نظرية غالوا

في الرياضيات ، تُقدّم نظرية غالوا ، التي وضعها إيفاريست غالوا ، صلةً بين نظرية الحقول ونظرية الزمر . هذه الصلة، التي تُشكّل النظرية الأساسية لنظرية غالوا ، تسمح باختزال بعض مسائل نظرية الحقول إلى مسائل نظرية الزمر، مما يجعلها أبسط وأسهل فهمًا.

قدّم غالوا موضوع دراسة جذور كثيرات الحدود . وقد مكّنه ذلك من تحديد خصائص معادلات كثيرات الحدود القابلة للحل بالجذور، وذلك من خلال خصائص مجموعة تبديل جذورها. فالمعادلة، بحسب تعريفها، قابلة للحل بالجذور إذا أمكن التعبير عن جذورها بصيغة تتضمن فقط الأعداد الصحيحة ، $والجذور$ النونية ، والعمليات الحسابية الأربع الأساسية . وهذا يُعمّم بشكل كبير نظرية أبيل-روفيني ، التي تنص على أنه لا يمكن حل كثيرات الحدود العامة من الدرجة الخامسة أو أعلى بالجذور.

تم استخدام نظرية غالوا لحل المشكلات الكلاسيكية بما في ذلك إظهار أن مشكلتين من العصور القديمة لا يمكن حلهما كما تم ذكرهما ( مضاعفة المكعب وتثليث الزاوية )، وتوصيف المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء (تم تقديم هذا التوصيف سابقًا بواسطة غاوس ولكن بدون إثبات أن قائمة المضلعات القابلة للإنشاء كانت كاملة؛ جميع البراهين المعروفة على أن هذا التوصيف كامل تتطلب نظرية غالوا).

نُشر عمل غالوا على يد جوزيف ليوفيل بعد أربعة عشر عامًا من وفاته. واستغرقت النظرية وقتًا أطول لتصبح شائعة بين علماء الرياضيات ومفهومة جيدًا.

تم تعميم نظرية غالوا لتشمل روابط غالوا ونظرية غالوا لغروتينديك .

تطبيق على المسائل الكلاسيكية

كان سبب نشأة وتطور نظرية غالوا هو السؤال التالي، الذي كان أحد أهم الأسئلة الرياضية المفتوحة حتى بداية القرن التاسع عشر:

هل توجد صيغة لإيجاد جذور معادلة متعددة الحدود من الدرجة الخامسة (أو أعلى) بدلالة معاملات متعددة الحدود، باستخدام العمليات الجبرية المعتادة فقط (الجمع والطرح والضرب والقسمة) وتطبيق الجذور (الجذور التربيعية والجذور التكعيبية وما إلى ذلك)؟

تُقدّم نظرية أبيل-روفيني مثالًا مضادًا يُثبت وجود معادلات متعددة الحدود لا يُمكن إيجاد صيغة رياضية لها. تُقدّم نظرية غالوا إجابةً أكثر شمولًا لهذا السؤال، إذ تُفسّر سبب إمكانية حلّ بعض المعادلات، بما فيها جميع المعادلات من الدرجة الرابعة أو أقل، بالطريقة المذكورة أعلاه، وسبب استحالة ذلك بالنسبة لمعظم المعادلات من الدرجة الخامسة أو أعلى. علاوةً على ذلك، تُوفّر هذه النظرية وسيلةً لتحديد إمكانية حلّ معادلة مُحدّدة، وهي وسيلةٌ واضحةٌ من الناحية المفاهيمية وسهلة التعبير عنها كخوارزمية .

تُقدّم نظرية غالوا أيضًا فهمًا واضحًا للمسائل المتعلقة بمشاكل إنشاء الخطوط باستخدام الفرجار والمسطرة . فهي تُقدّم وصفًا أنيقًا لنسب الأطوال التي يُمكن إنشاؤها بهذه الطريقة. وباستخدام هذه النظرية، يُصبح من السهل نسبيًا الإجابة على مسائل هندسية كلاسيكية مثل

ما هي المضلعات المنتظمة التي يمكن إنشاؤها ؟ ^{[ 1 ]}
لماذا لا يمكن تقسيم كل زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام الفرجار والمسطرة ؟ ^{[ 1 ]}
لماذا لا يمكن مضاعفة المكعب بنفس الطريقة؟

تاريخ

ما قبل التاريخ

نشأت نظرية غالوا من دراسة الدوال المتناظرة ، حيث تكون معاملات كثيرة الحدود أحادية المعامل ( مع مراعاة الإشارة) هي كثيرات الحدود المتناظرة الأولية في الجذور. على سبيل المثال، $(س - أ)(س - ب) = س² - (أ + ب) س + أب$ ، حيث س، $أ + ب،$ $وأب$ هي كثيرات الحدود الأولية من الدرجة 0، 1 $،$ و2 في متغيرين.

تمّت صياغة هذا المفهوم رسميًا لأول مرة على يد عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت في القرن السادس عشر ، وذلك في صيغ فييت ، لحالة الجذور الحقيقية الموجبة. ويرى عالم الرياضيات البريطاني تشارلز هاتون ، في القرن الثامن عشر، ^{[ 2 ]} أن التعبير عن معاملات كثير الحدود بدلالة الجذور (ليس فقط للجذور الموجبة) قد فُهم لأول مرة على يد عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرار في القرن السابع عشر . يكتب هاتون: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

كان جيرارد أول من فهم المبدأ العام لتكوين معاملات القوى من مجموع الجذور وحاصل ضربها. وكان أول من اكتشف قواعد جمع قوى جذور أي معادلة.

في هذا السياق، يُعدّ المميز دالة متناظرة في الجذور تعكس خصائصها؛ فهو يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان لكثير الحدود جذرٌ مُضاعف، وبالنسبة لكثيرات الحدود التربيعية والتكعيبية، يكون موجبًا إذا وفقط إذا كانت جميع الجذور حقيقية ومختلفة، وسالبًا إذا وفقط إذا وُجد زوج من الجذور المركبة المترافقة المختلفة. انظر قسم المميز § الدرجات المنخفضة لمزيد من التفاصيل.

حلّ عالم الرياضيات الإيطالي سكيبيوني ديل فيرو ، الذي عاش في القرنين الخامس عشر والسادس عشر، جزءًا من المعادلة التكعيبية، إلا أنه لم ينشر نتائجه؛ مع ذلك، لم تحلّ هذه الطريقة سوى نوع واحد من المعادلات التكعيبية. ثم أُعيد اكتشاف هذا الحل بشكل مستقل عام ١٥٣٥ على يد نيكولو فونتانا تارتاليا ، الذي شاركه مع جيرولامو كاردانو ، طالبًا منه عدم نشره. بعد ذلك، وسّع كاردانو نطاق هذا الحل ليشمل حالات أخرى عديدة، مستخدمًا حججًا مماثلة؛ لمزيد من التفاصيل، انظر طريقة كاردانو . بعد اكتشاف عمل ديل فيرو، شعر كاردانو أن طريقة تارتاليا لم تعد سرية، فنشر حله في كتابه " آرس ماجنا" عام ١٥٤٥. ^{[ ٥ ]} حلّ تلميذه لودوفيكو فيراري المعادلة الرباعية؛ وقد أُدرج حله أيضًا في "آرس ماجنا". مع ذلك، لم يُقدّم كاردانو في هذا الكتاب "صيغة عامة" لحل المعادلة التكعيبية، إذ لم تكن الأعداد المركبة متاحة له آنذاك، ولا الرموز الجبرية اللازمة لوصف معادلة تكعيبية عامة. وبفضل الرموز الحديثة والأعداد المركبة، تُجدي الصيغ الواردة في هذا الكتاب نفعًا في الحالة العامة، لكن كاردانو لم يكن على دراية بذلك. وقد تمكّن رافائيل بومبيلي من فهم كيفية التعامل مع الأعداد المركبة لحل جميع أشكال المعادلات التكعيبية.

كانت الخطوة التالية هي ورقة بحثية نُشرت عام 1770 بعنوان " تأملات حول الحل الجبري للمعادلات " ^{[ 6 ]،} من تأليف عالم الرياضيات الفرنسي الإيطالي جوزيف لويس لاغرانج ، حيث قدم فيها طريقة حلول لاغرانج ، التي حلل فيها حلول كاردانو وفيراري للمعادلات التكعيبية والرباعية من خلال النظر إليها بدلالة تباديل الجذور، مما أدى إلى الحصول على متعددة حدود مساعدة من درجة أدنى، موفرًا بذلك فهمًا موحدًا للحلول ومهّد الطريق لنظرية الزمر ونظرية غالوا. لكن الأهم من ذلك، أنه لم يأخذ في الاعتبار تركيب التباديل. لم تمتد طريقة لاغرانج إلى المعادلات من الدرجة الخامسة أو أعلى، لأن الحل كان من درجة أعلى.

كاد باولو روفيني أن يثبت عدم وجود حلول عامة للمعادلة الخماسية باستخدام الجذور في عام 1799، وكانت فكرته الأساسية هي استخدام مجموعات التبديلات ، وليس مجرد تبديل واحد. احتوى حله على ثغرة اعتبرها كوشي طفيفة، إلا أنها لم تُسد إلا من خلال عمل عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل ، الذي نشر برهانًا في عام 1824، مُرسخًا بذلك نظرية أبيل-روفيني .

بينما أثبت روفيني وآبل استحالة حل المعادلات الخماسية العامة ، إلا $أنه$ يمكن حل بعض المعادلات الخماسية الخاصة ، مثل $x⁵ - 1 = 0.$ وقد وضع إيفاريست غالوا المعيار الدقيق لتحديد ما إذا كانت معادلة خماسية أو متعددة حدود أعلى قابلة للحل أم لا ، حيث بيّن أن قابلية حل متعددة الحدود من عدمها مكافئة لامتلاك زمرة تبديل جذورها - أو ما يُعرف اليوم بزمرة غالوا - بنية معينة، أي ما إذا كانت زمرة قابلة للحل أم لا . وكانت هذه الزمرة قابلة للحل دائمًا لمتعددات الحدود من الدرجة الرابعة أو أقل، ولكن ليس بالضرورة لمتعددات الحدود من الدرجة الخامسة فأكثر، مما يفسر عدم وجود حل عام في الدرجات الأعلى.

كتابات غالوا

في عام 1830، قدّم غالوا (في سن الثامنة عشرة) إلى الأكاديمية الفرنسية للعلوم مذكرةً حول نظريته في قابلية حل المعادلات باستخدام الجذور. رُفضت ورقة غالوا في نهاية المطاف عام 1831 لكونها موجزة للغاية، ولأنها قدّمت شرطًا بدلالة جذور المعادلة بدلًا من معاملاتها. ثم توفي غالوا في مبارزة عام 1832، وبقيت ورقته البحثية، " مذكرة حول شروط قابلية حل المعادلات باستخدام الجذور "، غير منشورة حتى عام 1846، حين نشرها جوزيف ليوفيل مصحوبةً ببعض شروحاته. ^{[ 7 ]} قبل هذا النشر، أعلن ليوفيل نتيجة غالوا أمام الأكاديمية في خطاب ألقاه في 4 يوليو 1843. ^{[ 8 ]} ووفقًا لألان كلارك، فإن توصيف غالوا "يتجاوز بشكلٍ كبير عمل أبيل وروفيني". ^{[ 9 ]}

التداعيات

كانت نظرية غالوا صعبة الفهم للغاية بالنسبة لمعاصريه، لا سيما على المستوى الذي يسمح لهم بالتوسع فيها. فعلى سبيل المثال، أغفل ليوفيل تمامًا في تعليقه عام 1846 جوهر نظرية الزمر في منهج غالوا. ^{[ 10 ]} وقد أدرج جوزيف ألفريد سيريه، الذي حضر بعض محاضرات ليوفيل، نظرية غالوا في طبعته الثالثة (1866) من كتابه المدرسي " دروس في الجبر العالي" . وكان لدى تلميذ سيريه، كاميل جوردان ، فهم أعمق لها، تجلى ذلك في كتابه " رسالة في الاستبدالات والمعادلات الجبرية " الصادر عام 1870. أما خارج فرنسا، فقد ظلت نظرية غالوا غامضة لفترة أطول. ففي بريطانيا، لم يستوعب كايلي عمقها، ولم تذكر كتب الجبر البريطانية الشائعة نظرية غالوا إلا بعد مطلع القرن العشرين. وفي ألمانيا، ركزت كتابات كرونكر بشكل أكبر على نتيجة أبيل. لم يكتب ديديكيند الكثير عن نظرية غالوا، لكنه ألقى محاضرة عنها في غوتينغن عام 1858، مُظهِرًا فهمًا عميقًا لها. ^{[ 11 ]} ساهمت كتب يوجين نيتو في ثمانينيات القرن التاسع عشر، والمستندة إلى كتاب جوردان " Traité" ، في جعل نظرية غالوا في متناول جمهور أوسع من الألمان والأمريكيين، كما فعل كتاب هاينريش مارتن ويبر في الجبر عام 1895. ^{[ 12 ]}

نهج مجموعة التبديل

Given a polynomial, it may be that some of the roots are connected by various algebraic equations. For example, it may be that for two of the roots, say $A$ and $B$ , that $A 2 + 5 B 3 = 7$ . The central idea of Galois' theory is to consider permutations (or rearrangements) of the roots such that any algebraic equation satisfied by the roots is still satisfied after the roots have been permuted. Originally, the theory had been developed for algebraic equations whose coefficients are rational numbers. It extends naturally to equations with coefficients in any field, but this will not be considered in the simple examples below.^[13]

These permutations together form a permutation group, also called the Galois group of the polynomial, which is explicitly described in the following examples.

Quadratic equation

Consider the quadratic equation

x^{2}-4x+1=0.

By using the quadratic formula, we find that the two roots are

{\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

Examples of algebraic equations satisfied by $A$ and $B$ include

A+B=4,

and

AB=1.

If we exchange $A$ and $B$ in either of the last two equations we obtain another true statement. For example, the equation $A + B = 4$ becomes $B + A = 4$ . It is more generally true that this holds for every possible algebraic relation between $A$ and $B$ such that all coefficients are rational; that is, in any such relation, swapping $A$ and $B$ yields another true relation. This results from the theory of symmetric polynomials, which, in this case, may be replaced by formula manipulations involving the binomial theorem.

One might object that $A$ and $B$ are related by the algebraic equation $A - B - 2 \sqrt 3 = 0$ , which does not remain true when $A$ and $B$ are exchanged. However, this relation is not considered here, because it has the coefficient $-2 \sqrt 3$ which is not rational.

نستنتج أن زمرة غالوا لكثير الحدود $x² - 4x + 1$ تتكون من تبديلين: التبديل المحايد الذي يُبقي $A$ و $B$ دون تغيير، والتبديل التبادلي الذي يُبدّل $A$ و $B.$ وبما أن جميع الزمر التي تحتوي على عنصرين متماثلة ، $فإن$ زمرة غالوا هذه متماثلة مع الزمرة الضربية ${1, -1}$ .

وينطبق نقاش مماثل على أي متعدد حدود تربيعي $ax 2 + bx + c$ ، حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد نسبية.

إذا كانت لكثيرة الحدود جذور نسبية، مثل $x² - 4x + 4 = (x - 2) ²$ ، أو $x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ ، فإن زمرة غالوا تكون تافهة؛ أي أنها تحتوي فقط على تبديل العنصر المحايد. في هذا المثال، إذا كان $A = 2$ و $B = 1$ $،$ فإن $A - B = 1$ لا تتحقق عند تبديل $A$ و $B.$
إذا كان لها جذران غير نسبيين ، على سبيل المثال $x 2 - 2$ ، فإن مجموعة غالوا تحتوي على تبديلين، تمامًا كما في المثال أعلاه.

معادلة من الدرجة الرابعة

لنفترض متعددة الحدود

x^{4}-10x^{2}+1.

بإكمال المربع بطريقة غير معتادة، يمكن كتابته أيضًا على النحو التالي:

(x^{2}-1)^{2}-8x^{2}=(x^{2}-1-2x{\sqrt {2}})(x^{2}-1+2x{\sqrt {2}}).

بتطبيق القانون العام على كل عامل، يتبين أن الجذور الأربعة هي

{\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

من بين التباديل الـ 24 الممكنة لهذه الجذور الأربعة، هناك أربعة تباديل بسيطة للغاية، وهي تلك التي تتكون من تغيير إشارة 0 أو 1 أو 2 جذر تربيعي. وهي تشكل زمرة متماثلة مع زمرة كلاين الرباعية .

تنص نظرية غالوا على أنه بما أن متعددة الحدود غير قابلة للاختزال، فإن زمرة غالوا تحتوي على أربعة عناصر على الأقل. ولإثبات أن زمرة غالوا تتكون من هذه التبديلات الأربعة، يكفي أن نُبين أن كل عنصر من عناصر زمرة غالوا مُحدد بصورة المصفوفة $A$ ، وهو ما يمكن إثباته كما يلي.

يجب على أعضاء مجموعة غالوا الحفاظ على أي معادلة جبرية ذات معاملات نسبية تتضمن $A$ و $B$ و $C$ و $D.$

من بين هذه المعادلات، لدينا:

{\begin{aligned}AB&=-1\\AC&=1\\A+D&=0\end{aligned}}

وبناءً على ذلك، إذا كان $φ$ تبديلاً ينتمي إلى مجموعة غالوا، فيجب أن يكون لدينا:

{\begin{aligned}\varphi (B)&={\frac {-1}{\varphi (A)}},\\\varphi (C)&={\frac {1}{\varphi (A)}},\\\varphi (D)&=-\varphi (A).\end{محاذاة}}

وهذا يعني أن التبديل محدد جيدًا بواسطة صورة $A$ ، وأن مجموعة غالوا تحتوي على 4 عناصر، وهي:

(أ ، ب ، ج ، د) \to (أ ، ب ، ج ، د)

(متطابقة)

(أ ، ب ، ج ، د) \to (ب ، أ ، د ، ج)

(تغيير إشارة

{\sqrt {3}}

)

(أ ، ب ، ج ، د) \to (ج ، د ، أ ، ب)

(تغيير إشارة

{\sqrt {2}}

)

(أ ، ب ، ج ، د) \to (د ، ج ، ب ، أ)

(تغيير إشارة كلا الجذرين التربيعيين)

وهذا يعني أن مجموعة غالوا متماثلة مع مجموعة كلاين الرباعية .

النهج الحديث لنظرية المجال

في المنهج الحديث، يبدأ المرء بامتداد حقل $L / K$ (يقرأ " $L$ فوق $K$ ")، ويدرس مجموعة التشاكلات الذاتية لـ $L$ التي تثبت $K.$ انظر المقالة حول مجموعات غالوا لمزيد من الشرح والأمثلة.

العلاقة بين المنهجين هي كما يلي: يجب اختيار معاملات متعددة الحدود المعنية من الحقل الأساسي $K.$ أما الحقل العلوي $L$ فهو الحقل الناتج عن ضم جذور متعددة الحدود المعنية إلى الحقل الأساسي $K.$ أي تبديل للجذور يحافظ على المعادلات الجبرية كما هو موضح أعلاه يُنتج تشاكلاً ذاتياً لـ $L / K$ ، والعكس صحيح.

في المثال الأول أعلاه، درسنا الامتداد $Q (\sqrt3)/ Q$ ، حيث $Q$ هو حقل الأعداد النسبية ، و $Q (\sqrt3)$ هو الحقل الناتج من $Q$ بإضافة $\sqrt3$ $إليه$ $. في المثال الثاني$ ، درسنا الامتداد $Q (A, B,$ $C$ $,$ $D$ $)$ $/$ $Q$ .

هناك العديد من المزايا للنهج الحديث مقارنة بنهج مجموعة التبديلات.

يسمح ذلك بصياغة أبسط بكثير للنظرية الأساسية لنظرية غالوا .
يُعدّ استخدام حقول أساسية أخرى غير $Q$ أمرًا بالغ الأهمية في العديد من مجالات الرياضيات. فعلى سبيل المثال، في نظرية الأعداد الجبرية ، غالبًا ما تُستخدم حقول الأعداد أو الحقول المنتهية أو الحقول المحلية كحقل أساسي في نظرية غالوا.
يُتيح ذلك دراسة الامتدادات اللانهائية بسهولة أكبر. وهذا مهم في نظرية الأعداد الجبرية، حيث يُناقش، على سبيل المثال، زمرة غالوا المطلقة لـ $Q$ ، والتي تُعرَّف بأنها زمرة غالوا لـ $K / Q$ حيث $K$ هو إغلاق جبري لـ $Q.$
يسمح ذلك بدراسة الامتدادات غير القابلة للفصل . لا تظهر هذه المشكلة في الإطار الكلاسيكي، حيث كان يُفترض ضمنيًا دائمًا أن العمليات الحسابية تتم في خاصية صفرية، ولكن الخاصية غير الصفرية تظهر بشكل متكرر في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية .
يزيل هذا الأسلوب الاعتماد المصطنع نوعًا ما على تتبع جذور كثيرات الحدود. بمعنى آخر، قد تُنتج كثيرات حدود مختلفة نفس حقول التمديد، ويُقرّ النهج الحديث بالصلة بين هذه كثيرات الحدود.

المجموعات القابلة للذوبان والحلول بواسطة الجذور الحرة

يُتيح مفهوم المجموعة القابلة للحل في نظرية المجموعات تحديد ما إذا كانت كثيرة الحدود قابلة للحل في الجذور، وذلك بناءً على ما إذا كانت مجموعة غالوا الخاصة بها تتمتع بخاصية قابلية الحل. في جوهر الأمر، يُقابل كل امتداد حقل $L / K$ مجموعة عوامل في سلسلة تركيب لمجموعة غالوا. إذا كانت مجموعة العوامل في سلسلة التركيب دورية من الرتبة $n$ ، وإذا كان الحقل $K في امتداد الحقل المقابل$ $L / K$ يحتوي بالفعل على جذر أولي من الرتبة $n$ للوحدة ، فإنه يُعد امتدادًا جذريًا، ويمكن حينها التعبير عن عناصر $L$ باستخدام الجذر من الرتبة $n$ لعنصر ما من $K.$

إذا كانت جميع مجموعات العوامل في سلسلة تركيبها دورية، فإن مجموعة غالوا تسمى قابلة للحل ، ويمكن إيجاد جميع عناصر الحقل المقابل عن طريق أخذ الجذور والمنتجات ومجاميع العناصر من الحقل الأساسي (عادةً $Q$ ) بشكل متكرر.

من أبرز إنجازات نظرية غالوا إثبات أنه لكل عدد صحيح موجب $n أكبر من 4$ ، توجد كثيرات حدود من الدرجة $n$ لا يمكن حلها باستخدام الجذور (وقد أثبت ذلك بشكل مستقل، باستخدام طريقة مماثلة، نيلز هنريك أبيل قبل بضع سنوات، وهو ما يُعرف بنظرية أبيل-روفيني )، بالإضافة إلى طريقة منهجية لاختبار ما إذا كانت كثيرة حدود معينة قابلة للحل باستخدام الجذور. وتنتج نظرية أبيل-روفيني من حقيقة أنه بالنسبة لـ $n > 4،$ تحتوي المجموعة المتناظرة $S <sub>n</sub>$ على مجموعة فرعية بسيطة ، غير دورية، وطبيعية ، وهي المجموعة المتناوبة $A <sub> n</sub>$ .

مثال على مسألة من الدرجة الخامسة غير قابلة للحل

يستشهد فان دير وايردن ^{[ 14 ]} بمتعددة الحدود $f (x) = x 5 - x - 1$ .

بحسب نظرية الجذر النسبي ، فإن هذا ليس له أصفار نسبية.

كما أنه لا يحتوي على عوامل خطية بتردد 2 أو 3.

مجموعة غالوا لـ $f (x)$ modulo 2 هي دورية من الرتبة 6، لأن $f (x)$ modulo 2 تتحلل إلى كثيرات حدود من الرتبتين 2 و 3، $(x 2 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1)$ .

$الدالة f (x)$ بتردد 3 ليس لها عامل خطي أو تربيعي، وبالتالي فهي غير قابلة للاختزال. لذا، فإن زمرة غالوا الخاصة بها بتردد 3 تحتوي على عنصر من الرتبة 5.

من المعروف ^{[ 15 ]} أن زمرة غالوا بتردد عدد أولي متماثلة مع زمرة جزئية من زمرة غالوا على الأعداد النسبية. يجب أن تكون زمرة التبديلات على 5 عناصر ذات عناصر من الرتبتين 6 و5 هي الزمرة المتناظرة $S5 ،$ والتي هي بالتالي زمرة غالوا للدالة $f (x)$ .

هذا أحد أبسط الأمثلة على كثير الحدود الخماسي غير القابل للحل. ووفقًا لسيرج لانغ ، كان إميل أرتين مولعًا بهذا المثال. ^{[ 16 ]}

مسألة غالوا العكسية

تتمثل مشكلة غالوا العكسية في إيجاد امتداد حقل مع مجموعة غالوا معينة.

طالما لم يُحدد الحقل الأساسي ، فإن المسألة ليست صعبة للغاية، وتظهر جميع الزمر المنتهية كزمر غالوا. ولإثبات ذلك، يمكن اتباع الخطوات التالية: اختر حقلاً $K$ وزمرة منتهية $G.$ تنص نظرية كايلي على أن $G$ (حتى التشاكل) هي زمرة جزئية من الزمرة المتناظرة S على عناصر $G.$ اختر متغيرات ${$ $xα$ $}$ $، متغيرًا$ $واحدًا$ لكل عنصر $α$ من $G$ ، وأضفها إلى $K$ للحصول على الحقل $F$ $=$ $K$ $({$ $xα$ $}$ $)$ . يحتوي $F$ على حقل الدوال الكسرية المتناظرة $L$ في ${$ $xα$ $}$ . زمرة غالوا لـ $F$ $/$ $L$ هي $S$ ، وفقًا لنتيجة أساسية لإميل آرتين. تؤثر $G على$ $F$ بتقييد تأثير $S.$ إذا كان الحقل الثابت لهذا التأثير هو $M$ $،$ فإن زمرة غالوا لـ $F$ $/$ $M$ هي $G$ ، وفقًا لنظرية غالوا الأساسية .

من جهة أخرى، لا تزال مسألة ما إذا كانت كل زمرة منتهية هي زمرة غالوا لامتداد حقل الأعداد النسبية $Q$ مسألة مفتوحة. وقد أثبت إيغور شافاريفيتش أن كل زمرة منتهية قابلة للحل هي زمرة غالوا لامتداد ما من $Q.$ وقد حلّ باحثون عديدون مسألة غالوا العكسية لزمر بسيطة غير أبيلية مختارة . وقد ثبت وجود حلول لجميع الزمر البسيطة المتفرقة الست والعشرين باستثناء واحدة محتملة ( $زمرة$ ماثيو $M23$ ). بل يوجد حتى متعددة حدود ذات معاملات صحيحة تكون زمرة غالوا الخاصة بها هي زمرة مونستر .

امتدادات لا تنفصل

بالصيغة المذكورة أعلاه، بما في ذلك على وجه الخصوص النظرية الأساسية لنظرية غالوا ، لا تأخذ النظرية في الاعتبار سوى امتدادات غالوا، وهي قابلة للفصل على وجه الخصوص. يمكن تقسيم امتدادات الحقول العامة إلى امتداد قابل للفصل، يليه امتداد حقل غير قابل للفصل تمامًا . بالنسبة للامتداد غير القابل للفصل تمامًا F / K ، توجد نظرية غالوا حيث يتم استبدال زمرة غالوا بفضاء متجهات الاشتقاقات . $Der_{K}(F,F)$ أي، التحويلات الخطية الداخلية من النوع K لـ F التي تحقق قاعدة لايبنيز. في هذه المراسلات، يتم تعيين حقل وسيط E. $Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)$ . وعلى العكس من ذلك، الفضاء الجزئي $V\subset Der_{K}(F,F)$ يتم ربط استيفاء الشروط الإضافية المناسبة بـ $\{x\in F,f(x)=0\ \forall f\in V\}$ بافتراض $F^{p}\subset K$ أظهر جاكوبسون (1944) أن هذا يُرسي تطابقًا تامًا. وقد ألغى برانتنر ووالدرون (2020) الشرط الذي فرضه جاكوبسون ، وذلك بتقديم تطابق باستخدام مفاهيم الهندسة الجبرية المشتقة .

انظر أيضاً

مجموعة غالوا لمزيد من الأمثلة
النظرية الأساسية لنظرية غالوا
نظرية غالوا التفاضلية لنظرية غالوا للمعادلات التفاضلية
نظرية غالوا لغروتينديك لتعميم واسع لنظرية غالوا
نظرية غالوا الطوبولوجية
نظرية أرتين-شراير ، مجال فرعي من نظرية جالوا

ملحوظات

1 2 ستيوارت، إيان (1989). نظرية غالوا . تشابمان وهول. ISBN 0-412-34550-1.
↑ فانكهاوزر 1930
↑ "ألبرت جيرارد - سيرة ذاتية" . تاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-07-2026 .
↑ سي هاتون، ألبرت جيرارد، في قاموس الجبر والرياضيات والفلسفة 1795 1 (جيه جونسون، لندن، 1796)، 100-101.
↑ كاردانو 1545
^ لاغرانج، جي إل (1770). انعكاسات على الحل الجبرى للمعادلات. نوف. ماجستير أكاديمية العلوم، برلين ، 222-259.
↑ تيغنول، جان بيير (2001). نظرية غالوا للمعادلات الجبرية . وورلد ساينتيفيك. ص 232-233 ، 302. ISBN 978-981-02-4541-2.
↑ ستيوارت، إيان (2004). نظرية غالوا . تشابمان آند هول/سي آر سي للرياضيات ( الطبعة الثالثة). بوكا راتون: تشابمان آند هول/سي آر سي. ص. 23. ISBN 978-0-412-34550-0.
↑ كلارك، آلان (1984) [1971]. عناصر الجبر المجرد . كوريير. ص 131. ISBN 978-0-486-14035-3.
↑ ووسينغ، هانز (2007). نشأة مفهوم المجموعة المجردة: مساهمة في تاريخ نشأة نظرية المجموعة المجردة . كوريير. ص 118. ISBN 978-0-486-45868-7.
^ شارلو ، وينفريد. ديديكيند، إلسي؛ ديديكيند، ريتشارد (1981). ريتشارد ديديكيند 1831-1981; eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag (PDF) . براونشفايغ: شاهد. رقم ISBN 9783528084981.
^ جالوا، إيفاريست. نيومان، بيتر م. (2011). الكتابات الرياضية لإفاريست جالوا . جمعية الرياضيات الأوروبية. ص. 10. رقم ISBN 978-3-03719-104-0.
↑ غورسكي، يوجين. "ملاحظات المحاضرة حول نظرية غالوا" (PDF) .
^ فان دير وايردن، الجبر الحديث (1949 English edn.)، Vol. 1، القسم 61، ص 191
↑ براسولوف، ف. ف. (2004). "5 نظرية غالوا، النظرية 5.4.5(أ)". كثيرات الحدود . الخوارزميات والحساب في الرياضيات. المجلد 11. سبرينغر. الصفحات 181-218 . doi : 10.1007/978-3-642-03980-5_5 . ISBN 978-3-642-03979-9.
↑ لانغ، سيرج (1994). نظرية الأعداد الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 110. سبرينغر. ص 121. ISBN 9780387942254.

مراجع

أرتين، إميل (1998) [1944]. نظرية جالوا . دوفر. رقم ISBN 0-486-62342-4.
بيورزدورف، يورغ (2006). نظرية غالوا للمبتدئين: منظور تاريخي . مكتبة الطلاب الرياضية. المجلد 35. الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/stml/035 . ISBN 0-8218-3817-2. S2CID 118256821 .
برانتنر، لوكاس؛ والدرون، جو (2020)، نظرية غالوا غير القابلة للفصل تمامًا الجزء الأول: النظرية الأساسية ، arXiv : 2010.15707
كاردانو، جيرولامو (1545). أرتيس ماجني (PDF) (باللاتينية). مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 26-06-2008 . تم الاسترجاع 2015/01/10 .
إدواردز، هارولد م. (1984). نظرية جالوا . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-90980-X.(الورقة البحثية الأصلية لغالوا، مع خلفية وتعليقات مستفيضة.)
فونكهاوزر، إتش. غراي (1930). "عرض موجز لتاريخ الدوال المتناظرة لجذور المعادلات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 37 (7): 357-365 . doi : 10.2307/2299273 . JSTOR 2299273 .
"نظرية غالوا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
جاكوبسون، ناثان (1944)، "نظرية غالوا للحقول غير القابلة للفصل تمامًا ذات الأس واحد"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 66 (4): 645-648 ، doi : 10.2307/2371772 ، JSTOR 2371772
جاكوبسون، ناثان (1985). الجبر الأساسي 1 (الطبعة الثانية ). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-1480-9.(يقدم الفصل الرابع مقدمة عن النهج النظري للمجال لنظرية غالوا.)
جانيليدزه، ج.؛ بورسو، فرانسيس (2001). نظريات غالوا . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-80309-0.(يقدم هذا الكتاب للقارئ نظرية غالوا لغروتينديك ، وبعض التعميمات، مما يؤدي إلى زمر غالوا .)
لانغ، سيرج (1994). نظرية الأعداد الجبرية . برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-94225-4.
بوستنيكوف، م.م. (2004). أسس نظرية غالوا . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-43518-0.
روتمان، جوزيف (1998). نظرية جالوا (الطبعة الثانية ). سبرينغر. رقم ISBN 0-387-98541-7.
فولكلاين، هيلموت (1996). المجموعات كمجموعات غالوا: مقدمة . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-56280-5.
فان دير وايردن، بارتل ليندرت (1931). الجبر الحديث (باللغة الألمانية). برلين: سبرينغر.الترجمة الإنجليزية (للطبعة الثانية المنقحة): الجبر الحديث . نيويورك: فريدريك أونجار. 1949 . (أعيد نشره لاحقاً باللغة الإنجليزية بواسطة سبرينغر تحت عنوان "الجبر".)

روابط خارجية

تعريف نظرية غالوا في قاموس ويكشنري
الوسائط المتعلقة بنظرية غالوا على ويكيميديا كومنز

[Stewart-1] 1 2 ستيوارت، إيان (1989). نظرية غالوا . تشابمان وهول. ISBN 0-412-34550-1.

[2] فانكهاوزر 1930

[3] "ألبرت جيرارد - سيرة ذاتية" . تاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-07-2026 .

[4] سي هاتون، ألبرت جيرارد، في قاموس الجبر والرياضيات والفلسفة 1795 1 (جيه جونسون، لندن، 1796)، 100-101.

[5] كاردانو 1545

[6] لاغرانج، جي إل (1770). انعكاسات على الحل الجبرى للمعادلات. نوف. ماجستير أكاديمية العلوم، برلين ، 222-259.

[Tignol2001-7] تيغنول، جان بيير (2001). نظرية غالوا للمعادلات الجبرية . وورلد ساينتيفيك. ص 232-233 ، 302. ISBN 978-981-02-4541-2.

[8] ستيوارت، إيان (2004). نظرية غالوا . تشابمان آند هول/سي آر سي للرياضيات ( الطبعة الثالثة). بوكا راتون: تشابمان آند هول/سي آر سي. ص. 23. ISBN 978-0-412-34550-0.

[Clark1984-9] كلارك، آلان (1984) [1971]. عناصر الجبر المجرد . كوريير. ص 131. ISBN 978-0-486-14035-3.

[Wussing2007-10] ووسينغ، هانز (2007). نشأة مفهوم المجموعة المجردة: مساهمة في تاريخ نشأة نظرية المجموعة المجردة . كوريير. ص 118. ISBN 978-0-486-45868-7.

[Scharlau1981-11] شارلو ، وينفريد. ديديكيند، إلسي؛ ديديكيند، ريتشارد (1981). ريتشارد ديديكيند 1831-1981; eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag (PDF) . براونشفايغ: شاهد. رقم ISBN 9783528084981.

[GaloisNeumann2011-12] جالوا، إيفاريست. نيومان، بيتر م. (2011). الكتابات الرياضية لإفاريست جالوا . جمعية الرياضيات الأوروبية. ص. 10. رقم ISBN 978-3-03719-104-0.

[13] غورسكي، يوجين. "ملاحظات المحاضرة حول نظرية غالوا" (PDF) .

[14] فان دير وايردن، الجبر الحديث (1949 English edn.)، Vol. 1، القسم 61، ص 191

[15] براسولوف، ف. ف. (2004). "5 نظرية غالوا، النظرية 5.4.5(أ)". كثيرات الحدود . الخوارزميات والحساب في الرياضيات. المجلد 11. سبرينغر. الصفحات 181-218 . doi : 10.1007/978-3-642-03980-5_5 . ISBN 978-3-642-03979-9.

[16] لانغ، سيرج (1994). نظرية الأعداد الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 110. سبرينغر. ص 121. ISBN 9780387942254.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ ٥ ]

[ 6 ]،

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[13]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗