التوزيع التقاربي

في الرياضيات والإحصاء ، يُعرف التوزيع التقاربي بأنه توزيع احتمالي يمثل ، بمعنى ما ، التوزيع النهائي لسلسلة من التوزيعات. ومن أهم استخدامات فكرة التوزيع التقاربي توفير تقريبات لدوال التوزيع التراكمي للمُقدِّرات الإحصائية .

تُقابل سلسلة التوزيعات سلسلة من المتغيرات العشوائية Z _i لـ${\displaystyle i=1,2,\dots }$في أبسط الحالات، يوجد توزيع تقاربي إذا تقارب التوزيع الاحتمالي لـ _Zᵢ إلى توزيع احتمالي (التوزيع التقاربي) مع ازدياد قيمة i : انظر التقارب في التوزيع . وتُعد المتتالية حالة خاصة من التوزيع التقاربي.${\displaystyle Z_{i}}$يتقارب التوزيع نحو الصفر. هنا، يكون التوزيع التقاربي توزيعًا منحطًا يتركز عند الصفر.

ومع ذلك، فإن المعنى الأكثر شيوعًا لاستخدام مصطلح التوزيع التقاربي يظهر عندما يتم تعديل المتغيرات العشوائية Z _i بواسطة سلسلتين من القيم غير العشوائية. وبالتالي إذا

${\displaystyle Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}}$

إذا تقاربت دالة التوزيع في Z i إلى توزيع غير منحل لمتتاليتين { a _i } و { b _i }، يُقال إن Z _i لها هذا التوزيع كتوزيع تقاربي. إذا كانت دالة التوزيع للتوزيع التقاربي هي F ، فإن التقريبات التالية صحيحة لقيم n الكبيرة :

${\displaystyle P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),}$

${\displaystyle P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).}$

إذا وُجد توزيع تقاربي، فليس بالضرورة أن تكون أي نتيجة من نتائج سلسلة المتغيرات العشوائية سلسلة متقاربة من الأرقام. إنما سلسلة التوزيعات الاحتمالية هي التي تتقارب.

لعلّ التوزيع الأكثر شيوعًا الذي يظهر كتوزيع تقاربي هو التوزيع الطبيعي . وعلى وجه الخصوص، تُقدّم نظرية النهاية المركزية مثالًا يكون فيه التوزيع التقاربي هو التوزيع الطبيعي .

نظرية النهاية المركزية

يفترض${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\dots \}}$هي سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع مع${\displaystyle \mathrm {E} [X_{i}]=\mu }$و${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$. يترك${\displaystyle S_{n}}$ليكن متوسط${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ثم كما${\displaystyle n}$عندما تقترب المتغيرات العشوائية من اللانهاية${\displaystyle {\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )}$تتقارب في التوزيع إلى التوزيع الطبيعي${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$: ^{[ 1 ]}

لا تُعطي نظرية النهاية المركزية سوى التوزيع التقاربي. وباعتبارها تقريبًا لعدد محدود من المشاهدات، فإنها تُقدّم تقريبًا معقولًا فقط عندما تكون قريبة من ذروة التوزيع الطبيعي؛ إذ تتطلب عددًا كبيرًا جدًا من المشاهدات لتمتد إلى الأطراف.

• التحليل التقاربي
• النظرية التقاربية (الإحصاء)
• نظرية دي مويفر-لابلاس
• الكثافة الحدية للنقاط المنفصلة
• طريقة دلتا