نقطة أبولونيوس

في الهندسة الإقليدية ، تُعرف نقطة أبولونيوس بأنها مركز المثلث، ويُرمز لها بالرمز X (181) في موسوعة مراكز المثلثات (ETC) لكلارك كيمبرلينج . وتُعرَّف بأنها نقطة التقاء القطع المستقيمة الثلاثة الواصلة بين كل رأس من رؤوس المثلث ونقاط التماس التي تشكلها الدائرة الخارجية المقابلة ودائرة أكبر مماسة للدوائر الخارجية الثلاث .

في الأدبيات، يُستخدم مصطلح " نقاط أبولونيوس " أيضاً للإشارة إلى النقاط المتساوية الحركة للمثلث. ^{[ 1 ]} ويمكن تبرير هذا الاستخدام أيضاً على أساس أن النقاط المتساوية الحركة مرتبطة بالدوائر الأبولونية الثلاث المرتبطة بالمثلث.

عُرف حل مسألة أبولونيوس منذ قرون. لكن نقطة أبولونيوس لُوحظت لأول مرة عام 1987. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تُعرَّف نقطة أبولونيوس في المثلث على النحو التالي.

ليكن المثلث ABC أي مثلث معطى. ولتكن الدوائر الخارجية للمثلث ABC المقابلة للرؤوس A وB وC هي _{EA وEB وC على التوالي. ولتكن E الدائرة التي تمس الدوائر الخارجية الثلاث EA وEB} و C _بحيث تقع هذه _{الدوائر الثلاث} داخل E. ولتكن A _' و B _' و C ' نقاط تماس الدائرة E مع الدوائر الخارجية الثلاث. تتقاطع الخطوط AA' وBB' وCC' . نقطة التقاطع هي نقطة أبولونيوس للمثلث ABC .

مسألة أبولونيوس هي مسألة إنشاء دائرة مماسة لثلاث دوائر معطاة في مستوى. عمومًا، توجد ثماني دوائر تمس الدوائر الثلاث المعطاة. الدائرة E المشار إليها في التعريف أعلاه هي إحدى هذه الدوائر الثماني التي تمس الدوائر الخارجية الثلاث للمثلث △ ABC . في موسوعة مراكز المثلثات، تُسمى الدائرة E دائرة أبولونيوس للمثلث △ ABC .

الإحداثيات الثلاثية لنقطة أبولونيوس هي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+ca}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+ab}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+bc}}}$$$${\displaystyle =\sin ^{2}\!A\,\cos ^{2}\!{\frac {BC}{2}}:\sin ^{2}\!B\,\cos ^{2}\!{\frac {CA}{2}}:\sin ^{2}\!C\,\cos ^{2}\!{\frac {AB}{2}}.}$$