تفرد من النوع k

في الرياضيات، وتحديداً في نظرية التفرد ، يصف التفرد من النوع A_{_k} ، حيث k عدد صحيح أكبر من أو يساوي صفرًا ، مستوى انحلال دالة ما . وقد قدم هذا الترميز في . آي. أرنولد .

يترك${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$لتكن دالة سلسة . نرمز لها بـ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$الفضاء اللانهائي الأبعاد لجميع هذه الدوال. ليكن${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})}$يرمز إلى زمرة لي اللانهائية الأبعاد للتشاكلات التفاضلية${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$و${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$زمرة لي اللانهائية الأبعاد للتشاكلات التفاضلية${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$مجموعة المنتجات${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$أعمال بشأن${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$على النحو التالي: دع${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} و${\displaystyle \psi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ...${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$أي دالة سلسة. نُعرّف تأثير المجموعة على النحو التالي:

${\displaystyle (\varphi ,\psi )\cdot f:=\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}}$

يُعطى مدار الدالة f ، ويرمز له بـ orb( f ) ، في فعل هذه المجموعة بالصيغة التالية :

${\displaystyle {\mbox{orb}}(f)=\{\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}:\varphi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} ^{n}),\psi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} )\}\ .}$

تشترك عناصر مدار معين لهذا الفعل في الحقيقة التالية: يمكننا إيجاد تغيير تفاضلي للإحداثيات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وتغيير شكلي متماثل للإحداثيات في${\displaystyle \mathbb {R} }$بحيث ينتقل أحد عناصر المدار إلى أي عنصر آخر.يُقال إن الدالة f لها تفرد من النوع A _k إذا كانت تقع في مدار

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=1+\varepsilon _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\varepsilon _{n-1}x_{n-1}^{2}\pm x_{n}^{k+1}}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$و k ≥ 0 هو عدد صحيح.

نعني بالصيغة الطبيعية تمثيلاً بسيطاً لأي مدار مُعطى. تُعطي الصيغ السابقة للدالة f صيغاً طبيعيةً لحالات الفردية من النوع A _k . تتميز حالات الفردية من النوع A _k بكونها من بين حالات الفردية البسيطة، مما يعني وجود عدد محدود فقط من المدارات الأخرى في جوار صغير بما فيه الكفاية لمدار f . 

تمتد هذه الفكرة لتشمل الأعداد المركبة حيث تكون الأشكال الطبيعية أبسط بكثير؛ على سبيل المثال: لا حاجة للتمييز بين ε _i = +1 و ε _i = −1 .

• نظرية الكوارث §  تدوين أرنولد ، تصنيف ADE للحالات الشاذة

• أرنولد، في آي؛ فارتشينكو، إيه إن؛ حسين زاده، إس إم (1985)، تصنيف النقاط الحرجة، والكاوستيك، وجبهات الموجة: فرادات الخرائط التفاضلية، المجلد 1 ، بيركهاوزر، ISBN 0-8176-3187-9