sqrt {(1-c^{2}\varphi ^{2}(u))(1+e^{2}\varphi ^{2}(u))}}}$

وهي دالة زوجية، أي${\displaystyle \varphi (-u)=\varphi (u)}$.

قدم آبل الوظائف الجديدة

${\displaystyle f(u)={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}},\;\;\;F(u)={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}}$.

وبناءً على ذلك، فإن ^{[ 2 ]}${\displaystyle \varphi '(u)=f(u)F(u)}$.

${\displaystyle \varphi }$،${\displaystyle f}$و${\displaystyle F}$تُعرف هذه الدوال باسم دوال أبيل الإهليلجية. ويمكن استكمالها باستخدام نظريات الجمع.

على سبيل المثال إضافة${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}\أوميغا }$يحصل المرء على:

${\displaystyle \varphi {\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\pm {1 \over c}{f(u) \over F(u)},\quad }$${\displaystyle f{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\mp {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\varphi (u) \over F(u)},\;\;F{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over c}{1 \over F(u)}}$.

يمكن التعبير عن دوال أبيل الإهليلجية بواسطة دوال جاكوبي الإهليلجية ، التي لا تعتمد على المعاملات.${\displaystyle c}$و${\displaystyle e}$لكن على أساس معامل${\displaystyle k}$:

${\displaystyle \varphi (u;c,e)={\frac {1}{c}}\operatorname {sn} (cu,k)}$

${\displaystyle f(u;c,e)=\operatorname {cn} (cu,k)}$

${\displaystyle F(u;c,e)=\operatorname {dn} (cu,k)}$،

أين${\displaystyle k={\frac {ie}{c}}}$.

بالنسبة للوظائف${\displaystyle \varphi }$،${\displaystyle f}$و${\displaystyle F}$تنطبق نظريات الجمع التالية: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \varphi (\alpha +\beta )={\frac {\varphi (\alpha )f(\beta )F(\beta )+\varphi (\beta )f(\alpha )F(\alpha )}{R}}}$

${\displaystyle f(\alpha +\beta )={\frac {f(\alpha )f(\beta )-c^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )F(\alpha )F(\beta )}{R}}}$

${\displaystyle F(\alpha +\beta )={\frac {F(\alpha )F(\beta )+e^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )f(\alpha )f(\beta )}{R}}}$،

أين${\displaystyle R=1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{2}(\beta )}$.

وتنتج هذه النتائج من نظريات الجمع للتكاملات الإهليلجية التي سبق أن أثبتها أويلر . ^{[ 8 ]}

• Niels Henrik Abel, Recherches sur le fonctions elliptiques Archived 2016-09-13 at the Wayback Machine , first and second part in Sophus Lie and Ludwig Sylow (eds.) Collected Works , Oslo (1881).
• كريستيان هوزيل، أعمال نيلز هنريك أبيل ، في كتاب أو. أ. لاودال و ر. بين، إرث نيلز هنريك أبيل - الذكرى المئوية الثانية لأبيل، أوسلو 2002 ، دار نشر سبرينغر، برلين (2004). ISBN 3-540-43826-2.