تصنيف ADE

في الرياضيات ، يُشير تصنيف ADE ( أو تصنيفات ADE الأصلية ) إلى حالة تتوافق فيها أنواع معينة من الكائنات مع مخططات دينكين البسيطة . وقد طُرح سؤال إيجاد أصل مشترك لهذه التصنيفات، بدلاً من التحقق اللاحق من التوازي، في ( أرنولد، 1976 ) . تتضمن القائمة الكاملة لمخططات دينكين البسيطة ما يلي:

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}.}$

هنا، تعني عبارة "مُرَبَّع ببساطة" عدم وجود حواف متعددة، وهو ما يتوافق مع جميع الجذور البسيطة في نظام الجذور التي تُشكِّل زوايا من${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$(لا يوجد ضلع بين الرؤوس) أو${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$(حافة واحدة بين الرؤوس). هاتان اثنتان من عائلات مخططات دينكين الأربع (باستثناء${\displaystyle B_{n}}$و${\displaystyle C_{n}}$وثلاثة من مخططات دينكين الخمسة الاستثنائية (باستثناء${\displaystyle F_{4}}$و${\displaystyle G_{2}}$).

هذه القائمة غير زائدة إذا أخذ المرء${\displaystyle n\geq 4}$ل${\displaystyle D_{n}.}$إذا تم توسيع نطاق العائلات لتشمل المصطلحات الزائدة، فسيتم الحصول على التشاكلات الاستثنائية.

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

والتماثلات المقابلة للكائنات المصنفة.

كما أن تسمية A و D و E تؤدي إلى مجموعات Coxeter المنتهية ذات التشابك البسيط ، من خلال نفس المخططات : في هذه الحالة تتطابق مخططات Dynkin تمامًا مع مخططات Coxeter، حيث لا توجد حواف متعددة.

من حيث جبر لي شبه البسيط المعقد:

• ${\displaystyle A_{n}}$يتوافق مع${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$الجبر الخطي الخاص لـ Lie للمؤثرات عديمة الأثر ،
• ${\displaystyle D_{n}}$يتوافق مع${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$الجبر اللي المتعامد الخاص الزوجي للمؤثرات المتناظرة المائلة ذات الأبعاد الزوجية ، و
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$هي ثلاثة من جبر لي الاستثنائي الخمسة.

من حيث جبر لي المضغوط ومجموعات لي البسيطة المقابلة :

• ${\displaystyle A_{n}}$يتوافق مع${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$جبر المجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle SU(n+1);}$
• ${\displaystyle D_{n}}$يتوافق مع${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$جبر المجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية الزوجية${\displaystyle PSO(2n)}$، بينما
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$هي ثلاثة من خمسة جبر لي مضغوط استثنائي .

وينطبق التصنيف نفسه على المجموعات الفرعية المنفصلة من${\displaystyle SU(2)}$، المجموعات متعددة السطوح الثنائية ؛ وبشكل أدق، تتوافق المجموعات متعددة السطوح الثنائية مع مخططات دينكين الأفينية البسيطة.${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},}$ويمكن فهم تمثيلات هذه المجموعات من خلال هذه المخططات. وتُعرف هذه العلاقة باسممراسلات مكاي نسبةً إلىجون مكايوُصِفَارتباطهابالأجسام الأفلاطونية(ديكسون 2004). وتستخدم هذه المراسلات طريقة رسممكاي البياني.

لاحظ أن تناظر ADE لا يمثل تناظر المجسمات الأفلاطونية مع مجموعة تناظراتها الانعكاسية: على سبيل المثال، في تناظر ADE، يتوافق كل من رباعي الأوجه ، والمكعب / ثماني الأوجه ، وذو الاثني عشر وجهًا / عشري الأوجه مع${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},}$بينما تمثل مجموعات الانعكاس للرباعي الأوجه، والمكعب/الثماني الأوجه، والاثني عشري الأوجه/العشريني الأوجه، تمثيلات لمجموعات كوكسيتر.${\displaystyle A_{3},BC_{3},}$و${\displaystyle H_{3}.}$

المداري لـ​${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$يؤدي بناء كل مجموعة فرعية منفصلة إلى نقطة تفرد من نوع ADE عند نقطة الأصل، والتي تسمى نقطة تفرد دو فال .

يمكن توسيع نطاق تناظر ماكاي ليشمل مخططات دينكين المتعددة الطبقات، باستخدام زوج من المجموعات متعددة السطوح الثنائية. يُعرف هذا بتناظر سلودوي ، نسبةً إلى بيتر سلودوي - انظر ( ستيكولشيك 2008 ) .

يمكن أيضًا وصف رسوم ADE البيانية ورسوم ADE البيانية الموسعة (الخطية) من حيث التسميات ذات الخصائص المحددة، ^{[ 1 ]} والتي يمكن التعبير عنها بدلالة معاملات لابلاس المنفصلة ^{[ 2 ]} أو مصفوفات كارتان . ويمكن الاطلاع على البراهين بدلالة مصفوفات كارتان في ( Kac 1990 ، الصفحات 47-54) .

تُعدّ الرسوم البيانية ADE الأفينية هي الرسوم البيانية الوحيدة التي تسمح بتسمية موجبة (تسمية العقد بأعداد حقيقية موجبة) بالخاصية التالية:

ضعف أي تسمية يساوي مجموع التسميات الموجودة على الرؤوس المجاورة.

أي أنها الدوال الموجبة الوحيدة ذات القيمة الذاتية 1 لمؤثر لابلاس المنفصل (مجموع الرؤوس المتجاورة مطروحًا منه قيمة الرأس) - الحلول الموجبة للمعادلة المتجانسة:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }$

وبالمثل، فإن الدوال الموجبة في نواة${\displaystyle \Delta -I.}$يكون الترقيم الناتج فريدًا حتى المقياس، وإذا تم تطبيعه بحيث يكون أصغر رقم هو 1، فإنه يتكون من أعداد صحيحة صغيرة - من 1 إلى 6، اعتمادًا على الرسم البياني.

تُعدّ الرسوم البيانية العادية من نوع ADE هي الرسوم البيانية الوحيدة التي تسمح بتسمية موجبة بالخاصية التالية:

ضعف أي تسمية مطروحًا منها اثنان يساوي مجموع التسميات الموجودة على الرؤوس المتجاورة.

من حيث لابلاس، الحلول الموجبة للمعادلة غير المتجانسة:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2.\ }$

The resulting numbering is unique (scale is specified by the "2") and consists of integers; for E₈ they range from 58 to 270, and have been observed as early as (Bourbaki 1968).

The elementary catastrophes are also classified by the ADE classification.

The ADE diagrams are exactly the quivers of finite type, via Gabriel's theorem.

There is also a link with generalized quadrangles, as the three non-degenerate GQs with three points on each line correspond to the three exceptional root systems E₆, E₇ and E₈.^[3] The classes A and D correspond degenerate cases where the line set is empty or we have all lines passing through a fixed point, respectively.^[4]

It was suggested that symmetries of small droplet clusters may be subject to an ADE classification.^[5]

The minimal models of two-dimensional conformal field theory have an ADE classification.

Four dimensional ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ superconformal gauge quiver theories with unitary gauge groups have an ADE classification.

Arnold has subsequently proposed many further extensions in this classification scheme, in the idea to revisit and generalize the Coxeter classification and Dynkin classification under the single umbrella of root systems. He tried to introduce informal concepts of Complexification and Symplectization based on analogies between Picard–Lefschetz theory which he interprets as the Complexified version of Morse theory and then extend them to other areas of mathematics. He tries also to identify hierarchies and dictionaries between mathematical objects and theories where for example diffeomorphism corresponds to the A type of the Dynkyn classification, volume preserving diffeomorphism corresponds to B type and Symplectomorphisms corresponds to C type. In the same spirit he revisits analogies between different mathematical objects where for example the Lie bracket in the scope of Diffeomorphisms becomes analogous (and at the same time includes as a special case) the Poisson bracket of Symplectomorphism.^[6][7]

وسع أرنولد هذا المفهوم تحت مسمى "الثالوثات الرياضية". ^{[ 8 ]} وقد وسّع مكاي نطاق هذا المفهوم على خطوط متوازية ومتداخلة أحيانًا. يُطلق أرنولد على هذه الثالوثات اسم " الثالوثات " لاستحضار المعنى الديني، ويشير إلى أن هذه المقارنات (حاليًا) تعتمد على الإيمان أكثر من البرهان الدقيق، على الرغم من تفصيل بعض المقارنات. وقد اقترح مؤلفون آخرون ثالوثات أخرى. ^{[ 9 ] [ 8 ] [ 10 ]} تبدأ ثالوثات أرنولد بـ R / C / H (الأعداد الحقيقية، والأعداد المركبة، والأعداد الرباعية)، والتي يُشير إلى أنها "معروفة للجميع"، ثم يتخيل الثالوثات الأخرى على أنها "تعقيدات" و"أعداد رباعية" للرياضيات الكلاسيكية (الحقيقية)، قياسًا على إيجاد نظائر سيمبليكتية للهندسة الريمانية الكلاسيكية ، والتي كان قد اقترحها سابقًا في سبعينيات القرن العشرين. بالإضافة إلى الأمثلة من الطوبولوجيا التفاضلية (مثل الفئات المميزة )، يعتبر أرنولد التناظرات الأفلاطونية الثلاثة (رباعي الأوجه، ثماني الأوجه، عشريني الأوجه) على أنها تتوافق مع الأعداد الحقيقية، والمركبات، والأعداد الرباعية، والتي تتصل بعد ذلك بتوافقات مكاي الجبرية، أدناه.

من الأسهل وصف مخططات ماكاي . أولاً، مخططات دينكين الموسعة.${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$(المقابلة للتناظر الرباعي الأوجه، والثماني الأوجه، والعشروني الأوجه) لها مجموعات تناظر${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1},}$على التوالي، والطيات المرتبطة بها هي المخططات${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$(لاحظ أنه في الكتابة الأقل دقة، غالبًا ما يتم حذف مُحدِّد (التيلدا) الممتد). والأهم من ذلك، يقترح مكاي وجود تطابق بين عُقد الـ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$مخطط وفئات اقتران معينة لمجموعة الوحش ، والمعروفة باسم ملاحظة مكاي E _{8 ؛} ^{[ 11 ] [ 12 ]} انظر أيضًا ضوء القمر الوحشي . ويربط مكاي كذلك عقد${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$إلى فئات الترافق في 2. ب (امتداد من الرتبة 2 لمجموعة الوحوش الصغيرة )، وعقد${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$إلى فئات الاقتران في 3. Fi ₂₄ ' (امتداد من الرتبة 3 لمجموعة فيشر ) ^{[ 12 ]} - لاحظ أن هذه هي أكبر ثلاث مجموعات متفرقة ، وأن رتبة الامتداد تتوافق مع تناظرات الرسم التخطيطي.

بالانتقال من المجموعات البسيطة الكبيرة إلى المجموعات الصغيرة، فإن المجموعات الأفلاطونية المقابلة${\displaystyle A_{4},S_{4},A_{5}}$ترتبط هذه المجموعات بالمجموعات الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,5) وPSL(2,7) وPSL(2,11) (من الرتب 60 و168 و660 على التوالي)، ^{[ 13 ] [ 14 ]} وهو ما يُعرف بـ"تناظر مكاي". ^{[ 15 ]} تُعد هذه المجموعات القيم (البسيطة) الوحيدة لـ p التي تجعل PSL(2, p ) تؤثر بشكل غير تافه على p نقطة ، وهي حقيقة تعود إلى إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر. في الواقع، تتحلل هذه المجموعات إلى جداءات مجموعات (وليس إلى جداءات مجموعات) كما يلي:${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$${\displaystyle S_{4}\times Z_{7},}$و${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$ترتبط هذه المجموعات أيضًا بهندسات متنوعة، يعود تاريخها إلى فيليكس كلاين في سبعينيات القرن التاسع عشر؛ انظر تناظر العشرين وجهًا: الهندسات ذات الصلة للمناقشة التاريخية، و ( كوستانت 1995 ) لعرض أحدث. الهندسات المرتبطة (التبليط على أسطح ريمان ) التي يمكن فيها رؤية التأثير على النقاط p هي كما يلي: PSL(2,5) هو تناظرات العشرين وجهًا (الجنس 0) مع مركب من خمسة رباعيات وجوه كمجموعة من 5 عناصر، وPSL(2,7) للرباعي كلاين (الجنس 3) مع مستوى فانو مضمن (مكمل) كمجموعة من 7 عناصر (مستوى ثنائي من الرتبة 2)، وPSL(2,11)سطح باكمنستر فوليرين (الجنس 70) معطائرة بالي ثنائية السطحكمجموعة من 11 عنصرًا (طائرة). ^{[ 16 ]} من بين هذه، يعود تاريخ المجسم العشري الوجوه إلى العصور القديمة، ورباعي كلاين إلى كلاين في سبعينيات القرن التاسع عشر، وسطح كرة بوكي إلى بابلو مارتن وديفيد سينجرمان في عام 2008.

من الناحية الجبرية الهندسية، يربط مكاي أيضًا E ₆ و E ₇ و E ₈ على التوالي بما يلي: الخطوط الـ 27 على سطح مكعب ، والمماسات الثنائية الـ 28 لمنحنى رباعي مستو ، ومستويات المماس الثلاثي الـ 120 لمنحنى سداسي قانوني من النوع 4. ^{[ 17 ] [ 18 ]} الأول من هذه معروف جيدًا، بينما يرتبط الثاني على النحو التالي: إسقاط المكعب من أي نقطة لا تقع على خط ينتج عنه غطاء مزدوج للمستوى، متفرع على طول منحنى رباعي، مع الخطوط الـ 27 التي تُسقط على 27 من المماسات الثنائية الـ 28، والخط الـ 28 هو صورة المنحنى الاستثنائي للتكبير. لاحظ أن التمثيلات الأساسية لـ _E6 و _E7 و E8 _لها أبعاد 27 و 56 (28 × 2) و 248 (120 + 128)، بينما عدد الجذور هو 27 + 45 = 72 و 56 + 70 = 126 و 112 + 128 = 240. وهذا يتناسب أيضًا مع المخطط ^{[ 19 ]} لربط E8 _{و E7 و E6} بأكبر ثلاث مجموعات من المجموعات البسيطة المتفرقة، وهي Monster و Baby و Fischer 24'، انظر: ضوء القمر الوحشي .

• سطح إهليلجي
• تصنيف نظرية الكوارث ADE

• John Baez, This Week's Finds in Mathematical Physics: Week 62, Week 63, Week 64, Week 65, August 28, 1995, through October 3, 1995, and Week 230, May 4, 2006
• The McKay Correspondence, Tony Smith
• ADE classification, McKay correspondence, and string theory, Luboš Motl, The Reference Frame, May 7, 2006