تحويل هيلمرت

تحويل هيلمرت ( نسبةً إلى فريدريك روبرت هيلمرت ، 1843-1917 ) هو طريقة لتحديد معلمات التشابهات الهندسية ، ويُستخدم في علم المساحة لحساب التحويلات بين المراجع . يُعرف تحويل هيلمرت أيضًا باسم التحويل ذي المعلمات السبع .

يمكن التعبير عن تحويل هيلمرت على النحو التالي:

${\displaystyle X_{T}=C+\mu RX\,}$

أين

• X هي النقطة الأولية التي يمثلها متجه الإحداثيات
• X _T هو المتجه المحوّل نقطيًا

المعايير هي :

• C – متجه الإزاحة ، الذي تتكون مركباته من إزاحات على طول محاور الإحداثيات.
• μ – عامل المقياس ، والذي يجب قسمته على 1,000,000 وإضافته إلى 1 عند التعبير عنه بأجزاء في المليون
• R – مصفوفة الدوران ، والتي يتم تحليلها إلى ثلاثة دورانات r _x و r _y و r _z حول محاور الإحداثيات الثلاثة ، والتي تكون زواياها صغيرة في سياق الجيوديسية.

تُستخدم تحويلة هيلمرت، من بين أمور أخرى، في علم المساحة لتحويل إحداثيات النقطة من نظام إحداثيات إلى آخر. وباستخدامها، يصبح من الممكن تحويل نقاط المسح الإقليمية إلى مواقع WGS84 التي يستخدمها نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) .

على سبيل المثال، بدءًا من إحداثيات جاوس-كروجر ، x و y ، بالإضافة إلى الارتفاع h ، يتم تحويلها إلى قيم ثلاثية الأبعاد على مراحل:

1. إلغاء إسقاط الخريطة : حساب خط العرض وخط الطول والارتفاع الإهليلجي ( W , L , H )
2. التحويل من الإحداثيات الجيوديسية إلى الإحداثيات الجيومركزية : حساب قيم x و y و z بالنسبة إلى القطع الناقص المرجعي للمسح
3. تحويل ذو 7 معلمات (حيث تتغير x و y و z دائمًا تقريبًا ببضع مئات من الأمتار على الأكثر، والمسافات ببضعة ملليمترات لكل كيلومتر).
4. وبسبب هذا، يمكن مقارنة المواقع المقاسة أرضياً ببيانات نظام تحديد المواقع العالمي (GPS)؛ ويمكن بعد ذلك إدخال هذه البيانات في عملية المسح كنقاط جديدة - يتم تحويلها بالترتيب المعاكس.

تتألف الخطوة الثالثة من تطبيق مصفوفة الدوران ، والضرب بمعامل المقياس.${\displaystyle \mu =1+s}$(بقيمة قريبة من 1) وإضافة عمليات الإزاحة الثلاث، c _x ، c _y ، c _z .

يتم اشتقاق إحداثيات نظام مرجعي B من النظام المرجعي A بواسطة الصيغة التالية (اتفاقية تحويل متجه الموضع وتبسيط زوايا الدوران الصغيرة جدًا): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{B}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}}$

أو لكل معلمة منفردة من معلمات الإحداثيات:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{B}&=c_{x}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (X_{A}-r_{z}\cdot Y_{A}+r_{y}\cdot Z_{A})\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (r_{z}\cdot X_{A}+Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A})\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\times 10^{-6})\cdot (-r_{y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{aligned}}}$

أما بالنسبة للتحويل العكسي، فيتم ضرب كل عنصر في -1 .

تُحدد المعايير السبعة لكل منطقة بثلاث نقاط متطابقة أو أكثر من كلا النظامين. ولتحقيق التوافق بينهما، تُعالج الاختلافات الطفيفة (عادةً بضعة سنتيمترات فقط) باستخدام طريقة المربعات الصغرى ، أي تُزال بطريقة معقولة إحصائيًا.

إذا كانت معاملات التحويل غير معروفة، فيمكن حسابها باستخدام نقاط مرجعية (أي نقاط معروفة إحداثياتها قبل التحويل وبعده). وبما أنه يجب تحديد سبعة معاملات إجمالاً (ثلاثة تحويلات إزاحة، ومعامل تغيير حجم، وثلاثة تحويلات دوران)، فيجب معرفة نقطتين على الأقل وإحداثي نقطة ثالثة (على سبيل المثال، الإحداثي Z). ينتج عن ذلك نظام من سبع معادلات وسبعة مجاهيل، يمكن حله.

بالنسبة للتحويلات بين إسقاطات الخرائط المطابقة بالقرب من نقطة عشوائية، يمكن حساب معلمات تحويل هيلمرت بدقة من مصفوفة جاكوبيان لدالة التحويل.

من الناحية العملية، يُفضّل استخدام عدد أكبر من النقاط. فمن خلال هذا التوافق، يتم الحصول على دقة أعلى، ويصبح التقييم الإحصائي للنتائج ممكنًا. في هذه الحالة، يتم تعديل الحساب باستخدام طريقة المربعات الصغرى الغاوسية .

يتم الحصول على قيمة عددية لدقة معلمات التحويل عن طريق حساب القيم عند النقاط المرجعية، وترجيح النتائج بالنسبة إلى مركز النقاط.

على الرغم من أن هذه الطريقة دقيقة رياضياً، إلا أنها تعتمد كلياً على دقة المعايير المستخدمة. عملياً، تُحسب هذه المعايير من خلال تضمين ثلاث نقاط معروفة على الأقل في الشبكات. مع ذلك، ستؤثر دقة هذه النقاط على معايير التحويل اللاحقة، إذ ستتضمن هذه النقاط أخطاء رصد. لذا، فإن التحويل "الواقعي" لن يكون سوى أفضل تقدير، ويجب أن يتضمن مقياساً إحصائياً لجودته.

• تحويل الإحداثيات الجغرافية
• تحليل بروكروستس
• المسح

• تحويل هيلمرت في برنامج تحويل الإحداثيات PROJ
• حساب تحويلات هيلمرت (مؤرشف بتاريخ 13 سبتمبر 2022 في أرشيف الإنترنت)