مصفوفة التصميم

الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، وتحديدًا في تحليل الانحدار ، تُعرف مصفوفة التصميم ، أو مصفوفة النموذج ، أو مصفوفة المتغيرات المستقلة ، ويُرمز لها غالبًا بالرمز X ، بأنها مصفوفة قيم المتغيرات التفسيرية لمجموعة من الكائنات. يُمثل كل صف كائنًا منفردًا، بينما تُمثل الأعمدة المتتالية المتغيرات وقيمها الخاصة بذلك الكائن. تُستخدم مصفوفة التصميم في بعض النماذج الإحصائية ، مثل النموذج الخطي العام . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] يمكن أن تحتوي على متغيرات مؤشرة (أصفار وواحدات) تُشير إلى انتماء المجموعة في تحليل التباين (ANOVA ) ، أو يمكن أن تحتوي على قيم متغيرات مستمرة .

تحتوي مصفوفة التصميم على بيانات المتغيرات المستقلة (وتُسمى أيضًا المتغيرات التفسيرية) في نموذج إحصائي يهدف إلى تفسير البيانات المرصودة لمتغير الاستجابة (ويُسمى غالبًا المتغير التابع ). تستخدم النظرية المتعلقة بهذه النماذج مصفوفة التصميم كمدخل لبعض العمليات الجبرية الخطية  ، انظر على سبيل المثال الانحدار الخطي . من السمات البارزة لمفهوم مصفوفة التصميم قدرتها على تمثيل عدد من التصاميم التجريبية والنماذج الإحصائية المختلفة، مثل تحليل التباين (ANOVA ) وتحليل التغاير (ANCOVA ) والانحدار الخطي.

تعريف

تُعرَّف مصفوفة التصميم بأنها مصفوفةX{\displaystyle X}بحيثXأناج{\displaystyle X_{ij}}( العمود j من الصف i منX{\displaystyle X}) يمثل قيمة المتغير j المرتبط بالكائن i .

يمكن تمثيل نموذج الانحدار عن طريق ضرب المصفوفات كما يلي:

y=Xβ+هـ،{\displaystyle y=X\beta +e,}

حيث X هي مصفوفة التصميم،β{\displaystyle \beta }هو متجه معاملات النموذج (معامل واحد لكل متغير)،هـ{\displaystyle e}هو متجه من الأخطاء العشوائية بمتوسط ​​صفر، و y هو متجه المخرجات المتوقعة لكل كائن.

مقاس

تتكون مصفوفة التصميم من بُعد n × p ، حيث n هو عدد العينات المرصودة، و p هو عدد المتغيرات ( الخصائص ) المقاسة في جميع العينات. [ 4 ] [ 5 ]

في هذا التمثيل، تمثل الصفوف المختلفة عادةً تكرارات مختلفة لتجربة ما، بينما تمثل الأعمدة أنواعًا مختلفة من البيانات (مثل نتائج استبيانات محددة). على سبيل المثال، لنفترض إجراء تجربة حيث تم اختيار 10 أشخاص عشوائيًا من الشارع وطرح 4 أسئلة عليهم. ستكون مصفوفة البيانات M مصفوفة 10×4 (أي 10 صفوف و4 أعمدة). ستكون البيانات في الصف i والعمود j من هذه المصفوفة هي إجابة الشخص i على السؤال j .

أمثلة

المتوسط ​​الحسابي

مصفوفة التصميم للمتوسط ​​الحسابي هي متجه عمودي مكون من واحدات .

الانحدار الخطي البسيط

يُقدّم هذا القسم مثالاً على الانحدار الخطي البسيط - أي الانحدار بمتغير تفسيري واحد فقط - مع سبع مشاهدات. نقاط البيانات السبع هي { yᵢ , xᵢ } ، حيث i  =  1, 2, …, 7.  نموذج الانحدار الخطي البسيط هو

yأنا=β0+β1xأنا+εأنا،{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i},\,}

أينβ0{\displaystyle \beta _{0}}هو نقطة تقاطع المحور الصادي وβ1{\displaystyle \beta _{1}}يمثل ميل خط الانحدار. ويمكن تمثيل هذا النموذج في شكل مصفوفة كما يلي:

[y1y2y3y4y5y6y7]=[1x11x21x31x41x51x61x7][β0β1]+[ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε7]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\1&x_{3}\\1&x_{4}\\1&x_{5}\\1&x_{6}\\1&x_{7}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}

حيث يسمح العمود الأول المكون من 1 في مصفوفة التصميم بتقدير نقطة تقاطع المحور الصادي، بينما يحتوي العمود الثاني على قيم x المرتبطة بقيم y المقابلة . المصفوفة التي تتكون أعمدتها من 1 و x في هذا المثال هي مصفوفة التصميم.

الانحدار المتعدد

يحتوي هذا القسم على مثال للانحدار المتعدد مع متغيرين مساعدين (متغيرات تفسيرية): w و x . لنفترض مرة أخرى أن البيانات تتكون من سبع مشاهدات، وأنه لكل قيمة مُشاهدة يُراد التنبؤ بها (yأنا{\displaystyle y_{i}}كما يتم رصد قيم wᵢ و xᵢ للمتغيرين المشتركين. النموذج الذي سيتم النظر فيه هو

yأنا=β0+β1wأنا+β2xأنا+εأنا{\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}w_{i}+\beta _{2}x_{i}+\varepsilon _{i}}

يمكن كتابة هذا النموذج بصيغة المصفوفات كما يلي

[y1y2y3y4y5y6y7]=[1w1x11w2x21w3x31w4x41w5x51w6x61w7x7][β0β1β2]+[ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε7]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&w_{1}&x_{1}\\1&w_{2}&x_{2}\\1&w_{3}&x_{3}\\1&w_{4}&x_{4}\\1&w_{5}&x_{5}\\1&w_{6}&x_{6}\\1&w_{7}&x_{7}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}

هنا، المصفوفة 7×3 الموجودة على الجانب الأيمن هي مصفوفة التصميم.

تحليل التباين أحادي الاتجاه (نموذج متوسطات الخلايا)

يحتوي هذا القسم على مثال لتحليل التباين أحادي الاتجاه ( ANOVA ) لثلاث مجموعات وسبع مشاهدات. تتضمن مجموعة البيانات المعطاة المشاهدات الثلاث الأولى التي تنتمي إلى المجموعة الأولى، والمشاهدتين التاليتين اللتين تنتميان إلى المجموعة الثانية، والمشاهدتين الأخيرتين اللتين تنتميان إلى المجموعة الثالثة. إذا كان النموذج المراد ملاءمته هو متوسط ​​كل مجموعة فقط، فإن النموذج هو

yأناج=μأنا+εأناج{\displaystyle y_{ij}=\mu _{i}+\varepsilon _{ij}}

والتي يمكن كتابتها

[y1y2y3y4y5y6y7]=[100100100010010001001][μ1μ2μ3]+[ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε7]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\mu _{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}

في هذا النموذجμأنا{\displaystyle \mu _{i}}يمثل متوسطأنا{\displaystyle i}المجموعة الثالثة.

تحليل التباين أحادي الاتجاه (مع إزاحة عن المجموعة المرجعية)

يمكن كتابة نموذج تحليل التباين (ANOVA) بشكل مكافئ على أنه معلمة كل مجموعةτأنا{\displaystyle \tau _{i}}كونها إزاحة عن مرجع عام. عادةً ما تُختار إحدى المجموعات قيد الدراسة كنقطة مرجعية. وهذا منطقي في سياق مقارنة مجموعات علاجية متعددة بمجموعة ضابطة، حيث تُعتبر المجموعة الضابطة هي "المرجع". في هذا المثال، تم اختيار المجموعة 1 لتكون المجموعة المرجعية. وبالتالي، فإن النموذج المراد ملاءمته هو

yأناج=μ+τأنا+εأناج{\displaystyle y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\varepsilon _{ij}}

مع مراعاة القيد التالي:τ1{\displaystyle \tau _{1}}يساوي صفرًا.

[y1y2y3y4y5y6y7]=[100100100110110101101][μτ2τ3]+[ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε7]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\\1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mu \\\tau _{2}\\\tau _{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}

في هذا النموذجμ{\displaystyle \mu }وهو متوسط ​​المجموعة المرجعية وτأنا{\displaystyle \tau _{i}}الفرق عن المجموعةأنا{\displaystyle i}إلى المجموعة المرجعية.τ1{\displaystyle \tau _{1}}لا يتم تضمينها في المصفوفة لأن الفرق بينها وبين المجموعة المرجعية (نفسها) يساوي صفرًا بالضرورة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ إيفريت، بي إس (2002). قاموس كامبريدج للإحصاء (  الطبعة الثانية). كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-81099-X.
  2. ↑ بوكس، جي إي بي ؛ تياو، جي سي (1992) [1973]. الاستدلال البايزي في التحليل الإحصائي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-57428-7.(القسم 8.1.1)
  3. ↑ تيم، نيل هـ. (2007). التحليل متعدد المتغيرات التطبيقي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 107. ISBN  9780387227719.
  4. ↑ جونسون، ريتشارد أ؛ ويشرن، دين و (2001). التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات التطبيقي . بيرسون. ص 111-112 . ISBN  0131877151.
  5. ↑ "المفاهيم الأساسية للإحصاءات متعددة المتغيرات، صفحة 2" (ملف PDF) . معهد SAS.

للمزيد من القراءة

  • فيربيك، ألبرت (1984). "هندسة اختيار النموذج في الانحدار". في: ديكسترا، ثيو ك. (محرر). تحليل سوء التحديد . نيويورك: سبرينغر. ص 20-36 . ISBN  0-387-13893-5.