جميع الخيول لها نفس اللون

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

إن عبارة "جميع الخيول لها نفس اللون" هي مفارقة تنشأ عن استخدام خاطئ للاستقراء الرياضي لإثبات هذه العبارة . [ 1 ] لا يوجد تناقض حقيقي، إذ أن هذه الحجج تنطوي على خلل جوهري يجعلها خاطئة. وقد طرح جورج بوليا هذا المثال لأول مرة في كتاب صدر عام 1954 بصيغ مختلفة: "هل أي عدد n متساوٍ؟" أو "أي عدد n من الفتيات لهن عيون من نفس اللون"، كتمرين في الاستقراء الرياضي. [ 2 ] كما أعيدت صياغتها أيضًا على النحو التالي: "جميع الأبقار لها نفس اللون". [ 3 ]

طُرحت نسخة "الخيول" من المفارقة عام 1961 في مقال ساخر بقلم جويل إي. كوهين . وقد صِيغت على شكل لِمّة ، سمحت للمؤلف على وجه الخصوص "بإثبات" أن الإسكندر الأكبر لم يكن موجودًا، وأن لديه عددًا لا نهائيًا من الأطراف. [ 4 ]

الحجة

جميع الخيول تمثل مفارقة اللون نفسه، وتفشل خطوة الاستقراء عندما يكون n = 1

الحجة هي برهان بالاستقراء . أولاً، نحدد حالة أساسية لحصان واحد (ن=1{\displaystyle n=1}ثم نثبت أنه إذان{\displaystyle n}إذا كانت الخيول لها نفس اللون،ن+1{\displaystyle n+1}يجب أن يكون للخيول نفس اللون أيضاً.

الحالة الأساسية: حصان واحد

إذا كان هناك حصان واحد فقط في "المجموعة"، فمن الواضح أن جميع الخيول في تلك المجموعة لها نفس اللون؛ ولكي لا تكون ألوان الخيول في المجموعة متجانسة، يجب أن يكون هناك حصانان على الأقل بألوان مختلفة، ولكن بما أنه لا يوجد حصانان في مجموعة هذه الحالة في المقام الأول، فإن هذا الشرط غائب بالضرورة.

خطوات استقرائية

افترض أنن{\displaystyle n}الخيول دائماً ما تكون بنفس اللون. لنفترض مجموعة تتكون منن+1{\displaystyle n+1}خيل.

أولاً، استبعد حصاناً واحداً وانظر فقط إلى الحصان الآخرن{\displaystyle n}الخيول؛ جميعها من نفس اللون، لأنن{\displaystyle n}تكون الخيول دائمًا بنفس اللون. وبالمثل، استبعد حصانًا آخر (ليس مطابقًا للحصان الذي أُزيل أولًا) وانظر فقط إلى الحصان الآخر.ن{\displaystyle n}الخيول. وبناءً على المنطق نفسه، يجب أن تكون هذه الخيول أيضًا من اللون نفسه. لذلك، فإن الحصان الأول الذي تم استبعاده له اللون نفسه للخيول التي لم يتم استبعادها، والتي بدورها لها اللون نفسه للحصان الآخر المستبعد. ومن ثم، فإن الحصان الأول المستبعد، والخيول التي لم يتم استبعادها، والحصان الأخير المستبعد، جميعها من اللون نفسه، وقد أثبتنا ذلك.

  • لون{\displaystyle n}إذا كانت الخيول لها نفس اللون،ن+1{\displaystyle n+1}سيكون للخيول نفس اللون أيضاً.

لقد تبين بالفعل في الحالة الأساسية أن القاعدة ("جميع الخيول لها نفس اللون") كانت صالحة لـن=1{\displaystyle n=1}الخطوة الاستقرائية التي تم إثباتها هنا تعني أن القاعدة صالحة لـن=1{\displaystyle n=1}ويجب أن يكون صالحًا أيضًا لـن=2{\displaystyle n=2}وهذا بدوره يعني أن القاعدة صالحة لـن=3{\displaystyle n=3}وهكذا دواليك.

وبالتالي، في أي مجموعة من الخيول، يجب أن تكون جميع الخيول من نفس اللون. [ 2 ] [ 5 ]

توضيح

يفترض الاستدلال أعلاه ضمنيًا أن مجموعة ن+1{\displaystyle n+1}يبلغ حجم مجموعة الخيول 3 على الأقل، [ 3 ] بحيث تشترك المجموعتان الجزئيتان الصحيحتان من الخيول اللتان يُطبق عليهما افتراض الاستقراء بالضرورة في عنصر مشترك. هذا لا ينطبق في الخطوة الأولى من الاستقراء، أي عندمان+1=2{\displaystyle n+1=2}.

حصانان يقفان في حقل، أحدهما بني والآخر أسود.
حصانان بلونين مختلفين، يقدمان مثالاً مضاداً للنظرية العامة

لنفترض أن الحصانين هما الحصان أ والحصان ب. عند إزالة الحصان أ، يكون صحيحًا أن الخيول المتبقية في المجموعة لها نفس اللون (يبقى الحصان ب فقط). وينطبق الأمر نفسه عند إزالة الحصان ب. صحيح أيضًا أن الحصان أ له نفس لون الخيول غير المستبعدة عند إزالة الحصان ب (في هذه الحالة، يكون أ هو الحصان الوحيد غير المستبعد)، وأن الحصان ب له نفس لون الخيول غير المستبعدة عند إزالة الحصان أ. مع ذلك، لا يوجد عنصر مشترك بين مجموعتي الخيول غير المستبعدة، لذا لا يمكن استنتاج أن لهما نفس اللون. بالتالي، فإن البرهان أعلاه يعاني من خلل منطقي. يشكل البرهان مفارقة زائفة ؛ إذ يبدو أنه يُظهر، من خلال استدلال صحيح، شيئًا خاطئًا بشكل واضح، لكن في الواقع الاستدلال معيب.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ لوكوفسكي ، بيوتر (2011). مفارقات . سبرينغر. ص 15 . 
  2. 1 2 بوليا، جورج (1954). الاستقراء والقياس في الرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ص 120. 
  3. 1 2 توماس فاندرونين، الرياضيات المتقطعة والبرمجة الوظيفية ، فرانكلين، بيدل وشركاؤه، 2012، القسم "الاستقراء الذي انحرف عن مساره"
  4. ↑ كوهين، جويل إي. (1961)، "حول طبيعة البراهين الرياضية"، ملخص عداء الديدان ، الجزء الثالث (3)أُعيد طبعه في كتاب "A Random Walk in Science " (تحرير آر إل ويبر)، دار نشر كرين، روساك وشركاه، 1973، الصفحات 34-36
  5. ↑ "جميع الخيول من نفس اللون" . قسم الرياضيات، كلية هارفي مود. مؤرشف من الأصل بتاريخ ١٢ أبريل ٢٠١٩. تم الاطلاع عليه بتاريخ ١٠ نوفمبر ٢٠٢٣ .