أبولونيوس البرغاوي

يمكن العثور على بعض المواد السيرية الذاتية في مقدمات كتب المخروطيات الباقية. وهي عبارة عن رسائل وجهها أبولونيوس إلى أصدقاء ذوي نفوذ يطلب منهم مراجعة الكتاب المرفق بالرسالة. وقد وُجهت المقدمتان الأوليان إلى يوديموس البرغامي .

من المرجح أن يكون يوديموس قد شغل منصب رئيس مركز الأبحاث في متحف بيرغامون ، المدينة المشهورة بصناعة الكتب والرق ، والتي اشتُق منها اسم الرق . وكانت الأبحاث في المؤسسات الرياضية اليونانية، التي اتبعت نموذج الليكايوم الأثيني ، جزءًا من الجهود التعليمية التي كانت المكتبة والمتحف تابعين لها. ولم تكن هناك سوى مدرسة واحدة من هذا النوع في الدولة، تحت رعاية ملكية. وكانت الكتب نادرة وباهظة الثمن، وكان اقتناؤها واجبًا ملكيًا.

يُخبر أبولونيوس في مقدمته للكتاب الأول إيوديموس أن الكتب الأربعة الأولى تناولت تطور العناصر، بينما تناولت الكتب الأربعة الأخيرة مواضيع خاصة. ويُذكّر أبولونيوس إيوديموس بأن كتاب المخروطيات كان قد طُلب في البداية من قبل نوكراتيس، وهو عالم هندسة وضيف في الإسكندرية لم يكن معروفًا في التاريخ. وقد زوّد أبولونيوس نوكراتيس بالمسودة الأولى للكتب الثمانية، لكنه وصفها بأنها "غير منقحة بدقة"، وكان ينوي التحقق منها وتصحيحها، ونشر كل كتاب منها عند اكتماله.

بعد أن سمع أوديموس هذه الخطة من أبولونيوس نفسه، الذي زار بيرغامون، أصرّ على أن يرسل له أبولونيوس كل كتاب قبل إصداره. في ذلك الوقت، كان أبولونيوس على الأرجح لا يزال عالم هندسة شابًا، والذي، وفقًا لبابوس، أقام في الإسكندرية مع تلاميذ إقليدس (بعد زمن إقليدس بفترة طويلة)، وربما كانت هذه المرحلة الأخيرة من تعليمه. وربما كان أوديموس مرشدًا لأبولونيوس خلال فترة إقامته في بيرغامون.

توجد فجوة بين المقدمتين الأولى والثانية. أرسل أبولونيوس ابنه، الذي يحمل نفس الاسم، لتسليم المقدمة الثانية. يتحدث أبولونيوس بثقة أكبر، مقترحًا على يوديموس استخدام الكتاب في حلقات دراسية متخصصة. يذكر أبولونيوس لقاءه بفيلونيدس اللاوديقي ، عالم الهندسة الذي عرّفه على يوديموس في أفسس ، والذي أصبح تلميذًا له. عاش فيلونيدس في سوريا بشكل رئيسي خلال النصف الأول من القرن الثاني قبل الميلاد. يبقى ما إذا كان هذا اللقاء يشير إلى أن أبولونيوس كان يقيم آنذاك في أفسس أمرًا غير محسوم؛ فقد كان المجتمع الفكري في حوض البحر الأبيض المتوسط ​​عالميًا، وكان العلماء في هذا "العصر الذهبي للرياضيات" يسعون إلى العمل دوليًا، ويتبادلون الزيارات، ويقرؤون أعمال بعضهم البعض، ويقدمون الاقتراحات، ويرشحون الطلاب، ويتواصلون عبر نوع من الخدمات البريدية. الرسائل الباقية وفيرة.

يذكر أبولونيوس في مقدمة الكتاب الرابع أن مقدمة الكتاب الثالث مفقودة، وأن يوديموس توفي خلال تلك الفترة. أما مقدمات الكتب من الرابع إلى السابع فهي أكثر رسمية، مجرد ملخصات تحذف المعلومات الشخصية. جميعها موجهة إلى شخص غامض يُدعى أتالوس، وهو اختيار، كما يقول أبولونيوس، "بسبب رغبتك الشديدة في امتلاك مؤلفاتي". من المفترض أن أتالوس كان شخصية مهمة لتلقي مخطوطات أبولونيوس . إحدى النظريات تقول إن أتالوس هو أتالوس الثاني فيلادلفوس (220-138 قبل الميلاد)، القائد العسكري والمدافع عن بيرغامون، الذي كان شقيقه يومينس الثاني ملكًا، وأصبح وصيًا مشاركًا بعد مرض شقيقه عام 160 قبل الميلاد، ثم اعتلى العرش عام 158 قبل الميلاد. كان الشقيقان راعيين للفنون، ووسعا المكتبة لتصبح ذات شأن عالمي. كان أتالوس معاصرًا لفيلونيدس، ويتوافق دافع أبولونيوس مع مبادرة أتالوس في جمع الكتب.

في مقدمة الكتاب السابع، يصف أبولونيوس الكتاب الثامن بأنه "ملحق... سأحرص على إرساله إليكم بأسرع وقت ممكن". لا يوجد أي سجل يُثبت إرساله، وربما يكون أبولونيوس قد توفي قبل إتمامه. مع ذلك، فقد قدّم بابوس الإسكندري بعض المعاني الأساسية له، مما يدل على أنه كان متداولًا بشكل أو بآخر.

يستخدم النص اليوناني لكتاب "المخروطيات " الترتيب الإقليدي للتعريفات والأشكال وأجزائها؛ أي "المعطيات"، متبوعةً بالقضايا "التي يجب إثباتها". تعرض الكتب من الأول إلى السابع 387 قضية. يمكن ملاحظة هذا النوع من الترتيب في أي كتاب حديث في الهندسة يتناول الموضوع التقليدي. وكما هو الحال في أي مقرر رياضيات، فإن المادة كثيفة للغاية، وبالتالي فإن دراستها تتطلب بطءاً. وضع أبولونيوس خطة لكل كتاب، موصوفة جزئياً في المقدمات . أما العناوين، أو المؤشرات إلى الخطة، فهي قليلة نوعاً ما، إذ اعتمد أبولونيوس بشكل أكبر على التسلسل المنطقي للمواضيع.

الكتاب الأول

يُقدّم الكتاب الأول 58 قضية. ويتمثل محتواه الأبرز في التعريفات الأساسية المتعلقة بالمخاريط والقطوع المخروطية. هذه التعريفات لا تتطابق تمامًا مع التعريفات الحديثة لنفس الكلمات. فمن الناحية الاشتقاقية، تُشتق الكلمات الحديثة من الكلمات القديمة، ولكن غالبًا ما يختلف الأصل اللغوي في معناه عن معناه الأصلي .

يتولد السطح المخروطي من خلال دوران قطعة مستقيمة حول نقطة منصفها بحيث ترسم نقاط النهاية دوائر ، كل منها في مستواها الخاص . المخروط ، وهو أحد فروع السطح المخروطي المزدوج، هو السطح الذي له نقطة ( الرأس أو القمة )، ودائرة ( القاعدة )، ومحور، وهو خط يصل بين الرأس ومركز القاعدة.

المقطع (من اللاتينية sectio ، ومن اليونانية tome ) هو "قطع" وهمي للمخروط بواسطة مستوى .

• الفرضية 1.3: "إذا قُطع مخروط بمستوى يمر برأسه، فإن المقطع يكون مثلثًا." في حالة المخروط المزدوج، يكون المقطع مثلثين بحيث تكون الزوايا عند الرأس زوايا متقابلة بالرأس .
• تنص القضية I.4 على أن مقاطع المخروط الموازية للقاعدة هي دوائر تقع مراكزها على المحور. ^{[ ب ]}
• تُعرّف القضية I.13 القطع الناقص، الذي يُتصوّر على أنه قطع مخروط واحد بمستوى مائل على مستوى قاعدته، ويتقاطع مع هذا المستوى بخط عمودي على قطر القاعدة الممتد خارج المخروط (غير موضح). يجب أن تكون زاوية المستوى المائل أكبر من الصفر، وإلا سيكون المقطع دائرة. ويجب أن تكون أقل من زاوية القاعدة المناظرة للمثلث المحوري، حيث يصبح الشكل قطعًا مكافئًا.
• تحدد القضية I.11 القطع المكافئ. مستواه موازٍ لأحد أضلاع السطح المخروطي للمثلث المحوري.
• تحدد القضية I.12 القطع الزائد. مستواه موازٍ للمحور. يقطع كلا المخروطين من الزوج، وبالتالي يكتسب فرعين متميزين (يظهر واحد فقط).

إن عبارة "تطبيق المساحات" تتساءل ضمنيًا، عند إعطاء مساحة وقطعة مستقيمة، هل تنطبق هذه المساحة؟ أي هل تساوي مربع القطعة المستقيمة؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فقد تم إثبات قابلية التطبيق (القطع المكافئ). وقد اتبع أبولونيوس إقليدس في سؤاله عما إذا كان المستطيل الواقع على الإحداثي السيني لأي نقطة على المقطع ينطبق على مربع الإحداثي الصادي . ^{[ 7 ]} إذا كان الأمر كذلك، فإن معادلته اللفظية تعادل${\textstyle y^{2}=kx}$وهي إحدى الصيغ الحديثة لمعادلة القطع المكافئ . للمستطيل أضلاع${\displaystyle k}$و${\displaystyle x}$. هو الذي أطلق على الشكل، القطع المكافئ، اسم "التطبيق".

تنقسم حالة "عدم التطبيق" إلى احتمالين. بالنظر إلى دالة،${\textstyle f(x)}$بحيث أنه في حالة التطبيق،${\textstyle y^{2}=g(x)}$في حالة عدم الانطباق، إما${\textstyle y^{2}>g(x)}$أو${\textstyle y^{2}<g(x)}$في الحالة الأولى،${\displaystyle g(x)}$لا يرقى إلى مستوى${\textstyle y^{2}}$بكمية تُسمى الحذف ، أو "العجز". في الحالة الأخيرة،${\displaystyle g(x)}$يتجاوز بمقدار يسمى المبالغة ، "الفائض".

يمكن تحقيق قابلية التطبيق بإضافة العجز،${\textstyle y^{2}=f(x)=g(x)+d,}$أو بطرح الفائض،${\displaystyle g(x)-s.}$يُطلق على الشكل الذي يُعوض عن النقص اسم القطع الناقص، وعلى الشكل الذي يُعوض عن الفائض اسم القطع الزائد. ^{[ ج ]} تعتمد حدود المعادلة الحديثة على إزاحة الشكل وتدويره من نقطة الأصل، ولكن المعادلة العامة للقطع الناقص،

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=C}$

يمكن وضعها في النموذج

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

أين${\displaystyle C/B}$يمثل العجز، بينما تمثل معادلة القطع الزائد،

${\displaystyle Ax^{2}-By^{2}=C}$

يصبح

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}}$

أين${\displaystyle C/B}$هو الإفراط. ^{[ د ]}

سعى برنامج "قطع النسبة" إلى حل مشكلة بسيطة: إذا كان لدينا خطان مستقيمان ونقطة في كل منهما، نرسم خطًا مستقيمًا يمر بنقطة ثالثة معطاة ويقطع الخطين الثابتين بحيث تكون الأجزاء المقطوعة بين النقاط المعطاة فيهما ونقاط التقاطع مع هذا الخط الثالث بنسبة معينة. ^{[ 8 ]}

لا تزال مخطوطة "Cutting off a Ratio" موجودة في مخطوطة عربية غير منشورة محفوظة في مكتبة بودليان بأكسفورد. اكتشفها إدوارد برنارد وترجمها جزئيًا، لكن وفاته حالت دون ذلك. أُهديت المخطوطة إلى إدموند هالي ، الأستاذ وعالم الفلك والرياضيات والمستكشف، الذي سُمي مذنب هالي تيمنًا به لاحقًا. ولعدم قدرته على فك رموز النص المحرف، تخلى عنه. لاحقًا، أعاد ديفيد غريغوري (عالم الرياضيات) صياغة النص العربي لهنري ألدريتش ، الذي أعاده بدوره إلى هالي. مؤلف المخطوطة العربية غير معروف. واستنادًا إلى قولٍ بأنها كُتبت تحت رعاية المأمون ( ألمامون باللاتينية)، عالم الفلك وخليفة بغداد عام 825، يُؤرخ هالي كتابها إلى عام 820 في "مقدمة للقارئ" (Praefatio ad Lectorem).

إلى جانب كتاب "القطوع المخروطية" و "قطع النسبة"، يذكر بابوس أطروحات أخرى لأبولونيوس:

• قطع منطقة ( اليونانية القديمة : Χωρίου ἀποτομή ، اللاتينية : De Spatii sectione )
• القسم المحدد ( اليونانية القديمة : Διωρισμένη τομή ، اللاتينية : De sectione Determinata )
• التماس ( اليونانية القديمة : Ἐπαφαί ، اللاتينية : De Tactionibus ) ^{[ 13 ]}
• نيوسيس ( اليونانية القديمة : Νεύσεις ، اللاتينية : De Inclinationibus )
• موضع الطائرة ( اليونانية القديمة : Τόποι ἐπίπεδοι ، اللاتينية : De Locis Planis )

قُسِّم كلٌّ من هذه الكتب إلى كتابين، واعتُمد - مع كتاب البيانات ، وكتاب المسامات ، وكتاب المواضع السطحية لإقليدس، وكتاب المخروطيات لأبولونيوس - ضمن صلب التحليل القديم، وفقًا لبابوس. ^{[ 8 ]} وفيما يلي وصفٌ للأعمال الستة المذكورة أعلاه.

يشير الكتّاب القدماء إلى أعمال أخرى لأبولونيوس لم تعد موجودة:

• Περὶ τοῦ πυρίου، على الزجاج المحترق ، أطروحة ربما تستكشف الخصائص البؤرية للقطع المكافئ
• Περὶ τοῦ κοχлίου، على الحلزون الأسطواني (ذكره بروكلس)
• مقارنة بين المجسم ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم ذي العشرين وجهًا المرسومين داخل نفس الكرة
• Ἡ καθόлου πραγματεία، عمل حول المبادئ العامة للرياضيات والتي ربما تضمنت انتقادات واقتراحات أبولونيوس لتحسين عناصر إقليدس
• Ὠκυτόκιον ("الولادة السريعة")، حيث أوضح أبولونيوس، وفقًا لإيوتوكيوس، كيفية إيجاد حدود أدق لقيمة π من تلك التي وضعها أرخميدس ، الذي حسب 3 + 1/7 كحد أعلى و 3 + 10/71 كحد أدنى
• عمل حسابي ذكره بابوس حول نظام للتعبير عن الأعداد الكبيرة بلغة أكثر شيوعًا من لغة كتاب أرخميدس "حساب الرمال"، ولضرب هذه الأعداد الكبيرة.
• امتداد كبير لنظرية الأعداد غير النسبية التي شرحها إقليدس في الكتاب العاشر، من ذات الحدين إلى متعددة الحدود ومن الأعداد غير النسبية المرتبة إلى غير المرتبة (انظر مقتطفات من تعليق بابوس على إقليدس الكتاب العاشر، المحفوظة باللغة العربية والمنشورة بواسطة ووبكه ، 1856). ^{[ 8 ]}

يُنسب إلى أبولونيوس تكافؤ وصفين لحركة الكواكب، أحدهما باستخدام المدارات اللامركزية والآخر باستخدام المدارات الحاملة والدوران التدويري . وقد وصف بطليموس هذا التكافؤ في كتاب المجسطي .

يستخدم هيث مصطلح الجبر الهندسي للإشارة إلى أساليب العصر الذهبي بأكمله. ^{[ ح ]} وقد عرّف هنري بورشارد فاين هذا المصطلح عام ١٨٩٠ أو قبل ذلك، حيث طبّقه على كتاب "الهندسة" لرينيه ديكارت ، وهو أول عمل متكامل في الهندسة التحليلية . ^{[ ١٦ ]} ويؤكد فاين، مشترطًا أن "يكون جبريان متطابقين شكليًا وأن تكون عملياتهما الأساسية متطابقة شكليًا"، أن عمل ديكارت "ليس  مجرد جبر عددي، بل ما يمكن تسميته، لعدم وجود اسم أفضل، بجبر القطع المستقيمة. ورمزيته هي نفسها رمزية الجبر العددي؛  ...".

على سبيل المثال، في معادلة أبولونيوس، يُمثل الخط المستقيم AB (الخط الواصل بين النقطتين A وB) الطول العددي للخط. ويمكن أن يكون له أي طول. وبالتالي، يُصبح AB بمثابة متغير جبري ، مثل x (المجهول)، الذي يمكن إسناد أي قيمة له؛ على سبيل المثال، x = 3.

تُعرَّف المتغيرات عند أبولونيوس بعبارات لفظية مثل "ليكن AB المسافة من أي نقطة على المقطع إلى القطر"، وهو أسلوب لا يزال مُتبعًا في الجبر حتى اليوم. يجب على كل طالب في الجبر الأساسي أن يتعلم تحويل "المسائل اللفظية" إلى متغيرات ومعادلات جبرية، تُطبَّق عليها قواعد الجبر لإيجاد قيمة x . لم يكن لدى أبولونيوس مثل هذه القواعد، فحلوله هندسية.

كانت العلاقات التي لا يمكن إيجاد حلول تصويرية لها بسهولة خارج نطاق فهمه؛ ومع ذلك، فقد استقى مخزونه من الحلول التصويرية من مجموعة من الحلول الهندسية المعقدة غير المعروفة (أو المطلوبة) عمومًا اليوم. ومن الاستثناءات المعروفة نظرية فيثاغورس التي لا غنى عنها ، والتي لا تزال تُمثَّل حتى الآن بمثلث قائم الزاوية ذي مربعات على أضلاعه لتوضيح تعبير مثل ^a² + b² ⁼ c² ^. أطلق علماء الهندسة اليونانيون على هذه المصطلحات اسم "المربع على AB"، وما إلى ذلك. وبالمثل، كانت مساحة المستطيل المُشكَّل من AB وCD هي "المستطيل على AB وCD".

أتاحت هذه المفاهيم لعلماء الهندسة اليونانيين الوصول الجبري إلى الدوال الخطية والتربيعية ، والتي تُعدّ القطوع المخروطية من ضمنها. تحتوي هذه القطوع على قوى العدد 1 أو 2 على التوالي. لم يكن أبولونيوس مهتمًا كثيرًا بالمكعبات (الموجودة في الهندسة الفراغية )، على الرغم من أن المخروط مجسم. انصبّ اهتمامه على القطوع المخروطية، وهي أشكال مستوية. كانت قوى العدد 4 وما فوقها عصية على التصور، مما يتطلب درجة من التجريد غير متوفرة في الهندسة، ولكنها متاحة بسهولة في الجبر.

إن جميع القياسات العادية للأطوال بوحدات عامة، كالبوصة، باستخدام أدوات عامة قياسية كالمسطرة، تستلزم اعترافًا عامًا بشبكة ديكارتية ؛ أي سطح مقسم إلى مربعات وحدة، مثل بوصة مربعة واحدة، ومساحة مقسمة إلى مكعبات وحدة، مثل بوصة مكعبة واحدة. وقد وفرت وحدات القياس اليونانية القديمة هذه الشبكة للرياضيين اليونانيين منذ العصر البرونزي. قبل أبولونيوس، بدأ مينايخموس وأرخميدس بالفعل في تحديد مواقع أشكالهم على نافذة ضمنية من الشبكة المشتركة بالإشارة إلى المسافات التي يُفترض قياسها من خط رأسي على اليسار يُمثل قياسًا منخفضًا، وخط أفقي سفلي يُمثل قياسًا منخفضًا أيضًا، حيث تكون الاتجاهات مستقيمة، أي متعامدة. [ ^{17 ] تُصبح} حواف هذه النافذة، في نظام الإحداثيات الديكارتية ، المحاور. ويُحدد المرء المسافات المستقيمة لأي نقطة من المحاور كإحداثيات . لم يكن لدى اليونانيين القدماء هذا الاصطلاح، بل كانوا يشيرون ببساطة إلى المسافات.

يستخدم أبولونيوس نافذة قياسية لوضع أشكاله. ويُقاس الارتفاع عموديًا من خط أفقي يُطلق عليه اسم "القطر". الكلمة نفسها في اليونانية والإنجليزية، لكن معناها في اليونانية أوسع. ^{[ 18 ]} إذا قُطع شكل القطع المخروطي بشبكة من الخطوط المتوازية، فإن القطر يُنصف جميع القطع المستقيمة الواقعة بين فروع الشكل. ويجب أن يمر عبر الرأس (koruphe، أي "التاج"). وهكذا، يشمل القطر الأشكال المفتوحة كالقطع المكافئ، وكذلك الأشكال المغلقة كالدائرة. لا يوجد شرط بأن يكون القطر عموديًا على الخطوط المتوازية، لكن أبولونيوس يستخدم الخطوط المستقيمة فقط.

تُسمى المسافة المستقيمة من نقطة على المقطع إلى القطر في اليونانية "تيتاغمنوس"، وتعني ببساطة "ممتد". ولأنها تُمدد إما "للأسفل" (كاتا-) أو "للأعلى" (أنا-)، يُفسرها المترجمون على أنها الإحداثي . في هذه الحالة، يصبح القطر هو المحور السيني، وتصبح الرأس هي نقطة الأصل. ثم يصبح المحور الصادي مماسًا للمنحنى عند الرأس. ويُعرف الإحداثي السيني بأنه قطعة القطر الواقعة بين الإحداثي والرأس.

باستخدام نسخته من نظام الإحداثيات، تمكن أبولونيوس من تطوير المكافئات الهندسية لمعادلات القطوع المخروطية في شكل تصويري، مما يثير التساؤل حول ما إذا كان نظام إحداثياته ​​يُعتبر نظامًا ديكارتيًا. ثمة بعض الاختلافات. يُعتبر النظام الديكارتي نظامًا عالميًا، يشمل جميع الأشكال في جميع الفضاءات المطبقة قبل إجراء أي عملية حسابية. يتكون من أربعة أرباع مقسمة بواسطة محورين متقاطعين. ثلاثة من هذه الأرباع تتضمن إحداثيات سالبة، أي اتجاهات معاكسة لمحاور الإسناد الصفرية.

لا يستخدم أبولونيوس الأعداد السالبة، ولا يُعرّف الصفر بشكل صريح، ولا يُطوّر نظام الإحداثيات بمعزل عن القطوع المخروطية. فهو يعمل بشكل أساسي في الربع الأول فقط، أي جميع الإحداثيات الموجبة. ولذلك يقول كارل بوير، المؤرخ الحديث للرياضيات: ^{[ 19 ]}

ومع ذلك، لم يسمح الجبر الهندسي اليوناني بالقيم السالبة؛ علاوة على ذلك، كان نظام الإحداثيات في كل حالة يُفرض لاحقًا على منحنى معين لدراسة خصائصه .... فشل أبولونيوس، أعظم مهندسي العصور القديمة، في تطوير الهندسة التحليلية ....

مع ذلك، ووفقًا لبوير، فإن معالجة أبولونيوس للمنحنيات تُشابه إلى حدٍ ما المعالجة الحديثة، ويبدو أن عمله يستبق الهندسة التحليلية . ^{[ 19 ]} يحتل أبولونيوس مكانةً وسيطةً بين نظام الشبكة للقياس التقليدي ونظام الإحداثيات الديكارتية المتطور بالكامل للهندسة التحليلية. عند قراءة أعمال أبولونيوس، يجب توخي الحذر من افتراض المعاني الحديثة لمصطلحاته.

يستخدم أبولونيوس "نظرية النسب" كما وردت في كتاب إقليدس " الأصول " ، الكتابين الخامس والسادس. هذه النظرية، التي وضعها إيدوكسوس الكنيدي ، تقع بين الأساليب البيانية البحتة ونظرية الأعداد الحديثة. ويفتقر هذا النظام إلى نظام عشري معياري، كما يفتقر إلى معالجة موحدة للكسور. ومع ذلك، تُعبّر القضايا الواردة فيها لفظيًا عن قواعد التعامل مع الكسور في الحساب. ويقترح هيث أنها تحل محل الضرب والقسمة. ^{[ 20 ]}

كان إيدوكسوس يأمل من خلال مصطلح "المقدار" أن يتجاوز الأرقام إلى معنى عام للحجم، وهو المعنى الذي لا يزال قائماً. أما فيما يتعلق برسومات إقليدس، فغالباً ما تعني الأرقام، وهو ما كان يُمثل المنهج الفيثاغورسي. فقد اعتقد فيثاغورس أن الكون يُمكن وصفه بالكميات، وهو اعتقاد أصبح اليوم من المسلّمات العلمية. يبدأ الكتاب الخامس من كتاب إقليدس بالتأكيد على أن المقدار (megethos، "الحجم") يجب أن يكون قابلاً للقسمة بالتساوي على وحدات (meros، "الجزء"). وبالتالي، فإن المقدار هو مُضاعف للوحدات. ولا يشترط أن تكون هذه الوحدات وحدات قياس معيارية، مثل المتر أو القدم. يُمكن أن تكون الوحدة الواحدة أي قطعة مستقيمة مُحددة.

فيما يلي ربما التعريف الأساسي الأكثر فائدة الذي وُضع في العلوم: النسبة (من اليونانية logos ، وتعني تقريبًا "تفسير") هي بيان للحجم النسبي. إذا أُعطيت مقداران، ولنقل لقطعتين مستقيمتين AB وCD، فإن نسبة AB إلى CD، حيث تُعتبر CD وحدة القياس، هي عدد أجزاء CD في AB؛ على سبيل المثال، 3 أجزاء من 4، أو 60 جزءًا في المليون، حيث لا يزال مصطلح جزء في المليون (ppm) يستخدم مصطلح "الأجزاء". النسبة هي أساس الكسر الحديث، الذي لا يزال يعني أيضًا "جزء" أو "شظية"، من نفس الجذر اللاتيني لكلمة fracture. النسبة هي أساس التنبؤ الرياضي في البنية المنطقية المسماة "التناسب" (من اليونانية analogos). ينص التناسب على أنه إذا كانت قطعتان مستقيمتان، AB وCD، لهما نفس النسبة لقطعتين أخريين، EF وGH، فإن AB وCD متناسبتان مع EF وGH، أو كما كان يُقال في إقليدس، فإن AB إلى CD كـ EF إلى GH.

يُختزل هذا المفهوم العام في الجبر إلى التعبير AB/CD = EF/GH. بمعرفة أي ثلاثة حدود، يمكن حساب الحد الرابع كمجهول. بإعادة ترتيب المعادلة السابقة، نحصل على AB = (CD/GH)•EF، حيث يُعرف CD/GH، المُعبَّر عنه بالصيغة y = kx، باسم "ثابت التناسب". لم يجد الإغريق صعوبة تُذكر في أخذ المضاعفات (باليونانية pollaplasiein)، ربما عن طريق الجمع المتتالي.

يستخدم أبولونيوس النسب بشكل شبه حصري لقطع الخطوط والمساحات، والتي يُرمز إليها بالمربعات والمستطيلات. وقد اعتمد المترجمون على رمز النقطتين الرأسيتين الذي قدمه لايبنتز في كتابه "أكتا إيروديتوروم" عام 1684. ^{[ 21 ]} إليكم مثالًا من كتاب "المخروطيات" ، الكتاب الأول، حول القضية 11:

الترجمة الحرفية للنص اليوناني: ليكن (المربع) في BC بالنسبة إلى (المستطيل) في BAC كما هو الحال بالنسبة إلى FH بالنسبة إلى FA

ترجمة تاليافيرو: "فليكن من المفترض أن المربع BC  : المستطيل BA.AC  :: FH  : FA"

المكافئ الجبري: BC² ^/ BA•BC = FH/FA

في القرن الرابع، كتب سيرينوس من أنتينوبوليس تعليقًا على المخروطيات ، والذي فُقد، إلى جانب عملين أقصر لا يزالان موجودين حول أجزاء من المخروطيات: في مقطع الأسطوانة وفي مقطع المخروط .

في القرن السادس، كتب يوتوسيوس الأسكالوني تعليقًا على الكتب من الأول إلى الرابع من كتاب المخروطيات ، وهو موجود حتى الآن.

في القرن التاسع، كلف بنو موسى بترجمة عربية لكتاب المخروطيات . ^{[ 4 ]}

طُبعت الكتب من الأول إلى الرابع من كتاب أبولونيوس "المخروطيات" لأول مرة باللاتينية عام ١٥٦٦. وفي عام ١٦٢٦، اكتشف جاكوبوس غوليوس نسخة باقية من الترجمة العربية للكتابين الخامس والسادس، والتي تبرع بها لاحقًا لمكتبة بودليان (كانت في الأصل مخطوطة مارش ٦٠٧، مؤرخة عام ١٠٧٠). ^{[ ٢٢ ]} بتشجيع من نجاح ترجمته للنص العربي المنقح لديفيد غريغوري لكتاب " قطع نسبة" ، الذي نُشر عام ١٧٠٦، شرع هالي في ترميم وترجمة كتاب أبولونيوس " المخروطيات " بالكامل إلى اللاتينية ، بما في ذلك إعادة بناء الكتاب الثامن من ملخص بابوس. في عمل هالي، تظهر الكتب من الأول إلى الرابع مع النص اليوناني في عمود، والنص اللاتيني لهالي في عمود موازٍ، بينما تُقدم الترجمة اللاتينية فقط للكتب من الخامس إلى السابع. وقد طُبعت إعادة بناء هالي باللاتينية.

خلال القرنين السادس عشر والثامن عشر، لم يُكتب سوى القليل من المواد باللغة الإنجليزية حول القطوع المخروطية ، لأن علماء الرياضيات الإنجليز، مثل إدموند هالي وإسحاق نيوتن، فضلوا اللغة اللاتينية الحديثة. وفي القرون اللاحقة، أُعيد تأسيس الهندسة باستخدام الإحداثيات ( الهندسة التحليلية )، وتراجعت شعبية الأساليب التركيبية، مما أدى إلى انخفاض التأثير المباشر للقطوع المخروطية على البحث الرياضي.

بدأت العروض التقديمية المكتوبة بالكامل باللغة الإنجليزية الأصلية في أواخر القرن التاسع عشر.

• ترجمة توماس هيث عام 1896 لكتاب "رسالة في القطوع المخروطية" . يتضمن تعليقه التمهيدي عناصر مثل معجم المصطلحات الهندسية الأبولونية، مع ذكر المصطلحات اليونانية ومعانيها واستخداماتها. كما عدّل هيث تنظيم النص، وأضاف رموزًا حديثة. ^{[ 23 ]}
• في عام 1941، قام إيفور توماس بترجمة أجزاء من كتاب المخروطيات الأول التي تحدد الأقسام كجزء من طبعته المكونة من مجلدين عن الرياضيات اليونانية القديمة لمكتبة لوب الكلاسيكية
• ترجم ر. كاتسبي تاليافيرو كتاب "المخروطيات" عام ١٩٥٢، ضمن سلسلة "الكتب العظيمة للعالم الغربي" الصادرة عن موسوعة بريتانيكا . يضم هذا العمل الكتب من الأول إلى الثالث فقط، مع ملحق يتناول مواضيع خاصة (صدرت ترجمة للكتاب الرابع من "المخروطيات" لمايكل ن. فريد عام ٢٠٠٢). وعلى عكس هيث، لم يحاول تاليافيرو إعادة تنظيم أعمال أبولونيوس، ولو بشكل سطحي، أو إعادة كتابتها. تتبع ترجمته إلى الإنجليزية الحديثة النص اليوناني بدقة إلى حد كبير، مع استخدامه للرموز الهندسية الحديثة إلى حد ما.

• بيرجايوس، أبولونيوس (1566). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus، et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri duo... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit، & commentariis illustrauit (باللغة اليونانية القديمة واللاتينية). بونونيا: Ex officina Alexandri Benatii.عرض للكتب الأربعة الأولى من كتاب المخروطيات باللغة اليونانية بقلم فريدريكوس كوماندينوس مع ترجمته الخاصة إلى اللاتينية وتعليقات بابوس الإسكندري ، وإيوتوكيوس الأسكالوني، وسيرينوس الأنتينوبليس .
• أبولونيوس. بارو، أنا (1675). أبولوني كونيكا: طريقة جديدة مصورة، وموجزة توضيحية (باللاتينية). لونديني: إكسكديبات جيل. الحمد لله، صوت لروبرتوم سكوت، في فيكو Little Britain.ترجمة بارو للكتب الأربعة الأولى من كتاب "المخروطيات" من اليونانية القديمة إلى اللاتينية الحديثة . النسخة المرفقة هنا، الموجودة في مكتبة بوسطن العامة ، كانت ملكاً لجون آدامز .
• أبولونيوس. بابوس ؛ هالي، إي. (1706). Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo: Ex Arabo ms. النسخة اللاتينية. Accedunt ejusdem de sectione spacei libri duo restituti (باللاتينية). أوكسوني.
• أبولونيوس. ألكسندرينوس بابوس ؛ الأماكن القريبة : يوتوكيوس ؛ سيرينوس (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De sectione cylindri & coni libri duo (PDF) (باللغة اللاتينية واليونانية القديمة). أوكسونيا: ومسرح شيلدونيانو.
• هيث، توماس ليتل ، محرر (1896). رسالة في القطوع المخروطية، محررة بالترميز الحديث . مطبعة جامعة كامبريدج.
• فريد، مايكل ن.، محرر. (2013). أبولونيوس البرغي المخروطي: الكتب من الأول إلى الرابع . ترجمة تاليافيرو، ر. كاتسبي؛ فريد، مايكل ن. سانتا فيه، نيو مكسيكو: دار غرين ليون للنشر. ISBN 978-1-888009-41-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 مايو 2025 .
• تومر، جيرالد ج. ، محرر (1990). أبولونيوس: المخروطيات: الكتب من الخامس إلى السابع . مصادر في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. المجلد  9. نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4613-8985-9 . ISBN 978-1-4613-8987-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 مايو 2025 .

• توماس، إيفور (1953). مختارات توضح تاريخ الرياضيات اليونانية . مكتبة لوب الكلاسيكية . المجلد  الثاني: من أريستارخوس إلى بابوس. كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد.