النظرية التقريبية (الإحصاء)

في الإحصاء ، تُعد النظرية التقريبية ، أو نظرية العينة الكبيرة ، إطارًا لتقييم خصائص المقدرين والاختبارات الإحصائية . وفي هذا الإطار، غالبًا ما يُفترض أن حجم العينة n قد ينمو إلى ما لا نهاية؛ ثم يتم تقييم خصائص المقدرين والاختبارات تحت حد n → ∞ . وفي الممارسة العملية، يُعتبر تقييم الحد صالحًا تقريبًا لأحجام العينات المحدودة الكبيرة أيضًا. ^[1]

تبدأ معظم المشكلات الإحصائية بمجموعة بيانات بحجم n . تتقدم النظرية المقاربة بافتراض أنه من الممكن (من حيث المبدأ) الاستمرار في جمع بيانات إضافية، وبالتالي فإن حجم العينة ينمو بلا حدود، أي n → ∞ . تحت هذا الافتراض، يمكن الحصول على العديد من النتائج غير المتاحة للعينات ذات الحجم المحدود. أحد الأمثلة على ذلك هو قانون الأعداد الكبيرة الضعيف . ينص القانون على أنه بالنسبة لتسلسل من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق (IID) X ₁ و X ₂ و ... ، إذا تم رسم قيمة واحدة من كل متغير عشوائي وتم حساب متوسط ​​أول n قيمة على أنه X _n ، فإن X _n تتقارب في الاحتمالية مع متوسط ​​السكان E[ X _i ] على أنه n → ∞ . ^[2]

في النظرية المقاربة، النهج القياسي هو n → ∞ . بالنسبة لبعض النماذج الإحصائية ، قد يتم استخدام طرق مقاربة مختلفة قليلاً. على سبيل المثال، مع بيانات اللوحة ، من المفترض عادةً أن بُعدًا واحدًا في البيانات يظل ثابتًا، بينما ينمو البعد الآخر: T = ثابت و N → ∞ ، أو العكس. ^[2]

بالإضافة إلى النهج القياسي للمقاربات المقاربة، توجد طرق بديلة أخرى:

• في إطار التطبيع المقارب المحلي ، يُفترض أن قيمة "المعلمة الحقيقية" في النموذج تختلف قليلاً مع n ، بحيث يتوافق النموذج n مع θ _n = θ + h / √ n . يتيح لنا هذا النهج دراسة انتظام المقدرين .
• عندما تتم دراسة الاختبارات الإحصائية لمعرفة قدرتها على التمييز بين البدائل القريبة من الفرضية الصفرية، يتم ذلك ضمن إطار ما يسمى "البدائل المحلية": الفرضية الصفرية هي H ₀ : θ = θ ₀ والبديل هو H ₁ : θ = θ ₀ + h / √ n . هذا النهج شائع بشكل خاص لاختبارات الجذر الوحدوي .
• هناك نماذج حيث يتوسع بُعد مساحة المعلمة Θn ببطء مع _n ، مما يعكس حقيقة مفادها أنه كلما زاد عدد الملاحظات، زادت إمكانية دمج التأثيرات الهيكلية في النموذج.
• في تقدير كثافة النواة وانحدار النواة ، يتم افتراض معلمة إضافية - النطاق الترددي h . في هذه النماذج، يُؤخذ عادةً أن h → 0 مثل n → ∞ . يجب اختيار معدل التقارب بعناية، مع ذلك، عادةً h ∝ n ^−1/5 .

في كثير من الحالات، يمكن الحصول على نتائج دقيقة للغاية للعينات المحدودة من خلال الأساليب العددية (أي أجهزة الكمبيوتر)؛ ولكن حتى في مثل هذه الحالات، يمكن أن يكون التحليل المقارب مفيدًا. وقد أوضح سمول هذه النقطة (2010، الفقرة 1.4)، على النحو التالي.

الهدف الأساسي للتحليل المقارب هو الحصول على فهم نوعي أعمق للأدوات الكمية . غالبًا ما تكمل استنتاجات التحليل المقارب الاستنتاجات التي يمكن الحصول عليها بالطرق العددية.

يقال أن سلسلة التقديرات متسقة إذا كانت تتقارب في الاحتمالية مع القيمة الحقيقية للمعلمة التي يتم تقديرها:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.}$

وهذا يعني، تقريبًا مع كمية لا نهائية من البيانات، فإن المقدر (الصيغة المستخدمة في توليد التقديرات) سيعطي بالتأكيد النتيجة الصحيحة للمعلمة التي يتم تقديرها. ^[2]

إذا كان من الممكن إيجاد تسلسلات من الثوابت غير العشوائية { a _n }، { b _n } (ربما اعتمادًا على قيمة θ ₀ )، وتوزيع غير منحط G بحيث

${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta}}_{n}-a_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ G,}$

ثم يقال أن تسلسل المقدرين له التوزيع المقارب G.${\displaystyle \textstyle {\hat {\theta }}_{n}}$

في أغلب الأحيان، تكون المقدرات التي نصادفها في الممارسة العملية طبيعية بشكل مقارب ، مما يعني _أن توزيعها المقارب هو التوزيع الطبيعي ، مع n = θ ₀ و b _n = √ n و G = N (0, V ) :

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta}}_{n}-\theta _{0})\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0, الخامس).}$

• نظرية الحد المركزي
• نظرية رسم الخرائط المستمرة
• نظرية جليفنكو-كانتيلي
• قانون الأعداد الكبيرة
• قانون اللوغاريتم المتكرر
• نظرية سلوتسكي
• طريقة دلتا

• التحليل المقارب
• إحصائيات دقيقة
• نظرية الانحرافات الكبيرة