عائلة الموقع-المقياس

في نظرية الاحتمالات ، وخاصة في الإحصاء الرياضي ، تُعرف عائلة الموقع-المقياس بأنها عائلة من التوزيعات الاحتمالية التي تُحدد بمعامل الموقع ومعامل المقياس غير السالب . لأي متغير عشوائي${\displaystyle X}$والتي تنتمي دالة توزيع احتمالاتها إلى هذه العائلة، دالة توزيع${\displaystyle Y\,{\stackrel {d}{=}}\,a+bX}$وينتمي أيضاً إلى العائلة (حيث${\displaystyle {\stackrel {d}{=}}}$ويعني " متساوية في التوزيع " - أي "لها نفس التوزيع مثل").

بمعنى آخر، فصل دراسي$أوميغا$تُعتبر عائلة التوزيعات الاحتمالية عائلة مكان-مقياس إذا كانت جميع دوال التوزيع التراكمي${\displaystyle F\in \Omega }$وأي أعداد حقيقية${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle b>0}$دالة التوزيع${\displaystyle G(x)=F(a+bx)}$وهو أيضاً عضو في$أوميغا$.

• لو${\displaystyle X}$لها دالة توزيع تراكمي${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$، ثم${\displaystyle Y=a+bX}$لها دالة توزيع تراكمي${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}\left({\frac {ya}{b}}\right)}$.
• لو${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي منفصل ذو دالة كتلة احتمالية${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$، ثم${\displaystyle Y=a+bX}$هو متغير عشوائي منفصل ذو دالة كتلة احتمالية${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}\left({\frac {ya}{b}}\right)}$.
• لو${\displaystyle X}$متغير عشوائي مستمر ذو دالة كثافة احتمالية${\displaystyle f_{X}(x)}$، ثم${\displaystyle Y=a+bX}$متغير عشوائي مستمر ذو دالة كثافة احتمالية${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {ya}{b}}\right)}$.
• لو${\displaystyle X}$يحتوي على دالة توليد العزوم${\displaystyle M_{X}(t)}$، ثم${\displaystyle Y=a+bX}$يحتوي على دالة توليد العزوم${\displaystyle M_{Y}(t)=e^{at}M_{X}(bt)}$.
• لو${\displaystyle X}$له وظيفة مميزة${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$، ثم${\displaystyle Y=a+bX}$له وظيفة مميزة${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{iat}\varphi _{X}(bt)}$.

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$متغيران عشوائيان تنتمي دوال توزيعهما إلى عائلة المتغيرات العشوائية، وبافتراض وجود العزمين الأولين و ${\displaystyle X}$إذا كان متوسطها يساوي صفرًا وتباينها يساوي واحدًا، فإن${\displaystyle Y}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle Y\,{\stackrel {d}{=}}\,\mu _{Y}+\sigma _{Y}X}$، أين${\displaystyle \mu _{Y}}$و${\displaystyle \sigma _{Y}}$يمثل المتوسط ​​والانحراف المعياري لـ${\displaystyle Y}$.

في نظرية القرار ، إذا كانت جميع التوزيعات البديلة المتاحة لصانع القرار تنتمي إلى نفس عائلة الموقع والمقياس، وكانت العزمتان الأوليان محدودتين، فإنه يمكن تطبيق نموذج قرار ثنائي العزم ، ويمكن صياغة عملية صنع القرار بدلالة متوسطات وتباينات التوزيعات . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

غالبًا ما تقتصر عائلات التوزيع المكاني-المقياسي على تلك التي تتشابه فيها جميع عناصرها في الشكل الوظيفي. معظم هذه العائلات أحادية المتغير ، وإن لم تكن جميعها. ومن العائلات المعروفة التي يكون فيها الشكل الوظيفي للتوزيع متسقًا في جميع عناصرها ما يلي:

• التوزيع الطبيعي
• التوزيعات الإهليلجية
• توزيع كوشي
• التوزيع المنتظم (المستمر)
• التوزيع المنتظم (المنفصل)
• التوزيع اللوجستي
• توزيع لابلاس
• توزيع t للطالب
• توزيع القيم المتطرفة المعمم

يوضح ما يلي كيفية تطبيق عائلة التوزيع المكاني-المقياسي في حزمة إحصائية أو بيئة برمجة لا تتوفر فيها إلا وظائف النسخة "القياسية" من التوزيع. صُمم هذا المثال للغة R، ولكن يمكن تعميمه على أي لغة ومكتبة.

المثال هنا هو توزيع t للطالب ، والذي يُقدّم عادةً في لغة R بصيغته القياسية فقط، مع مُعامل درجة حريةdf واحد . تُظهر النسخ أدناه، مع _lsالإضافات، كيفية تعميم هذا التوزيع إلى توزيع t للطالب المُعمّم مع مُعامل موقع mومُعامل مقياس اختياريين s.

لاحظ أن هذه الدوال المعممة ليس لها انحراف معياري sلأن توزيعات t المعيارية ليس لها انحراف معياري يساوي 1.

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html