تعديل المربعات الصغرى

تُعدّ طريقة تعديل المربعات الصغرى نموذجًا لحل نظام المعادلات المُفرط التحديد، استنادًا إلى مبدأ المربعات الصغرى لبواقي الملاحظات . وتُستخدم هذه الطريقة على نطاق واسع في مجالات المساحة ، والجيوديسيا ، والتصوير المساحي - أي مجال الجيوماتكس مجتمعةً.

توجد ثلاثة أشكال لتعديل المربعات الصغرى: البارامتري ، والشرطي ، والمدمج :

• في التعديل البارامتري ، يمكن للمرء أن يجد معادلة الملاحظة h ( X ) = Y التي تربط الملاحظات Y بشكل صريح من حيث المعلمات X (مما يؤدي إلى النموذج A أدناه).
• في التعديل الشرطي ، توجد معادلة شرطية g ( Y ) = 0 تتضمن فقط الملاحظات Y (مما يؤدي إلى النموذج B أدناه) - بدون أي معلمات X على الإطلاق.
• وأخيرًا، في عملية تعديل مشتركة ، يتم تضمين كل من المعلمات X والملاحظات Y ضمنيًا في معادلة النموذج المختلط f ( X , Y ) = 0 .

من الواضح أن التعديلات البارامترية والشرطية تتوافق مع الحالة العامة المُدمجة عندما تكون f ( X , Y ) = h ( X ) - Y و f ( X , Y ) = g ( Y ) على التوالي. ومع ذلك، فإن الحالات الخاصة تستدعي حلولًا أبسط، كما هو مُفصّل أدناه. غالبًا ما يُرمز إلى Y في المراجع بالرمز L.

لا تنطبق المعادلات المذكورة أعلاه إلا على المعلمات المقدرة${\displaystyle {\hat {X}}}$والملاحظات${\displaystyle {\hat {Y}}}$، هكذا${\displaystyle f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0}$في المقابل، الملاحظات المقاسة${\displaystyle {\tilde {Y}}}$والمعلمات التقريبية${\displaystyle {\tilde {X}}}$ينتج عنه إفصاح خاطئ غير صفري : $${\displaystyle {\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).}$$ يمكن للمرء أن ينتقل إلى توسيع متسلسلات تايلور للمعادلات، مما ينتج عنه مصفوفات جاكوبي أو مصفوفات التصميم : الأولى، $${\displaystyle A=\partial {f}/\partial {X};}$$ والثاني، $${\displaystyle B=\partial {f}/\partial {Y}.}$$ ثم يصبح النموذج الخطي كالتالي: $${\displaystyle {\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,}$$ أين${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}}$وهي عبارة عن تصحيحات تقديرية للمعلمات للقيم الأولية ، و${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {Y}}-{\tilde {Y}}}$هي بقايا الملاحظة بعد التوفيق .

في عملية التعديل البارامتري، تكون مصفوفة التصميم الثانية هي مصفوفة الوحدة، B = -I ، ويمكن تفسير متجه عدم الإغلاق على أنه البواقي قبل عملية التوفيق.${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}}$وبالتالي، يتبسط النظام إلى: $${\displaystyle A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\tilde {y}},}$$ وهي على شكل طريقة المربعات الصغرى العادية . في التعديل الشرطي، تكون مصفوفة التصميم الأولى معدومة، أي A = 0. أما في الحالات الأكثر عمومية، فتُستخدم مُضاعِفات لاغرانج لربط مصفوفتي جاكوبي، وتحويل مسألة المربعات الصغرى المقيدة إلى مسألة غير مقيدة (وإن كانت أكبر حجمًا). على أي حال، يؤدي التعامل معها إلى${\displaystyle {\hat {X}}}$و${\displaystyle {\hat {Y}}}$المتجهات بالإضافة إلى المعلمات والملاحظات ذات الصلة، ومصفوفات التغاير اللاحقة .

• شبكات التسوية والتنقل والتحكم​
• تعديل الحزمة
• التثليث ، التثليث الجانبي ، التثليث
• تحديد المواقع عبر نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) / نظام الملاحة العالمي عبر الأقمار الصناعية (GNSS)
• تحويل هيلمرت

• يُشابه التعديل البارامتري معظم تحليلات الانحدار ويتوافق مع نموذج جاوس-ماركوف
• التعديل المدمج، المعروف أيضًا باسميرتبط نموذج جاوس-هيلمرت (المسمى نسبةً إلى عالمي الرياضيات/الجيوديسيا الألمانيينسي إف جاوسوإفآر هيلمرت) ^{[ 1 ] [ 2 ]} بنماذج الأخطاء في المتغيراتوالمربعاتالصغرى الكلية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• إن استخدام مصفوفة التغاير المسبقة للمعاملات يشبه تنظيم تيكهونوف

إذا تمت مواجهة نقص في الرتبة ، فغالبًا ما يمكن تصحيحه عن طريق تضمين معادلات إضافية تفرض قيودًا على المعلمات و/أو الملاحظات، مما يؤدي إلى المربعات الصغرى المقيدة .