الحل في الجذور الحرة

الحل في الجذور أو الحل الجبري هو تعبير عن حل معادلة متعددة الحدود جبري ، أي أنه يعتمد فقط على الجمع والطرح والضرب والقسمة ورفعها إلى قوى صحيحة واستخراج الجذور النونية ( الجذور التربيعية والجذور التكعيبية وما إلى ذلك) .

ومن الأمثلة المعروفة الصيغة التربيعية

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},}$

والتي تعبر عن حلول المعادلة التربيعية

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

توجد حلول جبرية للمعادلات التكعيبية ^{[ 1 ]} والمعادلات الرباعية ^{[ 2 ]} ، وهي أكثر تعقيدًا من الصيغة التربيعية. تنص نظرية أبيل-روفيني ^{[ 3 ]} : ^{211 ،} وبشكل أعم نظرية غالوا ، على أن بعض المعادلات الخماسية ، مثل

${\displaystyle x^{5}-x+1=0,}$

ليس لها أي حل جبري. وينطبق الأمر نفسه على كل درجة أعلى. ومع ذلك، لكل درجة، توجد بعض المعادلات متعددة الحدود التي لها حلول جبرية؛ على سبيل المثال، المعادلة${\displaystyle x^{10}=2}$يمكن حلها على النحو التالي:${\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}$أما الحلول الثمانية الأخرى فهي أعداد مركبة غير حقيقية ، وهي أيضاً أعداد جبرية ولها الشكل التالي:${\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}$حيث r هو الجذر الخامس للوحدة ، والذي يمكن التعبير عنه بجذرين تربيعيين متداخلين . انظر أيضًا قسم الدوال الخماسية §  الدوال الخماسية الأخرى القابلة للحل للاطلاع على أمثلة أخرى متنوعة من الدرجة الخامسة.

قدّم إيفاريست غالوا معيارًا يسمح بتحديد المعادلات القابلة للحل باستخدام الجذور. انظر إلى التمديد الجذري للاطلاع على الصياغة الدقيقة لنتيجته.

• رمز جذري
• المعادلات الخماسية القابلة للحل
• علم الجنس القابل للحل
• خزانات الصرف الصحي القابلة للحل