كارل غوستاف جاكوب جاكوبي

كارل جوستاف جاكوب جاكوبي [ ^{a ] (} / jɑː ˈkoʊbi ˌdʒə ˈkoʊbi / ; [ ^{3 ] الألمانية} : [ jaˈkoːbi ] ; 10 ديسمبر 1804 - 18 فبراير 1851 ) كان عالم رياضيات ألمانيًا قدم مساهمات أساسية في الدوال الإهليلجية والديناميكا والمعادلات التفاضلية والمحددات ونظرية الأعداد .

وُلد جاكوبي لأبوين يهوديين أشكنازيين في بوتسدام في 10 ديسمبر 1804. كان الثاني بين أربعة أبناء للمصرفي سيمون جاكوبي. اشتهر شقيقه الأكبر، موريتز ، لاحقًا كمهندس وفيزيائي. تلقى جاكوبي تعليمه المنزلي في البداية على يد عمه ليمان، الذي علّمه اللغات الكلاسيكية ومبادئ الرياضيات. في عام 1816، التحق جاكوبي، البالغ من العمر اثني عشر عامًا، بمدرسة بوتسدام الثانوية ، حيث كان الطلاب يتلقون جميع المواد الدراسية الأساسية: اللغات الكلاسيكية، والتاريخ، وفقه اللغة، والرياضيات، والعلوم، وغيرها. نتيجةً للتعليم الجيد الذي تلقاه من عمه، فضلًا عن قدراته المتميزة، رُقّي جاكوبي إلى السنة الدراسية الأخيرة بعد أقل من ستة أشهر، على الرغم من صغر سنه. ومع ذلك، ولأن الجامعة لم تكن تقبل الطلاب دون سن السادسة عشرة، فقد اضطر للبقاء في السنة الأخيرة حتى عام 1821. استغل جاكوبي هذه الفترة لتعزيز معارفه، مُبديًا اهتمامًا بجميع المواد، بما في ذلك اللاتينية واليونانية وفقه اللغة والتاريخ والرياضيات. وخلال هذه الفترة قام أيضاً بأولى محاولاته في البحث، محاولاً حل المعادلة الخماسية باستخدام الجذور . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

في عام ١٨٢١، التحق جاكوبي بجامعة برلين للدراسة ، حيث وزّع اهتمامه في البداية بين شغفه بعلم اللغة والرياضيات . في مجال علم اللغة، شارك في حلقات أوغست بوك الدراسية ، ولفت انتباه الأستاذ بموهبته. لم يحضر جاكوبي الكثير من دروس الرياضيات في ذلك الوقت، إذ وجد مستوى الرياضيات المُدرّسة في جامعة برلين بدائيًا للغاية. وبدلًا من ذلك، واصل دراسته الخاصة لأعمال أويلر ولاغرانج ولابلاس الأكثر تقدمًا. وبحلول عام ١٨٢٣ ، أدرك أنه بحاجة إلى حسم أمره بين اهتماماته المتضاربة، فاختار تكريس كل اهتمامه للرياضيات. ^{[ ٦ ]} في العام نفسه ، تأهل لتدريس المرحلة الثانوية، وعُرض عليه منصب في مدرسة يواخيمستال الثانوية في برلين. لكن جاكوبي قرر بدلًا من ذلك مواصلة العمل للحصول على وظيفة جامعية. في عام ١٨٢٥، حصل على درجة الدكتوراه في الفلسفة عن أطروحته حول تحليل الكسور الجزئية للكسور النسبية ، والتي دافع عنها أمام لجنة برئاسة إينو ديركسن . أعقب ذلك حصوله على شهادة التأهيل الأكاديمي ، وفي الوقت نفسه اعتنق المسيحية. وبعد أن أصبح مؤهلاً لتدريس المقررات الجامعية، ألقى جاكوبي، البالغ من العمر 21 عامًا ، محاضرة في عامي 1825 و1826 حول نظرية المنحنيات والأسطح في جامعة برلين. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

في عام 1826، أصبح جاكوبي محاضرًا خاصًا ، وفي العام التالي أستاذًا استثنائيًا ، وفي عام 1829، أصبح أستاذًا دائمًا للرياضيات في جامعة كونيغسبرغ ، وشغل هذا المنصب حتى عام 1842. أُصيب بانهيار عصبي نتيجة الإرهاق في عام 1843، فسافر إلى إيطاليا لبضعة أشهر ليستعيد عافيته. بعد عودته، انتقل إلى برلين، حيث عاش كمتقاعد ملكي، باستثناء فترة وجيزة جدًا، حتى وفاته. ^{[ 2 ]} خلال ثورة 1848، انخرط جاكوبي في العمل السياسي، وقدّم ترشيحه البرلماني نيابةً عن نادٍ ليبرالي ، لكنه لم يوفق . أدى ذلك، بعد قمع الثورة، إلى قطع المنحة الملكية عنه، إلا أن شهرته وسمعته كانتا كافيتين لاستعادتها سريعًا، بفضل التدخل الشخصي لألكسندر فون هومبولت .

توفي جاكوبي عام 1851 متأثراً بإصابته بمرض الجدري . ويُحفظ قبره في مقبرة تقع في حي كروزبرغ ببرلين، وهي مقبرة "فريدهوف 1 دير دريفالتيغايتس-كيرشنغماينده" (شارع باروثر 61). ويقع قبره بالقرب من قبر عالم الفلك يوهان إنكه . وقد سُميت فوهة جاكوبي على سطح القمر تيمناً به.

كان اسم جاكوبي عند ولادته جاك سيمون ، وهو اسم فرنسي الأصل (كان والده سيمون جاكوبي). ^{[ 8 ]} لاحقًا، تم تحريف اسمه إلى كارل غوستاف جاكوب جاكوبي، ونُشر بصيغته اللاتينية كارولوس غوستافوس جاكوبوس جاكوبي. ويُشار إليه أحيانًا بالاختصار CGJ جاكوبي.

من أعظم إنجازات جاكوبي نظريته حول الدوال الإهليلجية وعلاقتها بدالة ثيتا الإهليلجية . وقد طوّر هذه النظرية في أطروحته القيّمة "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" (1829)، وفي أبحاث لاحقة نُشرت في مجلة كريل . تكتسب دوال ثيتا أهمية بالغة في الفيزياء الرياضية لدورها في حل المسألة العكسية للتدفقات الدورية وشبه الدورية . ويمكن تكامل معادلات الحركة بدلالة دوال جاكوبي الإهليلجية في الحالات المعروفة للبندول ، وقمة أويلر ، وقمة لاغرانج المتناظرة في مجال جاذبية ، ومسألة كبلر (حركة الكواكب في مجال جاذبية مركزي).

كما قدم مساهمات أساسية في دراسة المعادلات التفاضلية وفي الميكانيكا الكلاسيكية ، ولا سيما نظرية هاميلتون-جاكوبي .

تجلّت براعة جاكوبي بشكل رئيسي في مجال التطور الجبري، وقدّم إسهاماتٍ جليلة في هذا المجال في العديد من فروع الرياضيات، كما يتضح من قائمة أبحاثه الطويلة في مجلة كريل وغيرها من المجلات منذ عام ١٨٢٦ فصاعدًا. ^{[ ٢ ]} ويُقال إنه كان يُوصي طلابه عند البحث عن موضوع بحثي، بضرورة "العكس، والعكس دائمًا" (الأصل الألماني: "man muss immer umkehren" )، مما يعكس إيمانه بأن عكس النتائج المعروفة يُمكن أن يفتح آفاقًا جديدة للبحث، كعكس التكاملات الإهليلجية والتركيز على طبيعة الدوال الإهليلجية ودوال ثيتا. ^{[ ٩ ]}

في بحثه الذي نشره عام 1835، أثبت جاكوبي النتيجة الأساسية التالية التي تصنف الدوال الدورية (بما في ذلك الدوال الإهليلجية):

إذا كانت الدالة أحادية المتغير ذات القيمة الواحدة دورية متعددة ، فلا يمكن أن يكون لهذه الدالة أكثر من دورتين، ولا يمكن أن تكون نسبة الدورات عددًا حقيقيًا.

لقد اكتشف العديد من الخصائص الأساسية لدوال ثيتا، بما في ذلك المعادلة الوظيفية وصيغة جاكوبي للضرب الثلاثي ، بالإضافة إلى العديد من النتائج الأخرى المتعلقة بسلاسل q وسلاسل الهندسة الفائقة .

تطلّب حلّ مسألة جاكوبي العكسية لخريطة أبيل الإهليلجية الفائقة بواسطة فايرشتراس عام 1854 إدخال دالة ثيتا الإهليلجية الفائقة، ولاحقًا دالة ثيتا العامة لريمان للمنحنيات الجبرية ذات الجنس العشوائي . الطارة المعقدة المرتبطة بجنس معين${\displaystyle g}$المنحنى الجبري، الذي تم الحصول عليه عن طريق القسمة${\displaystyle {\mathbf {C} }^{g}}$يُشار إلى هذه العملية، التي تتم عبر شبكة من الدورات، باسم تنوع جاكوبي . ويمكن اعتبار طريقة الانعكاس هذه، وتوسيعها اللاحق بواسطة فايرشتراس وريمان ليشمل المنحنيات الجبرية العشوائية، بمثابة تعميم من نوع أعلى للعلاقة بين التكاملات الإهليلجية ودوال جاكوبي أو فايرشتراس الإهليلجية.

كان جاكوبي أول من طبق الدوال الإهليلجية على نظرية الأعداد ، على سبيل المثال أثبت نظرية فيرما للمربعين ونظرية لاغرانج للمربعات الأربعة ، ونتائج مماثلة للمربعات 6 و 8.

أما أعماله الأخرى في نظرية الأعداد فقد واصلت عمل جاوس : براهين جديدة على التبادلية التربيعية ، وإدخال رمز جاكوبي ؛ ومساهمات في قوانين التبادلية العليا، ودراسات حول الكسور المستمرة ، واختراع مجاميع جاكوبي .

كان أيضًا من أوائل مؤسسي نظرية المحددات. ^{[ 10 ]} وعلى وجه الخصوص، ابتكر محدد جاكوبي المُشتق من n² مشتقة جزئية لـ n دالة معطاة لـ n متغير مستقل، والذي يلعب دورًا هامًا في تغيير المتغيرات في التكاملات المتعددة، وفي العديد من الدراسات التحليلية. ^{[ 2 ] في عام 1841 ،} أعاد تقديم رمز المشتقة الجزئية ∂ لليجندر ، والذي أصبح فيما بعد معيارًا قياسيًا.

كان من أوائل من قدموا ودرسوا كثيرات الحدود المتناظرة المعروفة الآن باسم كثيرات حدود شور ، حيث قدم ما يسمى بالصيغة الثنائية المتناوبة لهذه كثيرات الحدود، وهي حالة خاصة من صيغة فايل ، واستنتج متطابقات جاكوبي-ترودي . كما اكتشف صيغة ديسنانوت-جاكوبي للمحددات ، والتي تُشكل أساس علاقات بلوكر لجراسمانيان .

كثيراً ما يصادف طلاب حقول المتجهات ونظرية لي وميكانيكا هاميلتون وجبر المؤثرات هوية جاكوبي ، وهي نظير التجميعية لعملية قوس لي .

كما شغلت نظرية الكواكب وغيرها من المسائل الديناميكية المحددة اهتمامه بين الحين والآخر. وأثناء إسهاماته في علم الميكانيكا السماوية ، قدّم تكامل جاكوبي (1836) لنظام إحداثيات نجمي . وقد تناول نظريته حول المضاعف الأخير في كتاب "محاضرات في الديناميكا" (Vorlesungen über Dynamik ) الذي حرّره ألفريد كليبش (1866). ^{[ 2 ]}

ترك العديد من المخطوطات، نُشرت أجزاء منها على فترات في مجلة كريل. ومن أعماله الأخرى: Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem (1832)، و Canon arithmeticus (1839)، و Opuscula mathematica (1846–1857). أما أعماله الكاملة (Gesammelte Werke ) (1881–1891)، فقد نشرتها أكاديمية برلين . ^{[ 2 ]}

• أوغستين لويس كوشي
• فريدريش فيلهلم بيسل
• لوغاريتم جاكوبي
• آخر بيان هندسي لجاكوبي
• قائمة الأشياء التي سُميت على اسم كارل غوستاف جاكوب جاكوبي
• نيلز هنريك أبيل

• جاكوبي Vorlesungen über Dynamik
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "كارل غوستاف جاكوب جاكوبي" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• "جاكوبي، كارل غوستاف جاكوب"  . الموسوعة الأمريكية . 1920.
• "جاكوبي، كارل غوستاف جاكوب"  . الموسوعة الدولية الجديدة . 1905.
• "جاكوبي، كارل جوستاف جاكوب"  . الموسوعة الأمريكية . 1879.
• كارل جوستاف جاكوب جاكوبي - Œuvres complètes Gallica-Math