إحصائية مساعدة

في الإحصاء ، تُعرف الإحصائية المساعدة بأنها خاصية إحصائية تُحسب على مجموعة بيانات عينة ، وذلك بالرجوع إلى نموذج بارامتري لتلك البيانات. تتميز الإحصائية المساعدة بتوزيعها الثابت بغض النظر عن قيم المعلمات، وبالتالي لا تُقدم أي معلومات عنها. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وهي تُعارض مفهوم الإحصائية الكاملة التي لا تحتوي على أي معلومات مساعدة. وترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الإحصائية الكافية التي تحتوي على جميع المعلومات التي تُقدمها مجموعة البيانات حول المعلمات.

الإحصائية المساعدة هي حالة خاصة من الكمية المحورية التي تُحسب فقط من البيانات وليس من المعلمات. ويمكن استخدامها لإنشاء فترات تنبؤ . كما تُستخدم أيضًا في سياق نظرية باسو لإثبات استقلال الإحصائيات. ^{[ 4 ]}

تم تقديم هذا المفهوم لأول مرة من قبل رونالد فيشر في عشرينيات القرن العشرين، ^{[ 5 ]} ولكن لم يتم تقديم تعريف رسمي له إلا في عام 1964 من قبل ديبابراتا باسو . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

لنفترض أن _X1 ، ...، Xn _{متغيرات} مستقلة ومتطابقة التوزيع ، وموزعة توزيعًا طبيعيًا بقيمة متوقعة غير معلومة μ وتباين معلوم 1.

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\,\cdots \,+X_{n}}{n}}}$

ليكن متوسط ​​العينة .

المقاييس الإحصائية التالية لتشتت العينة

• المدى : الحد الأقصى ( X1 _، ... _، Xn ) _- الحد الأدنى ( X1 _، ...، Xn )
• المدى الربيعي : الربع _الثالث - الربع _الأول
• تباين العينة :

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}:=\,{\frac {\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}{n}}}$

جميعها إحصاءات مساعدة ، لأن توزيعات معاينتها لا تتغير بتغير قيمة μ . من الناحية الحسابية، يعود ذلك إلى أن حدود μ تُحذف في الصيغ - فإضافة قيمة ثابتة إلى التوزيع (وجميع العينات) تُغير الحد الأقصى والحد الأدنى للعينة بنفس المقدار، وبالتالي لا تُغير الفرق بينهما، وينطبق الأمر نفسه على غيرها: فهذه المقاييس للتشتت لا تعتمد على الموقع.

على العكس من ذلك، إذا افترضنا متغيرات طبيعية مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات متوسط ​​معروف 1 وتباين غير معروف σ2 ، فإن ^متوسط ​​العينة${\displaystyle {\overline {X}}}$لا يُعدّ هذا المقياس إحصائية ثانوية للتباين، لأن توزيع المعاينة لمتوسط ​​العينة هو N (1, σ ² / n )، والذي يعتمد على σ ² – يعتمد هذا المقياس للموقع (وتحديدًا خطأه المعياري ) على التشتت. ^{[ 8 ]} 

اتضح أنه إذا${\displaystyle T_{1}}$إحصائية غير كافية و${\displaystyle T_{2}}$إذا كانت البيانات ثانوية، فيمكن أحيانًا استعادة جميع المعلومات المتعلقة بالمعلمة المجهولة الموجودة في البيانات بأكملها عن طريق الإبلاغ.${\displaystyle T_{1}}$مع مراعاة القيمة المرصودة لـ${\displaystyle T_{2}}$يُعرف هذا بالاستدلال الشرطي . ^{[ 3 ]}

على سبيل المثال، لنفترض أن${\displaystyle X_{1},X_{2}}$اتبع${\displaystyle N(\theta ,1)}$التوزيع حيث${\displaystyle \theta }$غير معروف. لاحظ أنه على الرغم من${\displaystyle X_{1}}$لا يكفي لـ${\displaystyle \theta }$(لأن معلومات فيشر الخاصة بها تساوي 1، بينما معلومات فيشر للإحصائية الكاملة${\displaystyle {\overline {X}}}$2)، وذلك من خلال الإبلاغ الإضافي عن الإحصائية المساعدة${\displaystyle X_{1}-X_{2}}$، يحصل المرء على توزيع مشترك بمعلومات فيشر 2. ^{[ 3 ]}

إذا كانت لدينا إحصائية T غير كافية ، فإن المكمل الإضافي هو إحصائية U إضافية بحيث تكون ( T , U ) كافية. ^{[ 2 ]} وبشكل بديهي، فإن المكمل الإضافي "يضيف المعلومات المفقودة" (دون تكرار أي منها). 

تُعدّ هذه الإحصائية مفيدةً للغاية إذا اعتبرنا T مُقدِّرًا لأقصى احتمال ، وهو ما لا يكفي في الغالب؛ عندها يُمكننا طلب مُكمِّل إضافي. في هذه الحالة، يُجادل فيشر بأنه يجب اشتراط وجود مُكمِّل إضافي لتحديد محتوى المعلومات: ينبغي اعتبار محتوى معلومات فيشر لـ T ليس التوزيع الهامشي لـ T ، بل التوزيع الشرطي لـ T ، مُعطى U : ما مقدار المعلومات التي يُضيفها T ؟ هذا غير ممكن عمومًا، إذ لا يلزم وجود مُكمِّل إضافي، وإن وُجد، فليس بالضرورة أن يكون فريدًا، كما لا يوجد مُكمِّل إضافي أقصى.

• نظرية باسو
• فترة التنبؤ
• مجموعة عائلية
• مبدأ الشرطية