مماس

الموسوعة الحرة

مماس لمنحنى. الخط الأحمر مماس للمنحنى عند النقطة المحددة بنقطة حمراء.
المستوى المماس للكرة

في الهندسة ، يُعرف المماس (أو ببساطة المماس ) لمنحنى مستوٍ عند نقطة معينة ، بديهيًا، بأنه الخط المستقيم الذي "يلامس" المنحنى عند تلك النقطة. وقد عرّفه لايبنتز بأنه الخط المار بنقطتين متقاربتين جدًا على المنحنى. [ 1 ] [ 2 ] بتعبير أدق، يكون الخط المستقيم مماسًا للمنحنى y = f ( x ) عند النقطة x = c إذا كان الخط يمر بالنقطة ( c , f ( c )) على المنحنى، وميله f ' ( c ) ، حيث f ' هي مشتقة f . وينطبق تعريف مشابه على منحنيات الفضاء، وعلى المنحنيات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .

تُسمى النقطة التي يلتقي فيها خط المماس مع المنحنى أو يتقاطعان بها نقطة التماس . ويُقال إن خط المماس "يسير في نفس اتجاه" المنحنى، وبالتالي فهو أفضل تقريب خطي للمنحنى عند تلك النقطة. ويمكن أيضًا اعتبار خط المماس لنقطة على منحنى قابل للتفاضل بمثابة تقريب لخط المماس ، وهو الرسم البياني للدالة الأفينية التي تُقارب الدالة الأصلية عند تلك النقطة بأفضل شكل. [ 3 ]

وبالمثل، فإن المستوى المماس لسطح ما عند نقطة معينة هو المستوى الذي "يلامس" السطح عند تلك النقطة. يُعد مفهوم المماس أحد أهم المفاهيم الأساسية في الهندسة التفاضلية ، وقد تم تعميمه على نطاق واسع .

أصل الكلمة

كلمة "tangent" مشتقة من الكلمة اللاتينية tangens (بمعنى "اللمس")، وهي اسم الفاعل من الفعل tangere (بمعنى "يلمس"). [ 4 ]

تاريخ

أشار إقليدس عدة مرات إلى المماس ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) للدائرة في الكتاب الثالث من كتاب الأصول (حوالي 300 قبل الميلاد). [ 5 ] وفي كتاب أبولونيوس " المخروطيات" (حوالي 225 قبل الميلاد)، عرّف المماس بأنه خط لا يمكن أن يقع بينه وبين المنحنى أي خط مستقيم آخر . [ 6 ]

وجد أرخميدس (حوالي 287 - حوالي 212 قبل الميلاد) المماس للولب الأرخميدسي من خلال النظر في مسار نقطة تتحرك على طول المنحنى. [ 6 ]

في ثلاثينيات القرن السابع عشر، طور فيرما تقنية التساوي لحساب المماسات وحل مسائل أخرى في التحليل، واستخدمها لحساب المماسات للقطع المكافئ. تشبه تقنية التساوي حساب الفرق بينو(x+ح){\displaystyle f(x+h)}وو(x){\displaystyle f(x)}والقسمة على قوة منح{\displaystyle h}. بشكل مستقل، استخدم ديكارت طريقته الخاصة بالمتجهات العمودية بناءً على ملاحظة أن نصف قطر الدائرة يكون دائمًا عموديًا على الدائرة نفسها. [ 7 ]

أدت هذه الأساليب إلى تطوير حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر. وقد ساهم في ذلك العديد من العلماء. اكتشف روبرفال طريقة عامة لرسم المماسات، وذلك باعتبار المنحنى موصوفًا بنقطة متحركة حركتها ناتجة عن عدة حركات أبسط. [ 8 ] كما وجد رينيه فرانسوا دي سلوس ويوهانس هود خوارزميات جبرية لإيجاد المماسات. [ 9 ] وشملت التطورات اللاحقة أعمال جون واليس وإسحاق بارو ، مما أدى إلى نظرية إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز .

كان تعريف المماس في عام 1828 هو "خط مستقيم يلامس منحنى، ولكنه لا يقطعه عند امتداده". [ 10 ] يمنع هذا التعريف القديم وجود أي مماس عند نقاط الانعطاف . وقد تم التخلي عنه، وأصبحت التعريفات الحديثة مكافئة لتعريف لايبنتز ، الذي عرّف خط المماس بأنه الخط المار بنقطتين متقاربتين للغاية على المنحنى؛ وفي المصطلحات الحديثة، يُعبّر عن ذلك كما يلي : المماس لمنحنى عند نقطة P على المنحنى هو نهاية الخط المار بنقطتين على المنحنى عندما تقترب هاتان النقطتان من P.

خط مماس لمنحنى مستوٍ

مماس، ووتر ، وقاطع لدائرة

يمكن توضيح المفهوم البديهي بأن المماس "يلامس" منحنىً بشكل أدق من خلال النظر إلى سلسلة من الخطوط المستقيمة ( الخطوط القاطعة ) التي تمر بنقطتين، A و B ، تقعان على منحنى الدالة. المماس عند A هو النهاية عندما تقترب النقطة B من A أو تميل إليها . يعتمد وجود المماس وتفرده على نوع معين من السلاسة الرياضية، يُعرف باسم "قابلية التفاضل". على سبيل المثال، إذا التقى قوسان دائريان عند نقطة حادة (رأس)، فلا يوجد مماس محدد بشكل فريد عند الرأس، لأن نهاية سلسلة الخطوط القاطعة تعتمد على اتجاه اقتراب "النقطة B " من الرأس.

في معظم النقاط، يلامس المماس المنحنى دون أن يقطعه (مع أنه قد يقطعه عند امتداده في نقاط أخرى بعيدة عن نقطة التماس). تُسمى النقطة التي يقطع عندها المماس المنحنى (في هذه النقطة) نقطة انعطاف . لا تحتوي الدوائر والقطع المكافئ والقطع الزائد والقطع الناقص على نقاط انعطاف، بينما تحتوي المنحنيات الأكثر تعقيدًا على نقاط انعطاف، مثل منحنى الدالة التكعيبية ، الذي يحتوي على نقطة انعطاف واحدة فقط، أو منحنى الدالة الجيبية، الذي يحتوي على نقطتي انعطاف لكل دورة من دورات الجيب .

على النقيض، قد يحدث أن يقع المنحنى بالكامل على جانب واحد من خط مستقيم يمر بنقطة عليه، ومع ذلك لا يُعد هذا الخط المستقيم مماساً له. هذا هو الحال، على سبيل المثال، بالنسبة لخط يمر برأس مثلث ولا يتقاطع معه في أي مكان آخر - حيث لا يوجد مماس للأسباب المذكورة أعلاه. في الهندسة المحدبة ، تُسمى هذه الخطوط بالخطوط الداعمة .

النهج التحليلي

عند كل نقطة، يكون الخط المتحرك مماسًا للمنحنى . ميله هو المشتقة ؛ يشير اللون الأخضر إلى مشتقة موجبة، والأحمر إلى مشتقة سالبة، والأسود إلى مشتقة صفرية. النقطة (س، ص) = (0، 1) حيث يتقاطع المماس مع المنحنى، ليست قيمة عظمى ولا صغرى، بل هي نقطة انعطاف . (ملاحظة: يحتوي الشكل على تسمية خاطئة للنقطة (0، 0) والصحيح هو (0، 1)).

تُشكّل الفكرة الهندسية لخط المماس باعتباره نهاية خطوط القاطع دافعًا للطرق التحليلية المستخدمة لإيجاد خطوط المماس بشكل صريح. وكانت مسألة إيجاد خط المماس لمنحنى، أو ما يُعرف بمسألة خط المماس، من المسائل المحورية التي أدت إلى تطور علم التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر. في كتابه الثاني من كتاب الهندسة ، قال رينيه ديكارت [ 11 ] عن مسألة إنشاء المماس لمنحنى: "وأجرؤ على القول إن هذه ليست فقط المسألة الأكثر فائدة وعمومية في الهندسة التي أعرفها، بل هي أيضًا المسألة التي رغبتُ في معرفتها على الإطلاق". [ 12 ]

وصف بديهي

لنفترض أن لدينا منحنىً يُمثل دالة ، y = f ( x ) . لإيجاد المماس عند النقطة p = ( a , f ( a ))، نعتبر نقطة مجاورة أخرى q = ( a + h , f ( a + h )) على المنحنى. ميل القاطع المار بالنقطتين p و q يساوي حاصل قسمة الفرق.

و(أ+ح)-و(أ)ح.{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}

عندما تقترب النقطة q من النقطة p ، وهو ما يتوافق مع تصغير قيمة h تدريجيًا، يجب أن يقترب حاصل قسمة الفرق من قيمة حدية معينة k ، وهي ميل المماس عند النقطة p . إذا عُرفت قيمة k ، يمكن إيجاد معادلة المماس بصيغة الميل والنقطة.

y-و(أ)=ك(x-أ).{\displaystyle yf(a)=k(xa).\,}

وصف أكثر دقة

لجعل الاستدلال السابق دقيقًا، يجب توضيح المقصود باقتراب حاصل قسمة الفرق من قيمة حدية معينة k . وقد صاغ كوشي الصيغة الرياضية الدقيقة في القرن التاسع عشر، وهي تستند إلى مفهوم النهاية . لنفترض أن الرسم البياني لا يحتوي على انقطاع أو حافة حادة عند النقطة p، وأنه ليس مستقيمًا تمامًا ولا متعرجًا جدًا بالقرب من p . عندئذٍ، توجد قيمة فريدة لـ k بحيث أنه كلما اقتربت h من الصفر، يقترب حاصل قسمة الفرق أكثر فأكثر من k ، وتصبح المسافة بينهما ضئيلة مقارنةً بقيمة h ، إذا كانت h صغيرة بما يكفي. هذا يقودنا إلى تعريف ميل المماس للرسم البياني على أنه نهاية حاصل قسمة الفرق للدالة f . هذه النهاية هي مشتقة الدالة f عند x = a ، ويرمز لها بـ f  ′( a ). باستخدام المشتقات، يمكن صياغة معادلة المماس كما يلي:

y=و(أ)+و′(أ)(x-أ).{\displaystyle y=f(a)+f'(a)(xa).\,}

يُقدّم علم التفاضل والتكامل قواعد لحساب مشتقات الدوال المُعطاة بصيغ رياضية، مثل دالة القوة ، والدوال المثلثية ، والدالة الأسية ، واللوغاريتم ، ومختلف تركيباتها. وبالتالي، يُمكن إيجاد معادلات المماسات لرسوم بيانية جميع هذه الدوال، بالإضافة إلى العديد من الدوال الأخرى، باستخدام طرق التفاضل والتكامل.

كيف يمكن أن تفشل الطريقة

يُبيّن علم التفاضل والتكامل أيضًا وجود دوال ونقاط على رسومها البيانية لا توجد عندها نهاية تحدد ميل المماس. عند هذه النقاط، تكون الدالة f غير قابلة للتفاضل . ثمة سببان محتملان لفشل طريقة إيجاد المماسات بالاعتماد على النهايات والمشتقات: إما أن المماس الهندسي موجود، ولكنه خط رأسي، ولا يمكن تمثيله بصيغة الميل والنقطة لعدم وجود ميل له، أو أن الرسم البياني يُظهر أحد ثلاثة سلوكيات تمنع وجود مماس هندسي.

يوضح الرسم البياني y = x 1/3 الاحتمال الأول: هنا يكون حاصل قسمة الفرق عند a = 0 مساويًا لـ h 1/3 / h = h −2/3 ، والذي يصبح كبيرًا جدًا عندما تقترب h من 0. يحتوي هذا المنحنى على خط مماس عند نقطة الأصل يكون رأسيًا.

يوضح الرسم البياني للمعادلة y = x² /³ احتمالًا آخر: يحتوي هذا الرسم البياني على نقطة انعطاف حادة عند نقطة الأصل. هذا يعني أنه عندما تقترب h من الصفر، فإن حاصل قسمة الفرق عند a = 0 يقترب من اللانهاية الموجبة أو السالبة اعتمادًا على إشارة x . وبالتالي، يكون كلا فرعي المنحنى قريبين من نصف الخط الرأسي الذي يحقق y = 0، لكن لا يوجد أي منهما قريب من الجزء السالب من هذا الخط. في الأساس، لا يوجد مماس عند نقطة الأصل في هذه الحالة، ولكن في سياق معين، يمكن اعتبار هذا الخط مماسًا، بل وحتى، في الهندسة الجبرية ، مماسًا مزدوجًا .

يتكون الرسم البياني للدالة y = | x | للقيمة المطلقة من خطين مستقيمين مختلفي الميل متصلين عند نقطة الأصل. عندما تقترب النقطة q من نقطة الأصل من اليمين، يكون ميل الخط القاطع دائمًا 1. وعندما تقترب النقطة q من نقطة الأصل من اليسار، يكون ميل الخط القاطع دائمًا -1. لذلك، لا يوجد مماس وحيد للرسم البياني عند نقطة الأصل. يُطلق على وجود ميلين مختلفين (لكنهما محدودان) اسم الزاوية .

وأخيرًا، بما أن قابلية التفاضل تستلزم الاستمرارية، فإن عكس ذلك يعني أن عدم الاستمرارية يستلزم عدم قابلية التفاضلية. أي انقطاع قفزي أو نقطي من هذا القبيل لن يكون له خط مماس. يشمل ذلك الحالات التي يقترب فيها أحد الميلين من اللانهاية الموجبة بينما يقترب الآخر من اللانهاية السالبة، مما يؤدي إلى انقطاع قفزي لانهائي.

المعادلات

عندما يُعطى المنحنى بالمعادلة y = f ( x )، فإن ميل المماس هودy/دx،{\displaystyle dy/dx,} وبناءً على صيغة الميل والنقطة، فإن معادلة الخط المماس عند النقطة ( X , Y ) هي 

y-Y=دyدx(X)⋅(x-X){\displaystyle yY={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (xX)}

حيث ( x , y ) هي إحداثيات أي نقطة على الخط المماس، وحيث يتم حساب المشتقة عند x=X{\displaystyle x=X}[ 13 ]​

عندما يُعطى المنحنى بالمعادلة y = f ( x )، يمكن أيضًا إيجاد معادلة المماس [ 14 ] باستخدام قسمة كثيرات الحدود .و(x){\displaystyle f\,(x)}بواسطة(x-X)2{\displaystyle (xX)^{2}}إذا كان الباقي يُرمز إليه بـز(x){\displaystyle g(x)}إذن، تُعطى معادلة الخط المماس بالصيغة التالية:

y=ز(x).{\displaystyle y=g(x).}

عندما تُعطى معادلة المنحنى على الصورة f ( x , y ) = 0، يمكن إيجاد قيمة الميل عن طريق التفاضل الضمني ، مما يُعطي 

دyدx=-∂و∂x/∂و∂y.{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg صد\frac {\partial f}{\partial y}}.}

معادلة الخط المماس عند النقطة ( X ، Y ) بحيث يكون f ( X ، Y ) = 0 هي [ 13 ]

∂و∂x(X،Y)⋅(x-X)+∂و∂y(X،Y)⋅(y-Y)=0.{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (xX)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (yY)=0.}

تبقى هذه المعادلة صحيحة إذا

∂و∂y(X،Y)=0،∂و∂x(X،Y)≠0،{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}

وفي هذه الحالة يكون ميل المماس لانهائيًا. أما إذا،

∂و∂y(X،Y)=∂و∂x(X،Y)=0،{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}

الخط المماس غير معرف وتقال النقطة ( X ، Y ) أنها نقطة شاذة .

بالنسبة للمنحنيات الجبرية ، يمكن تبسيط الحسابات نوعًا ما بتحويلها إلى إحداثيات متجانسة . تحديدًا، لنفترض أن المعادلة المتجانسة للمنحنى هي g ( x , y , z ) = 0، حيث g دالة متجانسة من الدرجة n . عندئذٍ، إذا كانت النقطة ( X , Y , Z ) تقع على المنحنى، فإن نظرية أويلر تُشير إلى     ∂ز∂x⋅X+∂ز∂y⋅Y+∂ز∂z⋅Z=نز(X،Y،Z)=0.{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.} وبناءً على ذلك، فإن المعادلة المتجانسة لخط المماس هي

∂ز∂x(X،Y،Z)⋅x+∂ز∂y(X،Y،Z)⋅y+∂ز∂z(X،Y،Z)⋅z=0.{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}

يمكن إيجاد معادلة الخط المماس في الإحداثيات الديكارتية عن طريق وضع z = 1 في هذه المعادلة. [ 15 ]

ولتطبيق ذلك على المنحنيات الجبرية، اكتب f ( x , y ) على النحو التالي: 

و=uن+uن-1+⋯+u1+u0{\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}

حيث يمثل كل u r مجموع جميع الحدود من الدرجة r . وتكون المعادلة المتجانسة للمنحنى هي

ز=uن+uن-1z+⋯+u1zن-1+u0zن=0.{\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}

بتطبيق المعادلة أعلاه ووضع z = 1 ينتج

∂و∂x(X،Y)⋅x+∂و∂y(X،Y)⋅y+∂ز∂z(X،Y،1)=0{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}

باعتبارها معادلة خط المماس. [ 16 ] غالبًا ما تكون المعادلة بهذا الشكل أسهل في الاستخدام عمليًا، إذ لا حاجة إلى مزيد من التبسيط بعد تطبيقها. [ 15 ]

إذا تم إعطاء المنحنى بشكل وسيطي بواسطة

x=x(ت)،y=y(ت){\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}

إذن، ميل المماس هو

دyدx=دyدت/دxدت{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg زاع\frac {dx}{dt}}}

إعطاء معادلة خط المماس عندت=تي،X=x(تي)،Y=y(تي){\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}كما [ 17 ]

دxدت(تي)⋅(y-Y)=دyدت(تي)⋅(x-X).{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (yY)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (xX).}

لو

دxدت(تي)=دyدت(تي)=0،{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}

خط المماس غير مُعرَّف. ومع ذلك، قد يكون خط المماس موجودًا ويمكن حسابه من معادلة ضمنية للمنحنى.

الخط العمودي على المنحنى

يُسمى الخط العمودي على المماس لمنحنى عند نقطة التماس بالخط العمودي على المنحنى عند تلك النقطة. ويكون حاصل ضرب ميلي الخطين العموديين سالب واحد، لذا إذا كانت معادلة المنحنى هي y = f ( x )، فإن ميل الخط العمودي يساوي -1.

-1/دyدx{\displaystyle -1{\bigg واصل\frac {dy}{dx}}}

وبناءً على ذلك، فإن معادلة الخط العمودي عند النقطة (X, Y) هي

(x-X)+دyدx(y-Y)=0.{\displaystyle (xX)+{\frac {dy}{dx}}(yY)=0.}

وبالمثل، إذا كانت معادلة المنحنى على شكل f ( x , y ) = 0 فإن معادلة الخط العمودي تعطى بواسطة [ 18 ] 

∂و∂y(x-X)-∂و∂x(y-Y)=0.{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(xX)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(yY)=0.}

إذا تم إعطاء المنحنى بشكل وسيطي بواسطة

x=x(ت)،y=y(ت){\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}

إذن معادلة الخط العمودي هي [ 17 ]

دxدت(x-X)+دyدت(y-Y)=0.{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(xX)+{\frac {dy}{dt}}(yY)=0.}

الزاوية بين المنحنيات

تُعرَّف الزاوية بين منحنيين عند نقطة تقاطعهما بأنها الزاوية بين خطي المماس لهما عند تلك النقطة. وبشكل أدق، يُقال إن منحنيين متماسان عند نقطة ما إذا كان لهما نفس المماس عند تلك النقطة، ومتعامدان إذا كان خطا المماس لهما متعامدين. [ 19 ]

مسارات مماسية متعددة عند نقطة واحدة

المنحنى الثلاثي الضلعي: منحنى له مماسان عند نقطة الأصل

لا تُجدي الصيغ المذكورة أعلاه نفعًا عندما تكون النقطة نقطةً شاذة . في هذه الحالة، قد يمرّ فرعان أو أكثر من المنحنى عبر النقطة، ولكل فرع مماس خاص به. عندما تكون النقطة هي نقطة الأصل، يمكن إيجاد معادلات هذه المماسات للمنحنيات الجبرية بتحليل المعادلة الناتجة عن حذف جميع الحدود باستثناء الحدود ذات الدرجة الأدنى من المعادلة الأصلية. وبما أنه يمكن جعل أي نقطة نقطة الأصل بتغيير المتغيرات (أو بنقل المنحنى )، فإن هذا يوفر طريقة لإيجاد المماسات عند أي نقطة شاذة.

على سبيل المثال، معادلة المثلث الثلاثي الموضح على اليمين هي

(x2+y2-2أx)2=أ2(x2+y2).{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}

بتوسيع هذا وحذف جميع الحدود باستثناء الحدود من الدرجة الثانية، نحصل على

أ2(3x2-y2)=0{\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}

والتي، عند تحليلها، تصبح

y=±3x.{\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}

إذن، هذه هي معادلات خطي المماس المارين بنقطة الأصل. [ 20 ]

عندما لا يتقاطع المنحنى مع نفسه، قد لا يكون المماس عند نقطة مرجعية محددًا بشكل فريد، لأن المنحنى غير قابل للتفاضل عند تلك النقطة، على الرغم من قابليته للتفاضل في أي مكان آخر. في هذه الحالة، تُعرَّف المشتقة اليسرى واليمنى على أنهما نهايتا المشتقة عندما تقترب النقطة التي تُحسب عندها من النقطة المرجعية من اليسار (قيم أقل) أو اليمين (قيم أعلى) على التوالي. على سبيل المثال، المنحنى y = | x | غير قابل للتفاضل عند x = 0: مشتقاته اليسرى واليمنى لها ميلان −1 و1 على التوالي؛ والمماسات عند تلك النقطة ذات هذين الميلين تُسمى المماسات اليسرى واليمنى. [ 21 ]

أحيانًا يتساوى ميل المماس الأيسر والمماس الأيمن، فينطبقان. وهذا ينطبق، على سبيل المثال، على المنحنى y = x² /³ ، حيث تكون مشتقاته اليسرى واليمنى عند x = 0 لانهائية؛ وبالتالي فإن معادلة كل من المماس الأيسر والمماس الأيمن هي x = 0.

خط مماس لمنحنى فضائي

في الرياضيات ، يُعرف متجه المماس بأنه متجه يمس منحنى أو سطحًا عند نقطة معينة. تُوصف متجهات المماس في الهندسة التفاضلية للمنحنيات في سياق المنحنيات في الفضاء الإقليدي ذي البعد n . وبشكل أعم، تُعد متجهات المماس عناصر في فضاء مماس لمتشعب قابل للتفاضل . كما يمكن وصف متجهات المماس بدلالة الجراثيم . رسميًا، متجه المماس عند النقطةx{\displaystyle x}هو اشتقاق خطي للجبر المعرف بمجموعة الجراثيم عندx{\displaystyle x}.

دوائر مماسية

زوجان من الدوائر المتماسة. متماسة من الداخل من الأعلى ومماسة من الخارج من الأسفل

يقال إن دائرتين متميزتين تقعان في نفس المستوى متماستان لبعضهما البعض إذا التقتا في نقطة واحدة بالضبط.

إذا تم وصف النقاط في المستوى باستخدام الإحداثيات الديكارتية ، فسيتم رسم دائرتين بنصف قطرينر1،ر2{\displaystyle r_{1},r_{2}}والمراكز(x1،y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}و(x2،y2){\displaystyle (x_{2},y_{2})}تكون متماسّة مع بعضها البعض عندما

(x1-x2)2+(y1-y2)2=(ر1±ر2)2.{\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.}

يُطلق على الدائرتين اسم الدائرتين المتماستين خارجياً إذا كانت المسافة بين مركزيهما تساوي مجموع نصفي قطريهما.

(x1-x2)2+(y1-y2)2=(ر1+ر2)2.{\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}

أو متماس داخليًا إذا كانت المسافة بين مركزيهما تساوي الفرق بين نصفي قطريهما: [ 22 ]

(x1-x2)2+(y1-y2)2=(ر1-ر2)2.{\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}

المستوى المماس للسطح

يُعرَّف المستوى المماس لسطح عند نقطة معينة p بطريقة مماثلة لخط المماس في حالة المنحنيات. وهو أفضل تقريب للسطح بمستوى عند p ، ويمكن الحصول عليه كموضع نهائي للمستويات التي تمر بثلاث نقاط مختلفة على السطح بالقرب من p ، حيث تتقارب هذه النقاط إلى p . (من التفاصيل التقنية أن النقاط الثلاث يجب أن تقترب من p من اتجاهين غير متوازيين على الأقل. وبشكل أدق، يجب أن يكون اثنان من متجهات المماس الثلاثة عند p مستقلين خطيًا). رياضيًا، إذا كان السطح معطى بدالةz=و(x،y){\displaystyle z=f(x,y)}، معادلة المستوى المماس عند النقطة(x0،y0،z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

z-z0=∂و∂x(x0،y0)(x-x0)+∂و∂y(x0،y0)(y-y0).{\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).}

هنا،∂و∂x{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}و∂و∂y{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}هي المشتقات الجزئية للدالةو{\displaystyle f}بالنسبة إلىx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}على التوالي، يتم تقييمها عند النقطة(x0،y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}باختصار، يجسد المستوى المماس السلوك المحلي للسطح عند النقطة المحددة p . إنه مفهوم أساسي يستخدم في حساب التفاضل والتكامل والهندسة التفاضلية، وهو أمر بالغ الأهمية لفهم كيفية تغير الدوال محليًا على الأسطح.

المتشعبات ذات الأبعاد الأعلى

وبشكل أكثر عمومية، يوجد فضاء مماس ذو أبعاد k عند كل نقطة من مشعب ذي أبعاد k في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ في " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " ( Acta Eruditorum ، أكتوبر 1684)، يبدو أن لايبنيز لديه فكرة عن خطوط الظل بسهولة منذ البداية، لكنه ذكر لاحقًا: "modo Teneatur in genere, tangentem invenire esserectam ducere, quae duo curvae puncta distanceiam infinite parvam habentia jungat, seu latus Productum polygoni infinitanguli، quod nobis curvae aequivalet"، أي. يحدد طريقة رسم المماسات من خلال نقاط قريبة بشكل لا نهائي من بعضها البعض.
  2. ↑ توماس ل. هانكينز (1985). العلم والتنوير . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  23. ISBN 9780521286190.
  3. ↑ دان سلوتر (2000). " أفضل التقريبات الأفينية "
  4. ↑ شوارتزمان، ستيفن (1994). مصطلحات الرياضيات: قاموس اشتقاقي للمصطلحات الرياضية المستخدمة في اللغة الإنجليزية . سلسلة MAA Spectrum. واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 217. ISBN  978-0-88385-511-9.
  5. ↑ إقليدس. "عناصر إقليدس" . تم الاطلاع عليه في 1 يونيو 2015 .
  6. 1 2 شينك، أ. "حساب التفاضل والتكامل الإلكتروني، القسم 2.8" (ملف PDF) . ص 2.8 . تم الاطلاع عليه في 1 يونيو 2015 . 
  7. ↑ كاتز، فيكتور ج. (2008). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثالثة). أديسون ويسلي. ص 510. ISBN   978-0321387004.
  8. ↑ وولفسون، بول ر. (2001). "المعوج يصبح مستقيماً: روبرفال ونيوتن حول المماسات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 108 (3): 206-216 . doi : 10.2307/2695381 . JSTOR 2695381 . 
  9. ↑ كاتز، فيكتور ج. (2008). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثالثة). أديسون ويسلي. الصفحات 512-514 . ISBN   978-0321387004.
  10. ↑ نوح ويبستر، القاموس الأمريكي للغة الإنجليزية (نيويورك: إس. كونفرس، 1828)، المجلد 2، صفحة 733،
  11. ↑ ديكارت، رينيه (1954) [1637]. هندسة رينيه ديكارت . ترجمة سميث، ديفيد يوجين ؛ لاثام، مارسيا ل. أوبن كورت. ص 95. 
  12. ↑ ر. إي. لانجر (أكتوبر 1937). "رينيه ديكارت". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 44 (8). الجمعية الرياضية الأمريكية: 495-512 . doi : 10.2307/2301226 . JSTOR 2301226 . 
  13. 1 2 إدواردز المادة 191
  14. ↑ ستريكلاند-كونستابل، تشارلز، "طريقة بسيطة لإيجاد المماسات للرسوم البيانية متعددة الحدود"، المجلة الرياضية ، نوفمبر 2005، 466-467.
  15. 1 2 إدواردز المادة 192
  16. ↑ إدواردز آرت. 193
  17. 1 2 إدواردز آرت. 196
  18. ↑ إدواردز آرت. 194
  19. ↑ إدواردز آرت. 195
  20. ↑ إدواردز آرت. 197
  21. ↑ توماس، جورج ب. الابن، وفيني، روس ل. (1979)، حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ، شركة أديسون ويسلي للنشر: ص 140.
  22. ↑ "دوائر لشهادة التخرج في الرياضيات المتقدمة من تأليف توماس أوسوليفان 1997" .

مصادر