نظرية الكوارث

في الرياضيات ، تعتبر نظرية الكوارث فرعًا من نظرية التشعب في دراسة الأنظمة الديناميكية ؛ وهي أيضًا حالة خاصة من نظرية التفرد الأكثر عمومية في الهندسة .

تدرس نظرية التشعب وتصنف الظواهر التي تتميز بتحولات مفاجئة في السلوك ناتجة عن تغيرات طفيفة في الظروف، وتحلل كيف تعتمد الطبيعة النوعية لحلول المعادلات على المعاملات التي تظهر فيها. وقد يؤدي ذلك إلى تغيرات مفاجئة وجذرية، مثل التوقيت غير المتوقع وحجم الانهيار الأرضي .

نشأت نظرية الكوارث مع أعمال عالم الرياضيات الفرنسي رينيه توم في ستينيات القرن العشرين، واكتسبت شعبية واسعة بفضل جهود كريستوفر زيمان في سبعينيات القرن نفسه. وتتناول هذه النظرية الحالة الخاصة التي يمكن فيها تحديد حالة التوازن المستقر على المدى الطويل كأدنى قيمة لدالة جهد سلسة ومحددة جيدًا ( دالة ليابونوف ). ويمكن أن تؤدي التغيرات الطفيفة في بعض معلمات النظام غير الخطي إلى ظهور حالات توازن أو اختفائها، أو إلى تحولها من جاذبة إلى دافعة والعكس، مما يُفضي إلى تغيرات كبيرة ومفاجئة في سلوك النظام. ومع ذلك، عند دراسة هذه النظرية ضمن نطاق معلمات أوسع ، يتضح أن نقاط التشعب هذه تميل إلى الظهور كجزء من بنى هندسية نوعية محددة جيدًا.

في أواخر سبعينيات القرن العشرين، بدأت الانتقادات تطال تطبيقات نظرية الكوارث في مجالات خارج نطاقها، لا سيما في علم الأحياء والعلوم الاجتماعية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وقد وصف زاهلر وسوسمان، في مقال نُشر عام 1977 في مجلة نيتشر ، هذه التطبيقات بأنها "تتسم بالاستدلال الخاطئ، والافتراضات البعيدة عن المنطق، والنتائج المغلوطة، والمبالغات". ^{[ 3 ]} ونتيجة لذلك، تراجعت شعبية نظرية الكوارث في التطبيقات العملية. ^{[ 4 ]}

تحلل نظرية الكوارث النقاط الحرجة المنحلة لدالة الجهد، وهي النقاط التي لا تكون فيها المشتقة الأولى فقط، بل مشتقة واحدة أو أكثر من المشتقات الأعلى لدالة الجهد، مساوية للصفر. تُسمى هذه النقاط ببذور هندسة الكوارث. ويمكن الكشف عن انحلال هذه النقاط الحرجة بتوسيع دالة الجهد كمتسلسلة تايلور في تغيرات طفيفة للمعاملات.

عندما لا تكون النقاط المنحلة مجرد مصادفة، بل مستقرة بنيويًا ، فإنها تُشكل مراكز تنظيمية لبنى هندسية محددة ذات انحلال أقل، مع سمات حاسمة في فضاء المعاملات المحيطة بها. إذا كانت دالة الجهد تعتمد على متغيرين فعالين أو أقل، وأربعة معاملات فعالة أو أقل، فلا يوجد سوى سبع بنى عامة لهذه الهندسات المتشعبة، مع أشكال قياسية مقابلة يمكن تحويل متسلسلة تايلور حول جراثيم الكارثة إليها عن طريق التحويل التفاضلي (تحويل سلس يكون معكوسه سلسًا أيضًا). تُعرض الآن هذه الأنواع الأساسية السبعة، مع الأسماء التي أطلقها عليها ثوم.

تدرس نظرية الكوارث الأنظمة الديناميكية التي تصف تطور ^{[ 5 ]} متغير الحالة${\displaystyle x}$ متأخر , بعد فوات الوقت${\displaystyle t}$:  :${\displaystyle {\dot {x}}={\dfrac {dx}{dt}}=-{\dfrac {dV(u,x)}{dx}}}$

في المعادلة أعلاه،${\displaystyle V}$ويُشار إليها باسم دالة الجهد، و${\displaystyle u}$غالبًا ما يكون متجهًا أو كمية قياسية تُستخدم لتمثيل دالة الجهد. قيمة${\displaystyle u}$قد تتغير بمرور الوقت، ويمكن الإشارة إليها أيضًا باسم متغير التحكم . في الأمثلة التالية، معلمات مثل${\displaystyle a,b}$هذه هي الضوابط.

كارثة الطي

$${\displaystyle V=x^{3}+ax\,}$$

عندما تكون قيمة a أقل من الصفر ، يكون للجهد V قيمتان أقصيتان - إحداهما مستقرة والأخرى غير مستقرة. إذا زادت قيمة المعامل a تدريجيًا، يمكن للنظام أن يتبع نقطة الحد الأدنى المستقرة. ولكن عند a = 0، تلتقي القيمتان المستقرة وغير المستقرة وتتلاشى. هذه هي نقطة التشعب. عند a > 0، لا يوجد حل مستقر. إذا تتبعنا نظامًا فيزيائيًا خلال تشعب الطي، فسنجد أنه عندما تصل قيمة a إلى الصفر، يفقد النظام استقرار الحل عند a < 0 فجأة، وينتقل فجأة إلى سلوك جديد ومختلف تمامًا. تُسمى قيمة التشعب هذه للمعامل a أحيانًا " نقطة التحول ".

كارثة على حافة الهاوية

رسم تخطيطي لكارثة الحدبة، يوضح منحنيات (بني، أحمر) لـ x التي تحقق dV / dx = 0 للمعاملات ( a ، b )، مرسومة للمعامل b المتغير باستمرار، لعدة قيم للمعامل a .

خارج نطاق التشعبات (باللون الأزرق)، لكل نقطة ( أ ، ب ) في فضاء المعاملات، توجد قيمة قصوى واحدة فقط لـ x . داخل نطاق التشعبات، توجد قيمتان مختلفتان لـ x تُعطيان قيمًا دنيا محلية لـ V ( x ) لكل ( أ ، ب )، يفصل بينهما قيمة لـ x تُعطي قيمة عظمى محلية.

شكل الحدبة في فضاء المعلمات ( أ ، ب ) بالقرب من نقطة الكارثة، مما يوضح موضع تشعبات الطي التي تفصل المنطقة ذات الحلين المستقرين عن المنطقة ذات الحل الواحد.

تشعب متشعب عند a = 0 على السطح b = 0

$${\displaystyle V=x^{4}+ax^{2}+bx\,}$$

تُعدّ هندسة الحدبة شائعةً جدًا عند دراسة ما يحدث لتشعب الطي عند إضافة مُعامل ثانٍ، b ، إلى فضاء التحكم. بتغيير المُعاملات، نجد أن هناك منحنى (باللون الأزرق) من النقاط في فضاء ( a , b ) حيث يفقد الحل الاستقرار، وينتقل الحل المستقر فجأةً إلى نتيجة بديلة.

لكن في هندسة ذات قمة مدببة، يلتف منحنى التشعب على نفسه، مُشكلاً فرعاً ثانياً يفقد فيه هذا الحل البديل استقراره، ويعود فجأة إلى مجموعة الحلول الأصلية. وبالتالي، من خلال زيادة قيمة b ثم إنقاصها بشكل متكرر، يمكن ملاحظة حلقات التخلف ، حيث يتبع النظام بالتناوب حلاً، ثم ينتقل إلى الحل الآخر، ثم يعود إلى الحل الأول.

ومع ذلك، فإن هذا ممكن فقط في منطقة فضاء المعلمات a < 0. ومع زيادة قيمة a ، تصبح حلقات التخلف أصغر فأصغر، حتى تختفي تمامًا عند a = 0 (كارثة الحدبة)، ولا يوجد سوى حل مستقر واحد.

يمكن أيضًا النظر فيما يحدث عند تثبيت قيمة b وتغيير قيمة a . في الحالة المتناظرة b = 0 ، نلاحظ تشعبًا متشعبًا عند تقليل قيمة a ، حيث ينقسم حل مستقر واحد فجأة إلى حلين مستقرين وحل غير مستقر واحد عندما ينتقل النظام الفيزيائي إلى a < 0 عبر نقطة الانعطاف (0,0) (مثال على كسر التناظر التلقائي ). بعيدًا عن نقطة الانعطاف، لا يوجد تغيير مفاجئ في الحل الفيزيائي المتبع: عند المرور عبر منحنى تشعبات الطي، كل ما يحدث هو ظهور حل ثانٍ بديل.

من الاقتراحات الشائعة استخدام نموذج "التحول المفاجئ" لمحاكاة سلوك الكلب المُجهد، والذي قد يستجيب إما بالخوف أو بالغضب. ^{[ 6 ]} ويُفترض أنه عند مستوى إجهاد متوسط ​​( a > 0 )، سيُظهر الكلب انتقالًا سلسًا في الاستجابة من الخوف إلى الغضب، اعتمادًا على كيفية استفزازه. أما عند مستويات الإجهاد الأعلى، فينتقل إلى المنطقة ( a < 0 ). فإذا بدأ الكلب خائفًا، فسيظل كذلك مع ازدياد استفزازه، حتى يصل إلى نقطة "الانقلاب"، حيث سينقلب فجأة وبشكل غير متواصل إلى حالة الغضب. وبمجرد دخوله في حالة "الغضب"، سيظل غاضبًا، حتى لو انخفض مُعامل الاستفزاز المباشر بشكل ملحوظ.

يُجسّد نظام ميكانيكي بسيط، يُعرف باسم "آلة كارثة زيمان"، كارثةً حادةً بشكلٍ واضح. في هذا الجهاز، يمكن أن تُسبب التغيرات الطفيفة في موضع نهاية نابض تغيرات مفاجئة في الموضع الدوراني لعجلة متصلة به. ^{[ 7 ]}

يمكن تقييم الانهيار الكارثي لنظام معقد ذي فائض متوازٍ بناءً على العلاقة بين الإجهادات المحلية والخارجية. يشابه نموذج ميكانيكا الكسر الهيكلي سلوك الكارثة عند نقطة التحول. ويتنبأ هذا النموذج بقدرة النظام المعقد على تحمل الأحمال الاحتياطية.

وتشمل التطبيقات الأخرى نقل الإلكترونات في الغلاف الخارجي الذي يُصادف بشكل متكرر في الأنظمة الكيميائية والبيولوجية، ^{[ 8 ]} ونمذجة ديناميكيات نوى تكثيف السحب في الغلاف الجوي، ^{[ 9 ]} ونمذجة أسعار العقارات. ^{[ 10 ]}

تُعدّ تشعبات الطي وهندسة الحدبة من أهم النتائج العملية لنظرية الكوارث. وهي أنماط تتكرر باستمرار في الفيزياء والهندسة والنمذجة الرياضية. وتُنتج هذه الأنماط أحداث عدسات الجاذبية القوية، وتُزوّد ​​علماء الفلك بإحدى الطرق المستخدمة للكشف عن الثقوب السوداء والمادة المظلمة في الكون، وذلك من خلال ظاهرة عدسات الجاذبية التي تُنتج صورًا متعددة للكوازارات البعيدة . ^{[ 11 ]}

أما الأشكال الهندسية البسيطة المتبقية للكوارث فهي متخصصة للغاية بالمقارنة.

كارثة فراشة ذيل السنونو

$${\displaystyle V=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx\,}$$

فضاء معلمات التحكم ثلاثي الأبعاد. تتكون مجموعة التشعب في فضاء المعلمات من ثلاثة أسطح من تشعبات الطي، والتي تلتقي في خطين من تشعبات الحدبة، والتي بدورها تلتقي عند نقطة تشعب ذيل السنونو.

مع مرور المعاملات عبر سطح تشعبات الطي، يختفي حد أدنى وحد أقصى للدالة الكامنة. عند تشعبات الحدبة، يُستبدل حد أدنى واحد بحد أدنى واحد وحد أقصى واحد؛ وبعدها تختفي تشعبات الطي. عند نقطة ذيل السنونو، يلتقي حد أدنى واحد وحد أقصى واحد عند قيمة واحدة لـ x . بالنسبة لقيم a > 0 ، بعد نقطة ذيل السنونو، يوجد إما زوج واحد من الحد الأقصى والحد الأدنى، أو لا يوجد أي زوج على الإطلاق، وذلك اعتمادًا على قيم b و c . وبالتالي، يختفي سطحان من أسطح تشعبات الطي، وخطا تشعبات الحدبة حيث يلتقيان عندما تكون a < 0 ، عند نقطة ذيل السنونو، ليحل محلهما سطح واحد فقط من تشعبات الطي. استوحى سلفادور دالي لوحته الأخيرة، " ذيل السنونو" ، من هذه الظاهرة.

كارثة الفراشات

$${\displaystyle V=x^{6}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx\,}$$

اعتمادًا على قيم المعاملات، قد تحتوي دالة الجهد على ثلاثة أو اثنين أو نقطة دنيا محلية مختلفة، تفصل بينها مواضع تشعبات الطي. عند نقطة الفراشة، تلتقي جميع الأسطح الثلاثية لتشعبات الطي، والأسطح الثنائية لتشعبات الحدبة، وخطوط تشعبات ذيل السنونو، وتختفي، تاركةً بنية حدبة واحدة عندما تكون قيمة a أكبر من الصفر .

تُعدّ الكوارث السُرية أمثلةً على كوارث الرتبة الثانية. ويمكن رصدها في علم البصريات في الأسطح البؤرية الناتجة عن انعكاس الضوء عن سطح ثلاثي الأبعاد، وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بهندسة الأسطح شبه الكروية: النقطة السُرية . وقد اقترح ثوم أن الكارثة السُرية القطعية تُحاكي انكسار الموجة، بينما تُحاكي الكارثة السُرية الإهليلجية تكوّن تراكيب شبيهة بالشعر.

صنّف فلاديمير أرنولد بعض الكوارث ضمن تصنيف ADE ، نظراً لارتباطها الوثيق بمجموعات لي البسيطة . باختصار، يطبّق نظرية مورس بالقرب من النقطة الحرجة للتشعب ويصنّف السلوك الطوبولوجي بالقرب من تلك النقطة، مع اعتبار مجموعة لي بسيطة مجموعة التناظر للتشعب. ^{[ 12 ]}

• أ ₀ – نقطة غير منفردة:${\displaystyle V=x}$.
• أ ₁ – قيمة قصوى محلية، إما قيمة دنيا مستقرة أو قيمة عظمى غير مستقرة${\displaystyle V=\pm x^{2}+ax}$.
• أ ₂ - الطي
• أ ₃ – نقطة التحول
• أ ₄ - ذيل السنونو
• أ _٥ - الفراشة
• A _k – ممثل لتسلسل لانهائي من أشكال المتغير الواحد${\displaystyle V=x^{k+1}+\cdots }$
• D ₄ ⁻ – الحبل السري الإهليلجي
• D ₄ ⁺ – السُرّية الزائدية
• د ₅ - الحبل السري المكافئ
• D _k – ممثل لسلسلة لا نهائية من أشكال الحبل السري الأخرى
• E ₆ – الحبل السري الرمزي${\displaystyle V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy+ey^{2}}$
• E ₇
• E ₈

توجد في نظرية التفرد كائنات تتوافق مع معظم مجموعات لي البسيطة الأخرى.

كما تنبأت نظرية الكوارث، فإن النقاط الشاذة عامة ومستقرة في ظل الاضطراب. وهذا يفسر كيف أن الخطوط والأسطح الساطعة مستقرة في ظل الاضطراب. فالبقع الكاوية التي نراها في قاع حوض السباحة، على سبيل المثال، لها نسيج مميز ولا تحتوي إلا على أنواع قليلة من النقاط الشاذة، على الرغم من أن سطح الماء يتغير باستمرار. ^{[ 13 ]}

على سبيل المثال، تُظهر حافة قوس قزح ظاهرة طيّية كارثية. ونظرًا لطبيعة الضوء الموجية، فإن هذه الظاهرة تتميز بتفاصيل حيود دقيقة تُوصف بدالة آيري . هذه نتيجة عامة ولا تعتمد على الشكل الدقيق لقطرة الماء، ولذلك فإن حافة قوس قزح تتخذ دائمًا شكل دالة آيري. ^{[ 14 ] [ 15 ]} ويمكن ملاحظة ظاهرة طيّ آيري الكارثية نفسها في تشتت النوى (قوس قزح نووي). ^{[ 16 ]}

تُعدّ كارثة الحدبة ثاني أبسط الظواهر التي يمكن رصدها. ونظرًا لطبيعة الضوء الموجية، فإنّ هذه الكارثة تتميز بتفاصيل حيود دقيقة تُوصف بدالة بيرسي . ^{[ 17 ]} كما رُصدت كوارث من رتب أعلى، مثل كارثة ذيل السنونو وكارثة الفراشة. ^{[ 18 ]}

• أرنولد، فلاديمير إيغوريفيتش (1992) نظرية الكوارث ، الطبعة الثالثة. برلين: سبرينغر-فيرلاغ
• في إس أفراجموفيتش ، في آي أرنولد، وآخرون، نظرية التشعب ونظرية الكوارث ، رقم ISBN 3-540-65379-1
• بيلي، م. كوليزا، س. (2013) "نمذجة أسعار العقارات في أولشتين في ظل ظروف عدم الاستقرار"، فوليا أوكونوميكا ستيتينينسيا 11(1): 61-72، الرقم الدولي الموحد للدوريات (عبر الإنترنت) 1898-0198، الرقم الدولي الموحد للدوريات (مطبوع) 1730-4237، doi : 10.2478/v10031-012-0008-7
• كاستريغيانو، دومينيكو بي إل وهايز، ساندرا أ. (2004) نظرية الكوارث ، الطبعة الثانية، بولدر: ويستفيو، رقم ISBN 0-8133-4126-4
• جيلمور، روبرت (1993) نظرية الكوارث للعلماء والمهندسين ، نيويورك: دوفر
• بيترز، آرلي أو.، ليفين، هارولد، ووامبسجانس، يواكيم (2001) نظرية التفرد وعدسات الجاذبية ، بوسطن: بيركهاوزر، رقم ISBN 0-8176-3668-4
• Postle, Denis (1980) Catastrophe Theory – Predict and avoid personal disasters, Fontana Paperbacks ISBN 0-00-635559-5
• Poston, Tim and Stewart, Ian (1998) Catastrophe: Theory and Its Applications, New York: Dover ISBN 0-486-69271-X
• Sanns, Werner (2000) Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach, Germany: DAV
• Saunders, Peter Timothy (1980) An Introduction to Catastrophe Theory, Cambridge, England: Cambridge University Press
• Thom, René (1989) Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models, Reading, MA: Addison-Wesley ISBN 0-201-09419-3
• Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. (1978) Catastrophe Theory, New York: E. P. Dutton ISBN 0-525-07812-6
• Zeeman, E.C. (1977) Catastrophe Theory-Selected Papers 1972–1977, Reading, MA: Addison-Wesley

• CompLexicon: Catastrophe Theory
• Catastrophe teacher
• Java simulation of Zeeman's catastrophe machine