الناتج المباشر للمجموعات

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الزمر ، يُعدّ الضرب المباشر عمليةً تأخذ زمرتين $G$ و $H$ وتُنشئ زمرةً جديدة، يُرمز إليها عادةً بـ $G \times H.$ هذه العملية هي النظير النظري للزمر للضرب الديكارتي للمجموعات ، وهي إحدى المفاهيم المهمة للضرب المباشر في الرياضيات .

في سياق الزمر الأبيلية ، يُشار أحيانًا إلى الضرب المباشر باسم المجموع المباشر ، ويُرمز له بـ $G\oplus H$ تلعب المجاميع المباشرة دورًا مهمًا في تصنيف المجموعات الأبيلية: وفقًا للنظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المنتهية ، يمكن التعبير عن كل مجموعة أبيلية منتهية على أنها مجموع مباشر للمجموعات الدورية .

تعريف

بالنظر إلى المجموعتين $G$ (مع العملية $*$ ) و $H$ (مع العملية $∆$ )، فإن الضرب المباشر $G \times H$ يُعرَّف على النحو التالي:

المجموعة الأساسية هي حاصل الضرب الديكارتي، G $\times H. أي$ الأزواج المرتبة $(g ، h)$ ، حيث $g \in G$ و $h \in H.$
تُعرَّف العملية الثنائية على $G \times H على أساس كل عنصر على حدة:$
$(g1, h1) \cdot (g2, h2) = (g1 * g2, h1 ∆h2) $

يحقق الكائن الجبري الناتج بديهيات المجموعة. تحديداً:

الترابط: العملية الثنائية على $G \times H$ هي عملية تجميعية .
هوية: يحتوي المنتج المباشر على عنصر محايد ، وهو $(1 G ، 1 H)$ ، حيث $1 G$ هو العنصر المحايد لـ $G$ و $1 H$ هو العنصر المحايد لـ $H.$
المعكوسات: إن معكوس العنصر $(g, h)$ من $G \times H$ هو الزوج $(g -1, h -1)$ ، حيث $g -1$ هو معكوس $g$ في $G$ ، و $h -1$ هو معكوس $h$ في $H.$

أمثلة

ليكن $R$ مجموعة الأعداد الحقيقية الخاضعة لعملية الجمع . عندئذٍ يكون حاصل الضرب المباشر $R \times R$ هو مجموعة جميع المتجهات ذات المركبتين $(x, y)$ الخاضعة لعملية جمع المتجهات :

(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)

.

ليكن $R⁺$ مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة الخاضعة لعملية الضرب. عندئذٍ $،$ $يكون$ حاصل الضرب المباشر $R⁺ \times R⁺$ هو مجموعة جميع المتجهات في الربع الأول الخاضعة لعملية الضرب العنصري $.$

(x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

.

لتكن $G$ و $H$ مجموعتين دوريتين تحتوي كل منهما على عنصرين:

$G$
* 1 أ
1 1 أ
أ أ 1
$H$
* 1 ب
1 1 ب
ب ب 1

ثم يكون الناتج المباشر $G \times H$ متماثلاً مع مجموعة كلاين الرباعية :

$G\times H$
*	(1,1)	(أ،1)	(1،ب)	(أ، ب)
(1,1)	(1,1)	(أ،1)	(1،ب)	(أ، ب)
(أ،1)	(أ،1)	(1,1)	(أ، ب)	(1،ب)
(1،ب)	(1،ب)	(أ، ب)	(1,1)	(أ،1)
(أ، ب)	(أ، ب)	(1،ب)	(أ،1)	(1,1)

الخصائص الأولية

الضرب المباشر تبادلي وتجميعي حتى التشاكل. أي أن G $\times H ≅ H \times G و$ ( $G \times H) \times K ≅ G \times (H \times K)$ لأي مجموعات $G$ و $H$ و $K.$
إذا كانت $G$ أي مجموعة و { $1$ } هي المجموعة التافهة، فإن $G ≅ G \times {1} ≅ {1} \times G.$
رتبة G $\times$ $H$ $هي$ حاصل ضرب رتبتي $G$ و $H$ :
$| G \times H | = | G | | H |$ .
وهذا يتبع من صيغة حساب عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات.
إذا كانت $g$ في $G$ و $h$ في $H$ ذات رتبة منتهية، فإن رتبة $($ $g$ $,$ $h$ $)$ هي المضاعف المشترك الأصغر لرتبتي $g$ و $h$ . ^[¹^] على وجه الخصوص، إذا كانت $g$ و $h$ ذات رتبة منتهية، وكانت رتبتاهما أوليتين فيما بينهما ، فإن رتبة $($ $g$ $,$ $h$ $)$ هي حاصل ضرب رتبتي $g$ و $h$ .
وبالتالي، إذا كانت $G$ و $H$ مجموعتين دوريتين منتهيتين رتبتاهما أوليتان فيما بينهما، فإن $G \times H$ تكون دورية. على سبيل المثال، إذا كان $m$ و $n$ أوليين فيما بينهما، فإن
$(ض / م ض) \times (ض / ن ض) ≅ ض / من ض$ .
ترتبط هذه الحقيقة ارتباطًا وثيقًا بنظرية الباقي الصينية .

البنية الجبرية

لتكن $G$ و $H$ مجموعتين، ولتكن $P = G \times H$ ، ولنعتبر المجموعتين الجزئيتين التاليتين من $P$ :

G' = { (g, 1) : g \in G}

و

H

' = { (1,

h

)

:

h

\in

H

}

.

كلتاهما في الواقع زمرتان جزئيتان من $P$ ، الأولى متماثلة مع $G$ ، والثانية متماثلة مع $H.$ إذا اعتبرنا هاتين الزمرتين $G$ و $H$ على التوالي، فيمكننا اعتبار حاصل الضرب المباشر $P$ محتوياً على الزمرتين الأصليتين $G$ و $H$ كزمرتين جزئيتين.

تتمتع هذه المجموعات الفرعية من $P$ بالخصائص الثلاث المهمة التالية: (مع التأكيد مرة أخرى على أننا نحدد $G'$ و $H'$ مع $G$ و $H$ ، على التوالي.)

التقاطع $G$ $\cap$ $H$ تافه .
يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر $P$ بشكل فريد كحاصل ضرب عنصر من عناصر $G$ وعنصر من عناصر $H.$
كل عنصر من عناصر G $يتبادل$ مع كل عنصر من عناصر $H.$

تُحدد هذه الخصائص الثلاث مجتمعةً البنية الجبرية للجداء المباشر $P$ بشكل كامل . أي، إذا كانت $P$ أي زمرة تحتوي على زمرتين جزئيتين $G$ و $H$ تحققان الخصائص المذكورة أعلاه، فإن $P$ متماثلة بالضرورة مع الجداء المباشر لـ $G$ و $H.$ في هذه الحالة، يُشار إلى $P$ أحيانًا باسم الجداء المباشر الداخلي لزمرتيها الجزئيتين $G$ و $H.$

في بعض السياقات، يتم استبدال الخاصية الثالثة المذكورة أعلاه بما يلي:

3′. كل من

G

و

H

طبيعيان في

P.

هذه الخاصية تعادل الخاصية 3، حيث أن عناصر مجموعتين فرعيتين طبيعيتين مع تقاطع تافه تتبادل بالضرورة، وهي حقيقة يمكن استنتاجها من خلال النظر في المبدل $[g, h]$ لأي $g$ في $G$ و $h$ في $H.$

أمثلة

ليكن $V$ هو المجموعة الرباعية لكلاين :
$V$
∙ $1$ $أ$ $ب$ $ج$
$1$ $1$ $أ$ $ب$ $ج$
$أ$ $أ$ $1$ $ج$ $ب$
$ب$ $ب$ $ج$ $1$ $أ$
$ج$ $ج$ $ب$ $أ$ $1$
إذن $V$ هو حاصل الضرب الداخلي المباشر للمجموعات الفرعية المكونة من عنصرين {1، a } و {1، b }.
يترك $\langle a\rangle$ لتكن زمرة دورية من الرتبة mn ، حيث m و n عددان أوليان فيما بينهما. $\langle a^{n}\rangle$ و $\langle a^{m}\rangle$ هي مجموعات فرعية دورية من الرتبتين m و n على التوالي، و $\langle a\rangle$ هو الناتج الداخلي المباشر لهذه المجموعات الفرعية.
ليكن $C \times$ مجموعة الأعداد المركبة غير الصفرية تحت عملية الضرب . عندئذٍ، يكون $C \times$ هو حاصل الضرب الداخلي المباشر لمجموعة الدائرة $T$ للأعداد المركبة الوحدوية ومجموعة $R +$ للأعداد الحقيقية الموجبة تحت عملية الضرب.
إذا كان n فرديًا، فإن المجموعة الخطية العامة $GL(n, R)$ هي حاصل الضرب الداخلي المباشر للمجموعة الخطية الخاصة $SL(n, R)$ والمجموعة الفرعية المكونة من جميع المصفوفات العددية .
وبالمثل، عندما يكون n فرديًا ، فإن المجموعة المتعامدة $O(n, R)$ هي حاصل الضرب الداخلي المباشر للمجموعة المتعامدة الخاصة $SO(n, R)$ والمجموعة الفرعية المكونة من عنصرين ${-I, I}،$ حيث $I$ تشير إلى مصفوفة الوحدة .
مجموعة التناظر للمكعب هي حاصل الضرب الداخلي المباشر لمجموعة الدورانات ومجموعة العناصر الثنائية ${-I$ $,$ $I$ $}$ $،$ حيث I $هو$ العنصر المحايد و− $I$ $هو$ الانعكاس النقطي المار بمركز المكعب. وينطبق الأمر نفسه على مجموعة التناظر للمجسم العشري الوجوه .
ليكن n عددًا فرديًا، وليكن D _{4 n} هو المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 4 n :
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
إذن، D _{4 n} هو حاصل الضرب الداخلي المباشر للمجموعة الجزئية $\langle r^{2},s\rangle$ (وهو متماثل مع D _{2 n} ) والمجموعة الفرعية المكونة من عنصرين {1، r ⁿ }.

العروض التقديمية

يمكن استخدام البنية الجبرية لـ $G \times H$ لتقديم عرض للضرب المباشر بدلالة عروض $G$ و $H.$ على وجه التحديد، لنفترض أن

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

و

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

أين $S_{G}$ و $S_{H}$ هي مجموعات مولدة (منفصلة) و $R_{G}$ و $R_{H}$ تحديد العلاقات. ثم

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

أين $R_{P}$ هي مجموعة من العلاقات التي تحدد أن كل عنصر من $S_{G}$ يتنقل مع كل عنصر من عناصر $S_{H}$ .

على سبيل المثال إذا

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

و

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

ثم

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

البنية الطبيعية

$كما ذُكر أعلاه، فإن$ المجموعتين الجزئيتين $G$ و $H$ طبيعيتان في $G \times H.$ وبالتحديد، نُعرّف الدالتين $πG : G \times H \to G$ و $πH : G \times H \to H$ كما يلي $:$

π G (g, h) = g

و

π

H

(

g

,

h

) =

h

.

ثم $π G$ و $π H$ هما تماثلات ، تُعرف باسم تماثلات الإسقاط ، ونواة هذه التماثلات هي $H$ و $G$ على التوالي.

يستنتج من ذلك أن $G \times H$ هي امتداد لـ $G$ بواسطة $H$ (أو العكس). في حالة كون $G \times H$ زمرة منتهية ، فإن عوامل التركيب لـ $G \times H$ هي بالضبط اتحاد عوامل التركيب لـ $G$ وعوامل التركيب لـ $H.$

خصائص أخرى

الملكية العالمية

يمكن وصف الضرب المباشر $G \times H$ بالخاصية العامة التالية . ليكن $πG : G \times H \to G$ و $πH : G \times H \to H$ تشاكلين إسقاطيين. عندئذٍ، لأي زمرة $P$ $وأي$ $تشاكلين$ ƒG $: P \to G و$ ƒH $:$ $P$ $\to H ،$ $يوجد$ تشاكل وحيد $ƒ: P$ $\to$ $G$ $\times$ $H$ يجعل المخطط التالي تبادليًا $:$

وبالتحديد، يُعطى التشاكل $ƒ$ بالصيغة التالية:

ƒ(p) = (ƒ G (p) , ƒ H (p))

.

هذه حالة خاصة من الخاصية الشاملة للمنتجات في نظرية الفئات .

المجموعات الفرعية

إذا كانت $A$ زمرة جزئية من $G$ و $B$ زمرة جزئية من $H$ ، فإن $A \times B$ هي زمرة جزئية من $G \times H.$ على سبيل المثال، النسخة المتماثلة من $G$ في $G \times H$ هي حاصل ضرب $G \times {1}$ ، حيث ${1}$ هي الزمرة الجزئية التافهة من $H.$

إذا كانت $A$ و $B$ زمرتين طبيعيتين، فإن $A \times B$ زمرة جزئية طبيعية من $G \times H.$ علاوة على ذلك، فإن خارج قسمة الضرب المباشر متماثل مع الضرب المباشر لخارج القسمة.

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

.

ليس صحيحًا بشكل عام أن كل زمرة جزئية من $G \times H$ هي حاصل ضرب زمرة جزئية من $G$ في زمرة جزئية من $H.$ على سبيل المثال، إذا كانت $G$ أي زمرة غير تافهة، فإن حاصل ضرب $G \times G$ له زمرة جزئية قطرية.

Δ = { (g, g) : g \in G}

وهو ليس الناتج المباشر لمجموعتين فرعيتين من $G.$

تُوصَف المجموعات الفرعية لحاصل الضرب المباشر لمجموعتين بواسطة مبرهنة غورسات . وتشمل المجموعات الفرعية الأخرى حاصل الضرب الليفي لـ $G$ و $H.$

الاقتران والمركزية

يكون العنصران $(g1, h1)$ و $(g2, h2)$ مترافقين في $G$ $\times$ $H$ إذا وفقط إذا كان $g1$ $و$ g2 $مترافقين$ في $G$ $،$ $وكان$ $h1$ و $h2$ مترافقين في $H.$ وبالتالي، فإن كل فئة ترافق في $G$ $\times$ $H$ $هي ببساطة$ حاصل الضرب الديكارتي لفئة ترافق $في$ $G$ $وفئة$ ترافق $في$ $H.$

وبالمثل، إذا كان $(g, h) \in G \times H$ ، فإن مركز ( $g, h) هو$ ببساطة حاصل ضرب مركزي $g$ و $h$ :

C G \times H (g, h)

=

C

G

(

g

) \times

C

H

(

h

)

.

وبالمثل، فإن $مركز G$ × H $هو$ $حاصل$ ضرب مركزي $G$ و $H$ :

Z (G \times H)

=

Z

(

G

) \times

Z

(

H

)

.

تتصرف أدوات التطبيع بطريقة أكثر تعقيدًا نظرًا لأن ليس كل المجموعات الفرعية من المنتجات المباشرة تتحلل كمنتجات مباشرة.

التماثلات الذاتية والتماثلات الداخلية

إذا كان $α$ تشاكلًا ذاتيًا لـ $G$ و $β$ تشاكلًا ذاتيًا لـ $H$ ، فإن دالة الضرب $α \times β : G \times H \to G \times H$ المعرفة بـ

(α \times β)(g, h) = (α (g), β (h))

هو تشاكل ذاتي لـ $G \times H.$ ويترتب على ذلك أن $Aut(G \times H)$ له زمرة جزئية متماثلة مع حاصل الضرب المباشر $Aut(G) \times Aut(H)$ .

ليس صحيحًا بشكل عام أن كل تشاكل ذاتي لـ $G \times H$ له الشكل المذكور أعلاه. (أي أن $Aut(G) \times Aut(H)$ غالبًا ما يكون زمرة جزئية فعلية من $Aut(G \times H))$ . على سبيل المثال، إذا كانت $G$ أي زمرة، فإنه يوجد تشاكل ذاتي $σ$ لـ $G \times G$ يبدل العاملين، أي

σ (ز 1, ز 2) = (ز 2, ز 1)

.

كمثال آخر، زمرة التشاكلات الذاتية للمصفوفة $Z \times Z$ هي $GL (2, Z)$ ، وهي زمرة جميع المصفوفات $2 \times 2$ ذات المدخلات الصحيحة ومحددها ± $1$ . هذه الزمرة لانهائية، ولكن عددًا محدودًا فقط من التشاكلات الذاتية لها الشكل المذكور أعلاه.

بشكل عام، يمكن كتابة كل تشاكل داخلي لـ $G \times H$ على شكل مصفوفة $2 \times 2$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

حيث $α$ تشاكل داخلي للمصفوفة $G$ ، $و$ $δ$ تشاكل داخلي للمصفوفة $H$ ، و $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ و $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H$ تشاكلان متماثلان. يجب أن تتمتع هذه المصفوفة بالخاصية التالية: كل عنصر في صورة α يتبادل مع كل عنصر في صورة $β$ ، وكل عنصر في صورة $γ$ يتبادل مع كل عنصر في صورة $δ$ .

عندما تكون G و H زمرتين غير قابلتين للتحليل ولا مركزيتين، فإن زمرة التشاكل الذاتي تكون بسيطة نسبيًا، وتكون Aut( G ) × Aut( H ) إذا لم تكن G و H متماثلتين، و Aut( G ) wr 2 إذا كانت G ≅ H ، حيث يرمز wr إلى حاصل الضرب الإكليلي . هذا جزء من نظرية كرول-شميدت ، وهي تنطبق بشكل أعم على حاصل الضرب المباشر المحدود.

التعميمات

المنتجات المباشرة المحدودة

من الممكن حساب الجداء المباشر لأكثر من مجموعتين في آن واحد. إذا كانت لدينا متتالية منتهية من المجموعات $G1 ، ...، Gn ، فإن$ الجداء المباشر

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

يُعرَّف على النحو التالي:

عناصر $G 1 \times \dots \times G n$ هي أزواج $(g 1, ..., g n)$ ، حيث $g i \in G i$ لكل $i$ .
يتم تعريف العملية على $G 1 \times \dots \times G n على أساس كل عنصر على حدة:$
$(g 1, ..., g n)(g 1', ..., g n')$ = $(g 1 g 1', ..., g n g n')$ .

يتمتع هذا بالعديد من الخصائص نفسها التي يتمتع بها حاصل الضرب المباشر لمجموعتين، ويمكن وصفه جبريًا بطريقة مماثلة.

منتجات مباشرة لا نهائية

من الممكن أيضاً حساب الجداء المباشر لعدد لا نهائي من الزمر. بالنسبة لمتتالية لانهائية $G1 ، G2 ، ...$ من الزمر، يمكن تعريف هذا الجداء تماماً كما هو الحال مع الجداء المباشر المحدود المذكور أعلاه، حيث تكون عناصر الجداء المباشر اللانهائي عبارة عن مجموعات لا نهائية $.$

وبشكل أعم، إذا كانت لدينا عائلة مفهرسة { $G$ $i$ } $i$ $\in$ $I$ من المجموعات، فإن الضرب المباشر $Π$ $i$ $\in$ $I$ $G$ $i$ يُعرَّف على النحو التالي:

عناصر $Π i \in I G i$ هي عناصر الضرب الديكارتي اللانهائي للمجموعات $G i$ ؛ أي الدوال $ƒ: I \to ⋃ i \in I G i$ مع الخاصية التي $ƒ(i) \in G i$ لكل $i$ .
يُعرَّف حاصل ضرب عنصرين $ƒ و g على أساس كل عنصر على حدة:$
$(ƒ • g)(i)$ = $ƒ(i) • g (i)$ .

على عكس الضرب المباشر المحدود، فإن الضرب المباشر اللانهائي $Π i \in I G i$ لا يتم توليده بواسطة عناصر المجموعات الفرعية المتماثلة { $G$ $i$ } $i$ $\in$ $I.$ بدلاً من ذلك، تولد هذه المجموعات الفرعية مجموعة فرعية من الضرب المباشر تُعرف باسم المجموع المباشر اللانهائي ، والتي تتكون من جميع العناصر التي لها عدد محدود فقط من المكونات غير المحايد.

منتجات أخرى

منتجات شبه مباشرة

تذكر أن المجموعة $P$ التي تحتوي على مجموعات فرعية $G$ و $H$ متماثلة مع حاصل الضرب المباشر لـ $G$ و $H$ طالما أنها تحقق الشروط الثلاثة التالية:

التقاطع $G$ $\cap$ $H$ تافه .
يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر $P$ بشكل فريد كحاصل ضرب عنصر من عناصر $G$ وعنصر من عناصر $H.$
كل من $G$ و $H$ طبيعيان في $P.$

يُمكن الحصول على حاصل ضرب شبه مباشر للمجموعتين $G$ و $H$ بتخفيف الشرط الثالث، بحيث يُشترط أن تكون إحدى المجموعتين الفرعيتين $G أو H$ $طبيعية. ويتكون حاصل الضرب الناتج من أزواج مرتبة (g, h)$ ، ولكن بقاعدة ضرب أكثر تعقيدًا بعض الشيء.

من الممكن أيضاً التخلي تماماً عن الشرط الثالث، بحيث لا يشترط أن تكون أي من المجموعتين الفرعيتين طبيعية. في هذه الحالة، يُشار إلى المجموعة P $باسم$ ناتج زابا-سيب للمجموعة $G$ و $H.$

منتجات مجانية

إن الضرب الحر للمجموعتين $G$ و $H$ ، والذي يُرمز إليه عادةً بـ $G * H$ ، يُشبه الضرب المباشر، باستثناء أن المجموعتين الجزئيتين $G$ و $H$ من $G * H$ ليستا مُلزمتين بالتبادل. أي، إذا

G

=

〈 S G

|

R

G

〉

و

H

=

〈

S

H

|

R

H

〉

،

هل العروض التقديمية مخصصة لـ $G$ و $H$ ؟

G * H

=

〈 S G \cup S H

|

R

G

\cup

R

H

〉

.

بخلاف الضرب المباشر، لا يمكن تمثيل عناصر الضرب الحر بأزواج مرتبة. في الواقع، الضرب الحر لأي مجموعتين غير تافهتين هو عدد لانهائي. الضرب الحر هو في الحقيقة الضرب المشترك في فئة المجموعات .

المنتجات الفرعية المباشرة

إذا كانت $G$ و $H$ زمرتين، فإن الضرب الجزئي المباشر لـ $G$ و $H$ هو أي زمرة جزئية من $G \times H$ تُسقط إسقاطًا شاملًا على $G$ و $H$ تحت تأثير التشاكلات الإسقاطية. وبحسب مبرهنة غورسات ، فإن كل ضرب جزئي مباشر هو ضرب ليفي.

منتجات الألياف

لتكن $G$ و $H$ و $Q$ زمرًا، ولتكن $𝜑 : G \to Q$ و $χ : H \to Q$ تشاكلين. إن حاصل الضرب الليفي لـ $G$ و $H$ على $Q$ ، والمعروف أيضًا باسم السحب العكسي ، هو الزمرة الجزئية التالية من $G \times H$ :

$G\times _{Q}H=\{\,(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\,\}{\text{.}}$ إذا كان $𝜑 : G \to Q$ و $χ : H \to Q$ عبارة عن تشاكلات شاملة ، فإن هذا هو منتج فرعي مباشر.

مراجع

^ جاليان، جوزيف أ. (2010). الجبر التجريدي المعاصر (7 ed.). التعلم سينجاج. ص. 157. ردمك 9780547165097.

ارتين، مايكل (1991)، الجبر ، برنتيس هول ، ISBN 978-0-89871-510-1
هيرستين، إسرائيل ناثان (1996)، الجبر المجرد ( الطبعة الثالثة)، أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول إنك، رقم ISBN 978-0-13-374562-7MR 1375019 .
هيرشتاين، إسرائيل ناثان (1975)، مواضيع في الجبر ( الطبعة الثانية)، ليكسينغتون، ماساتشوستس: دار نشر زيروكس كوليدج، MR 0356988 .
لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 211 (الطبعة الثالثة المنقحة )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556
لانج، سيرج (2005)، الجبر الجامعي ( الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-22025-3.
روبنسون، ديريك جون سكوت (1996)، دورة في نظرية المجموعات ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-94461-6.

[1] جاليان، جوزيف أ. (2010). الجبر التجريدي المعاصر (7 ed.). التعلم سينجاج. ص. 157. ردمك 9780547165097.

[

∙	$1$	$أ$	$ب$	$ج$
$1$	$1$	$أ$	$ب$	$ج$
$أ$	$أ$	$1$	$ج$	$ب$
$ب$	$ب$	$ج$	$1$	$أ$
$ج$	$ج$	$ب$	$أ$	$1$