معادلة رباعية

في الرياضيات ، المعادلة الرباعية هي معادلة يمكن التعبير عنها كدالة رباعية تساوي الصفر. الشكل العام للمعادلة الرباعية هو

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

حيث أ  ≠ 0.

المعادلة الرباعية هي معادلة متعددة الحدود من أعلى مرتبة يمكن حلها بالجذور في الحالة العامة (أي تلك التي يمكن أن تأخذ المعاملات فيها أي قيمة).

يُنسب إلى لودوفيكو فيراري اكتشاف حل المعادلة الرباعية في عام 1540، ولكن بما أن هذا الحل، مثل جميع الحلول الجبرية للمعادلة الرباعية، يتطلب إيجاد حل مكعب ، لم يكن من الممكن نشره على الفور. ^{[1] تم نشر حل المعادلة الرباعية مع حل المكعب بواسطة} جيرولامو كاردانو ، معلم فيراري، في كتاب Ars Magna (1545).

كان أول دليل على أن هذه كانت متعددة الحدود العامة من الدرجة الأعلى التي يمكن إيجاد حلول لها هو نظرية آبل-روفيني في عام 1824، والتي أثبتت أن جميع محاولات حل متعددات الحدود من الدرجة الأعلى ستكون غير مجدية. أدت الملاحظات التي تركها إيفاريست جالوا قبل وفاته في مبارزة في عام 1832 لاحقًا إلى نظرية كاملة أنيقة لجذور متعددات الحدود، وكانت هذه النظرية إحدى نتائجها. ^[2]

خذ في الاعتبار معادلة من الدرجة الرابعة معبرًا عنها في النموذج : ${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$

توجد صيغة عامة لإيجاد جذور المعادلات الرباعية، بشرط ألا يكون معامل الحد الأول مساويًا للصفر. ومع ذلك، نظرًا لأن الطريقة العامة معقدة للغاية وعرضة للأخطاء في التنفيذ، فمن الأفضل تطبيق إحدى الحالات الخاصة المذكورة أدناه إذا أمكن.

إذا كان الحد الثابت a ₄  = 0، فإن أحد الجذور يكون x  = 0، ويمكن إيجاد الجذور الأخرى عن طريق القسمة على x ، وحل المعادلة التكعيبية الناتجة ،

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

أطلق على كثير الحدود من الدرجة الرابعة Q ( x ) . بما أن 1 مرفوعًا إلى أي قوة يساوي 1،

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

وبالتالي، إذا كان Q (1) = 0 ، فإن x = 1 هو جذر لـ Q ( x ) . ويمكننا أيضًا إثبات أن x = −1 هو جذر. ${\displaystyle \a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$ ${\displaystyle \a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$

في كلتا الحالتين، يمكن بعد ذلك قسمة المعادلة الرباعية الكاملة على العامل ( x − 1) أو ( x + 1) على التوالي، مما ينتج عنه كثير حدود مكعب جديد ، والذي يمكن حله للعثور على جذور المعادلة الرباعية الأخرى.

إذا و، إذن، يكون جذرًا للمعادلة. يمكن بعد ذلك تحليل المعادلة الرباعية الكاملة بهذه الطريقة: ${\displaystyle \a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \a_{2}=0\ }$${\displaystyle \a_{4}=a_{3}k\ ,}$${\displaystyle \x=-k\ }$

${\displaystyle \a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

بدلاً من ذلك، إذا و ثم x = 0 و x = − k تصبح جذرين معروفين. Q ( x ) مقسومًا على x ( x + k ) هو كثيرة حدود تربيعية. ${\displaystyle \a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \a_{3}=a_{2}k\ ,}$${\displaystyle \a_{4}=0\ ,}$

المعادلة الرباعية حيث ₃ و 1 يساويان 0 تأخذ _الشكل

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

وبالتالي، فإن المعادلة التربيعية الثنائية هي معادلة سهلة الحل: لنفترض أن ، وبالتالي فإن معادلتنا تتحول إلى ${\displaystyle z=x^{2}}$

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

وهي معادلة تربيعية بسيطة، يمكن إيجاد حلولها بسهولة باستخدام الصيغة التربيعية:

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

عندما نحلها (أي نجد قيمتي z هاتين )، يمكننا استخراج x منهما

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

إذا كان أي من حلول z عبارة عن أعداد سلبية أو مركبة، فإن بعض حلول x عبارة عن أعداد مركبة.

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

خطوات:

1. القسمة على x  ² .
2. استخدم متغير التغيير z = x + m / x .
3. لذا، z  ² = x  ² + ( m / x )  ² + 2 m .

وهذا يؤدي إلى:

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle z^{2}+(a_{1}/a_{0})z+(a_{2}/a_{0}-2m)=0}$(معادلة تربيعية في z = x + m / x )

إذا كان للمعادلة الرباعية جذر مزدوج ، فيمكن إيجادها عن طريق أخذ القاسم المشترك الأكبر للمعادلة متعددة الحدود مع مشتقتها. ثم يمكن تقسيمهما وحل المعادلة التربيعية الناتجة.

بشكل عام، توجد أربع حالات محتملة فقط للمعادلات الرباعية ذات الجذور المتعددة، والتي يتم سردها أدناه: ^[3]

1. المضاعفات 4 (M4): عندما يمكن التعبير عن المعادلة الرباعية العامة على أنها ، لبعض الأعداد الحقيقية . يمكن دائمًا تقليص هذه الحالة إلى معادلة ثنائية التربيع.${\displaystyle a(xl)^{4}=0}$ ${\displaystyle l}$
2. المضاعفات 3 (M3): عندما يمكن التعبير عن المعادلة الرباعية العامة على أنها ، حيث  و  هما زوجان من عددين حقيقيين مختلفين. هذه هي الحالة الوحيدة التي لا يمكن اختزالها إلى معادلة ثنائية التربيع.${\displaystyle a(xl)^{3}(xm)=0}$${\displaystyle l}$${\displaystyle م}$
3. مضاعفة مزدوجة-2 (DM2): عندما يمكن التعبير عن المعادلة الرباعية العامة على أنها ، حيث  و  هما زوجان من عددين حقيقيين مختلفين أو زوجان من الأعداد المركبة المترافقة غير الحقيقية. يمكن أيضًا تقليص هذه الحالة دائمًا إلى معادلة ثنائية التربيع.${\displaystyle a(xl)^{2}(xm)^{2}=0}$${\displaystyle l}$${\displaystyle م}$
4. مضاعفات مفردة 2 (SM2): عندما يمكن التعبير عن المعادلة الرباعية العامة على النحو التالي ، حيث ،  و، و  هي ثلاثة أعداد حقيقية مختلفة أو هي عدد حقيقي و  و هي زوج من الأعداد المركبة المترافقة غير الحقيقية. تنقسم هذه الحالة إلى حالتين فرعيتين، تلك التي يمكن اختزالها إلى معادلة تربيعية ثنائية وتلك التي يكون ذلك مستحيلاً فيها.${\displaystyle a(xl)^{2}(xm)(xn)=0}$${\displaystyle l}$${\displaystyle م}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$${\displaystyle م}$${\displaystyle n}$

لذا، إذا تم إعطاء المعاملات الثلاثة غير الأحادية لمعادلة الدرجة الرابعة المنخفضة، ، من حيث المعاملات الخمسة لمعادلة الدرجة الرابعة العامة على النحو التالي: ،  و ، فإن المعايير لتحديد كل حالة مسبقًا من معادلات الدرجة الرابعة ذات الجذور المتعددة وحلولها المقابلة موضحة أدناه. ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$

• M4. تتوافق المعادلة الرباعية العامة مع هذه الحالة عندما ، وبالتالي فإن الجذور الأربعة لهذه المعادلة تُعطى على النحو التالي: .${\displaystyle p=q=r=0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$
• M3. تتوافق المعادلة الرباعية العامة مع هذه الحالة متى و ، وبالتالي فإن الجذور الأربعة لهذه المعادلة تُعطى على النحو التالي:   و  ، سواء ؛ وإلا،   و  .${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• DM2. تتوافق المعادلة الرباعية العامة مع هذه الحالة كلما ، وبالتالي فإن الجذور الأربعة لهذه المعادلة تُعطى على النحو التالي:  و .${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$
• معادلة رباعية ثنائية الطور SM2. تتوافق المعادلة الرباعية العامة مع هذه الحالة الفرعية من معادلات SM2 عندما ، وبالتالي فإن الجذور الأربعة لهذه المعادلة تُعطى على النحو التالي: ،  و .${\displaystyle p\neq q=r=0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$
• المعادلة الرباعية غير التربيعية SM2. تتوافق المعادلة الرباعية العامة مع هذه الحالة الفرعية من معادلات SM2 كلما ، وبالتالي فإن الجذور الأربعة لهذه المعادلة تُعطى بالصيغة التالية: ^[4] ، حيث ، و .${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$${\displaystyle \xi =\pm 1}$

للبدء، يجب أولاً تحويل العدد الرباعي إلى عدد رباعي منخفض .

يترك

${\displaystyle \ Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0\ }$

( 1' )

تكون المعادلة الرباعية العامة التي نريد حلها. اقسم كلا الطرفين على A ،

${\displaystyle \ x^{4}+{B \over A}x^{3}+{C \over A}x^{2}+{D \over A}x+{E \over A}=0\ .}$

الخطوة الأولى، إذا لم يكن B يساوي صفرًا بالفعل، يجب أن تكون إزالة حد x ^3. للقيام بذلك، قم بتغيير المتغيرات من x إلى u ، بحيث

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ .}$

ثم

${\displaystyle \ \left(u-{B \over 4A}\right)^{4}+{B \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{3}+{C \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)^{2}+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

يؤدي توسيع صلاحيات الثنائيات إلى إنتاج

${\displaystyle \ \left(u^{4}-{B \over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} \over 16A^{2}}-{4uB^{3} \over 64A^{3}}+{B^{4} \over 256A^{4}}\right)+{B \over A}\left(u^{3}-{3u^{2}B \over 4A}+{3uB^{2} \over 16A^{2}}-{B^{3} \over 64A^{3}}\right)+{C \over A}\left(u^{2}-{uB \over 2A}+{B^{2} \over 16A^{2}}\right)+{D \over A}\left(u-{B \over 4A}\right)+{E \over A}=0\ .}$

جمع نفس القوى من u يعطي

${\displaystyle \ u^{4}+\left({-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\right)u^{2}+\left({B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\right)u+\left({-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\right)=0\ .}$

الآن قم بإعادة تسمية معاملات u . دع

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={-3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A}\ ,\\b&={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A}\ ,\\c&={-3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}\ .\end{aligned}}}$

المعادلة الناتجة هي

${\displaystyle \ u^{4}+au^{2}+bu+c=0\ }$

( 1 )

وهي معادلة رباعية مكتئبة .

إذا كان لدينا إذن حالة خاصة لمعادلة تربيعية ثنائية، والتي يمكن حلها بسهولة، كما هو موضح أعلاه. لاحظ أن الحل العام، الموضح أدناه، لن يعمل للحالة الخاصة، يجب حل المعادلة كمعادلة تربيعية ثنائية. ${\displaystyle \ b=0\ }$${\displaystyle \ b=0\ .}$

في كلتا الحالتين، بمجرد حل المعادلة الرباعية المنخفضة لـ u ، يتم استبدال هذه القيم في

${\displaystyle \ x=u-{B \over 4A}\ }$

ينتج قيم x التي تحل المعادلة الرباعية الأصلية.

بعد التحويل إلى معادلة رباعية مكتئبة

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

وباستثناء الحالة الخاصة b = 0، والتي يتم حلها على هيئة معادلة تربيعية ثنائية، نفترض من هنا فصاعدًا أن b ≠ 0.

سنقوم بفصل المصطلحين اليسار واليمين كما يلي

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

وأضف إلى كلا الجانبين مصطلحات تجعلهما مربعين كاملين .

ليكن y أي حل لهذه المعادلة التكعيبية :

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

ثم (بما أن b ≠ 0)

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

حتى نتمكن من تقسيمها، مع إعطاء

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

ثم

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

بالطرح نحصل على الفرق بين مربعين وهو حاصل ضرب مجموع وفرق جذريهما

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

والتي يمكن حلها بتطبيق الصيغة التربيعية على كل من العاملين. لذا فإن القيم المحتملة لـ u هي:

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$أو

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

يؤدي استخدام قيمة y أخرى من بين الجذور الثلاثة للمعادلة المكعبة ببساطة إلى ظهور نفس القيم الأربع للمعادلة u بترتيب مختلف. حلول المعادلة المكعبة هي:

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

باستخدام أي من الجذور التكعيبية الثلاثة المحتملة. تتمثل الاستراتيجية الحكيمة في اختيار إشارة الجذر التربيعي التي تجعل القيمة المطلقة لـ w كبيرة قدر الإمكان.

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

بخلاف ذلك، يمكن حل المعادلة الرباعية المنخفضة بواسطة طريقة اكتشفها لودوفيكو فيراري . بمجرد الحصول على المعادلة الرباعية المنخفضة، تكون الخطوة التالية هي إضافة الهوية الصالحة

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

إلى المعادلة ( 1 )، مما يعطي

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}+bu+c=au^{2}+a^{2}.}$

( 2 )

وقد أدى ذلك إلى طي الحد u ⁴ إلى مربع كامل : ( u ²  + a) ² . أما الحد الثاني au ² فلم يختف، ولكن إشارته تغيرت وتم نقله إلى الجانب الأيمن.

الخطوة التالية هي إدخال المتغير y في المربع الكامل على الجانب الأيسر من المعادلة ( 2 )، والمتغير المقابل 2 y في معامل u ² في الجانب الأيمن. ولإنجاز هذه الإدخالات، سيتم إضافة الصيغ الصالحة التالية إلى المعادلة ( 2 )،

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

هاتان الصيغتان، عند جمعهما معًا، تنتجان

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad (y{\hbox{-insertion}})\,}$

والتي تضاف إلى المعادلة ( 2 ) تنتج

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

وهذا يعادل

${\displaystyle (u^{2}+a+y)^{2}=(a+2y)u^{2}-bu+(y^{2}+2ya+a^{2}-c).}$

( 3 )

الهدف الآن هو اختيار قيمة لـ y بحيث يصبح الجانب الأيمن من المعادلة ( 3 ) مربعًا كاملًا. يمكن القيام بذلك عن طريق السماح لمميز الدالة التربيعية بأن يصبح صفرًا. لشرح ذلك، قم أولاً بتوسيع المربع الكامل بحيث يساوي دالة تربيعية:

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

تحتوي الدالة التربيعية على الجانب الأيمن على ثلاثة معاملات. ويمكن التحقق من أن تربيع المعامل الثاني ثم طرح أربعة أضعاف حاصل ضرب المعاملين الأول والثالث يعطي صفرًا:

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

لذلك، لتحويل الجانب الأيمن من المعادلة ( 3 ) إلى مربع كامل، يجب حل المعادلة التالية:

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

اضرب الحدين في كثير الحدود،

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

اقسم كلا الطرفين على −4، وحرك −b 2/4 ^إلى اليمين،

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

قسم كلا الطرفين على 2،

${\displaystyle y^{3}+{\frac {5}{2}}ay^{2}+\left(2a^{2}-c\right)y+\left({a^{3} \over 2}-{ac \over 2}-{b^{2} \over 8}\right)=0.}$

( 4 )

هذه معادلة تكعيبية في y . احلها باستخدام أي طريقة لحل مثل هذه المعادلات (على سبيل المثال التحويل إلى معادلة تكعيبية مخفضة وتطبيق صيغة كاردانو). أي من الجذور الثلاثة المحتملة سيفي بالغرض.

مع اختيار قيمة y ، أصبح من المعروف الآن أن الجانب الأيمن من المعادلة ( 3 ) هو مربع كامل من النموذج

${\displaystyle \left(s^{2}\right)u^{2}+(2st)u+\left(t^{2}\right)=\left(\left({\sqrt {s^{2}}}\right)u+{(2st) \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}}$

(هذا صحيح لكلا علامتي الجذر التربيعي، طالما تم أخذ نفس العلامة لكلا الجذرين التربيعيين. A ± زائدة عن الحاجة، حيث سيتم امتصاصها بواسطة ± أخرى في بعض المعادلات أدناه في هذه الصفحة.)

حتى يمكن طيه:

${\displaystyle (a+2y)u^{2}+(-b)u+\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u+{(-b) \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

ملاحظة: إذا كانت b ≠ 0، فإن a + 2 y ≠ 0. إذا كانت b = 0، فإن هذه ستكون معادلة تربيعية ثنائية، والتي حللناها سابقًا.

لذلك تصبح المعادلة ( 3 )

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}=\left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u-{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)^{2}.}$

( 5 )

تحتوي المعادلة ( 5 ) على زوج من المربعات الكاملة المطوية، واحدة على كل جانب من المعادلة. المربعان الكاملان يتوازنان مع بعضهما البعض.

إذا كان مربعان متساويان، فإن ضلعي المربعين متساويان أيضًا، كما هو موضح بواسطة:

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)=\pm \left(\left({\sqrt {a+2y}}\right)u-{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right).}$

( 5' )

جمع مثل القوى التي تنتجها

${\displaystyle u^{2}+\left(\mp _{s}{\sqrt {a+2y}}\right)u+\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)=0.}$

( 6 )

ملاحظة: يشير الرمز السفلي s و إلى أنهما مترابطان.${\displaystyle \pm _{s}}$${\displaystyle \mp _{s}}$

المعادلة ( 6 ) هي معادلة تربيعية لـ u . حلها هو

${\displaystyle u={\frac {\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {(a+2y)-4\left(a+y\pm _{s}{b \over 2{\sqrt {a+2y}}}\right)}}}{2}}.}$

بالتبسيط، نحصل على

${\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

هذا هو حل المعادلة الرباعية المنخفضة، وبالتالي فإن حلول المعادلة الرباعية الأصلية هي

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}{\sqrt {a+2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over {\sqrt {a+2y}}}\right)}} \over 2}.}$

( 6' )

تذكر: يأتي الاثنان من نفس المكان في المعادلة ( 5' )، ويجب أن يكون لكل منهما نفس الإشارة، في حين أن إشارة مستقلة.${\displaystyle \pm _{s}}$${\displaystyle \pm _{t}}$

بالنظر إلى المعادلة الرباعية

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,\,}$

يمكن إيجاد حلها عن طريق الحسابات التالية:

${\displaystyle a=-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}$

${\displaystyle b={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}$

${\displaystyle c=-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{CB^{2} \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A}.}$

إذا ثم ${\displaystyle \,b=0,}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-a\pm _{t}{\sqrt {a^{2}-4c}} \over 2}}\qquad {\mbox{(for }}b=0{\mbox{ only)}}.}$

وإلا، استمر مع

${\displaystyle P=-{a^{2} \over 12}-c,}$

${\displaystyle Q=-{a^{3} \over 108}+{ac \over 3}-{b^{2} \over 8},}$

${\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},}$

(أي علامة من علامات الجذر التربيعي سوف تفي بالغرض)

${\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},}$

(هناك 3 جذور معقدة، أي واحد منها سوف يعمل)

${\displaystyle y=-{5 \over 6}a+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad }$

${\displaystyle W={\sqrt {a+2y}}}$

${\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3a+2y\pm _{s}{2b \over W}\right)}} \over 2}.}$

يجب أن يكون للدالتين ± _s نفس الإشارة، أما ± _t فهي مستقلة. للحصول على جميع الجذور، احسب x لـ ± _s ، ± _t = +،+ و لـ +،−؛ و لـ −،+ و لـ −،−. تتعامل هذه الصيغة مع الجذور المكررة دون مشكلة.

كان فيراري أول من اكتشف أحد هذه الحلول المتاهة ^{[ بحاجة لمصدر ]} وكانت المعادلة التي حلها هي

${\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0}$

والتي كانت في شكل مكتئب بالفعل. ولديها زوج من الحلول التي يمكن إيجادها باستخدام مجموعة الصيغ الموضحة أعلاه.

إذا كانت معاملات المعادلة الرباعية حقيقية، فإن المعادلة التكعيبية المتداخلة ( 5 ) لها أيضًا معاملات حقيقية، وبالتالي يكون لها على الأقل جذر حقيقي واحد.

علاوة على ذلك فإن الدالة التكعيبية

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

حيث يتم إعطاء P و Q بواسطة ( 5 ) له الخصائص التالية

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$و

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$ حيث يتم إعطاء a و b بواسطة ( 1 ).

وهذا يعني أن ( 5 ) لها جذر حقيقي أكبر من ، وبالتالي فإن ( 4 ) لها جذر حقيقي أكبر من . ${\displaystyle a \over 3}$${\displaystyle -a \over 2}$

باستخدام هذا الجذر، يكون المصطلح في ( 8 ) حقيقيًا دائمًا، مما يضمن أن المعادلتين التربيعيتين ( 8 ) لهما معاملات حقيقية. ^[5]${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$

قد يحدث أن يحصل المرء على حل واحد فقط من خلال الصيغ أعلاه، لأنه لم يتم تجربة جميع أنماط الإشارات الأربعة لأربعة حلول، والحل الذي تم الحصول عليه معقد . قد يكون الأمر كذلك أن المرء يبحث فقط عن حل حقيقي. دع x ₁ يشير إلى الحل المعقد. إذا كانت جميع المعاملات الأصلية A و B و C و D و E حقيقية - وهو ما يجب أن يكون الحال عندما يرغب المرء في حلول حقيقية فقط - فهناك حل معقد آخر x ₂ وهو المرافق المعقد لـ x _1. إذا تم الإشارة إلى الجذرين الآخرين على أنهما x ₃ و x ₄ ، فيمكن التعبير عن المعادلة الرباعية على النحو التالي

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

لكن هذه المعادلة الرباعية تعادل حاصل ضرب معادلتين تربيعيتين:

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0}$

( 9 )

و

${\displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.}$

( 10 )

منذ

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

يترك

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

بحيث تصبح المعادلة ( 9 )

${\displaystyle x^{2}+ax+b=0.}$

( 11 )

فليكن هناك أيضًا متغيرات (غير معروفة) w ​​و v بحيث تصبح المعادلة ( 10 )

${\displaystyle x^{2}+wx+v=0.}$

( 12 )

يؤدي ضرب المعادلتين ( 11 ) و( 12 ) إلى

${\displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.}$

( 13 )

بمقارنة المعادلة ( 13 ) بالمعادلة الرباعية الأصلية، يمكن ملاحظة أن

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

و

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

لذلك

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

يمكن حل المعادلة ( 12 ) لـ x مما يعطي

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

ينبغي أن يكون أحد هذين الحلول هو الحل الحقيقي المطلوب.

تتطلب معظم حلول الكتب المدرسية للمعادلة الرباعية استبدالًا يصعب حفظه. إليك نهجًا يجعل الأمر سهل الفهم. تكون المهمة قد انتهت إذا تمكنا من تحليل المعادلة الرباعية إلى حاصل ضرب معادلة تربيعية . دع

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\\&=\left(x^{2}+px+q\right)\left(x^{2}+rx+s\right)\\&=x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{aligned}}}$

ومن خلال معادلة المعاملات، نحصل على المجموعة التالية من المعادلات المتزامنة:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=p+r\\c&=q+s+pr\\d&=ps+qr\\e&=qs\end{aligned}}}$

إن حل هذه المسألة أصعب مما يبدو، ولكن إذا بدأنا مرة أخرى بمعادلات رباعية منخفضة حيث ، والتي يمكن الحصول عليها عن طريق التعويض بـ ، فإن ، و: ${\displaystyle b=0}$${\displaystyle (x-b/4)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r=-p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c+p^{2}&=s+q\\d/p&=s-q\\e&=sq\end{aligned}}}$

من السهل الآن التخلص من كلا الأمرين من خلال القيام بما يلي: ${\displaystyle s}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(c+p^{2}\right)^{2}-(d/p)^{2}&=(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\\&=4sq\\&=4e\end{aligned}}}$

إذا وضعنا ، فإن هذه المعادلة تتحول إلى معادلة تكعيبية : ${\displaystyle P=p^{2}}$

${\displaystyle P^{3}+2cP^{2}+\left(c^{2}-4e\right)P-d^{2}=0}$

والتي يتم حلها في مكان آخر. بمجرد حصولك على ، إذن: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=-p\\2s&=c+p^{2}+d/p\\2q&=c+p^{2}-d/p\end{aligned}}}$

من السهل رؤية التناظرات في هذا الحل. هناك ثلاثة جذور للمكعب، تتوافق مع الطرق الثلاث التي يمكن بها تحليل معادلات رباعية إلى معادلتين تربيعيتين، واختيار قيم موجبة أو سالبة للجذر التربيعي لـ يعني ببساطة تبادل المعادلات التربيعية مع بعضها البعض. ${\displaystyle p}$${\displaystyle P}$

تحتوي المجموعة المتماثلة S ₄ على أربعة عناصر على مجموعة كلاين الرباعية كمجموعة فرعية طبيعية . يشير هذا إلى استخدام مُحلل يمكن وصف جذوره بشكل مختلف على أنها تحويل فورييه منفصل أو تحويل مصفوفة هادامارد للجذور. افترض أن r _i لـ i من 0 إلى 3 هي جذور

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

إذا قمنا الآن بتعيين

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

وبما أن التحويل هو التفاف ، فيمكننا التعبير عن الجذور من حيث الأربعة s _i بنفس الطريقة تمامًا. وبما أننا نعرف القيمة s ₀ = − b / 2، فنحن نحتاج حقًا فقط إلى قيم s ₁ وs ₂ وs _3. ويمكننا إيجاد هذه القيم عن طريق توسيع كثيرة الحدود

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

والتي إذا افترضنا تبسيطها بأن b  = 0، تساوي

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

هذه الحدودية من الدرجة السادسة، ولكنها من الدرجة الثالثة فقط في z ² ، وبالتالي فإن المعادلة المقابلة قابلة للحل. من خلال التجربة، يمكننا تحديد الجذور الثلاثة الصحيحة، وبالتالي إيجاد حلول المعادلة الرباعية.

يمكننا إزالة أي متطلب للتجربة باستخدام جذر نفس متعدد الحدود المحلول للتحليل إلى عوامل؛ إذا كان w هو أي جذر لـ (3)، وإذا

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$

ثم

${\displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+e\qquad \qquad (4)}$

وبالتالي، يمكننا حل المعادلة الرباعية عن طريق إيجاد قيمة w ثم إيجاد جذور العاملين باستخدام الصيغة التربيعية.

إن الطرق الموضحة أعلاه هي في الأساس طرق دقيقة لإيجاد الجذور. ومن الممكن أيضًا استخدام طرق تقريب متتالية تتقارب بشكل متكرر نحو الجذور، مثل طريقة Durand–Kerner . والطرق التكرارية هي الطرق الوحيدة المتاحة للمعادلات الخماسية والأعلى مرتبة، باستثناء الحالات البسيطة أو الخاصة.

• معادلة خطية
• المعادلة التربيعية
• معادلة تكعيبية
• معادلة خماسية
• متعدد الحدود
• طريقة نيوتن

• إنجاز فيراري
• صيغة الدرجة الرابعة كأربع معادلات فردية في PlanetMath .

• حاسبة لحل المعادلات الرباعية