رقم بيجان

يُستخدم نوعان مختلفان من أرقام بيجان ( Be ) في مجالي الديناميكا الحرارية وميكانيكا الموائع . سُميت أرقام بيجان نسبةً إلى أدريان بيجان .

في مجال الديناميكا الحرارية، يمثل رقم بيجان نسبة اللاعكوسية في انتقال الحرارة إلى اللاعكوسية الكلية الناتجة عن انتقال الحرارة واحتكاك المائع : ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}+{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta p}}}}$

أين

${\displaystyle {\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}}$هل يساهم انتقال الحرارة في توليد الإنتروبيا؟

${\displaystyle {\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta p}}$هل يُعزى توليد الإنتروبيا إلى احتكاك السوائل؟

وقد توصل شيوبا أيضاً إلى العلاقة بين عدد بيجان Be وعدد برينكمان Br

$$$ {1}{1+\mathrm {Br} }}}$

في سياق انتقال الحرارة ، يُعرف عدد بيجان بأنه انخفاض الضغط غير البعدي على طول قناة طولها${\displaystyle L}$: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta p\,L^{2}}{\mu \alpha }}}$

أين

${\displaystyle \mu }$اللزوجة الديناميكية

${\displaystyle \alpha }$هي الانتشارية الحرارية

يلعب رقم Be في الحمل الحراري القسري نفس الدور الذي يلعبه رقم Rayleigh في الحمل الحراري الطبيعي.

في سياق انتقال الكتلة ، يمثل عدد بيجان انخفاض الضغط غير البعدي على طول قناة طولها${\displaystyle L}$: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta p\,L^{2}}{\mu D}}}$

أين

${\displaystyle \mu }$اللزوجة الديناميكية

${\displaystyle D}$هي معامل الانتشار الكتلي

بالنسبة لحالة تشبيه رينولدز (Le = Pr = Sc = 1)، من الواضح أن جميع التعريفات الثلاثة لرقم بيجان هي نفسها.

كذلك، توصل عواد ولاج ^{[ 5 ]} إلى صيغة معدلة لعدد بيجان، الذي اقترحه بهاتاشارجي وغروسهاندلر في الأصل لعمليات الزخم، وذلك باستبدال اللزوجة الديناميكية الواردة في الصيغة الأصلية بحاصل ضرب كثافة المائع ومعامل انتشار الزخم فيه. لا تقتصر ميزة هذه الصيغة المعدلة على كونها أقرب إلى الفيزياء التي تمثلها، بل إنها تعتمد أيضًا على معامل لزوجة واحد فقط. علاوة على ذلك، يسمح هذا التعديل البسيط بتوسيع نطاق عدد بيجان ليشمل عمليات انتشار أخرى، مثل نقل الحرارة أو نقل الأنواع، وذلك ببساطة عن طريق استبدال معامل الانتشار. وبالتالي، يصبح من الممكن تمثيل عدد بيجان بشكل عام لأي عملية تتضمن انخفاض الضغط والانتشار. وقد تبين أن هذا التمثيل العام يعطي نتائج مماثلة لأي عملية تحقق تشابه رينولدز (أي عندما يكون عدد برانتل Pr = عدد سكاندسكي Sc = 1)، وفي هذه الحالة تتطابق تمثيلات الزخم والطاقة وتركيز الأنواع لعدد بيجان.

لذلك، سيكون من الطبيعي والأوسع تعريف "الوجود" بشكل عام، ببساطة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta p\,L^{2}}{\rho \delta ^{2}}}}$

أين

${\displaystyle \rho }$كثافة السائل

${\displaystyle \delta }$يمثل معامل الانتشار المقابل للعملية قيد الدراسة.

بالإضافة إلى ذلك، قدم عواد ^{[ 6 ]} مقارنة بين عدد هاجن وعدد بيجان. ورغم اختلاف معناهما الفيزيائي، حيث يمثل الأول تدرج الضغط غير البعدي بينما يمثل الثاني انخفاض الضغط غير البعدي، سيتبين أن عدد هاجن يتطابق مع عدد بيجان في الحالات التي يكون فيها الطول المميز (l) مساوياً لطول التدفق (L).

في مجال ميكانيكا الموائع، يكون رقم بيجان مطابقًا للرقم المحدد في مسائل انتقال الحرارة، وهو انخفاض الضغط غير البعدي على طول مسار المائع${\displaystyle L}$في كل من التدفقات الخارجية والتدفقات الداخلية: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mathrm {Be_{L}} ={\frac {\Delta p\,L^{2}}{\mu \nu }}}$

أين

${\displaystyle \mu }$اللزوجة الديناميكية

${\displaystyle \nu }$هي معامل انتشار الزخم (أو اللزوجة الحركية).

سيقدم عوض صيغة أخرى لعدد بيجان في تدفق هاجن-بوازوي. هذه الصيغة هي

${\displaystyle \mathrm {Be} ={{32\mathrm {Re} L^{3}} \over {d^{3}}}}$

أين

${\displaystyle \mathrm {Re} }$هو رقم رينولدز

${\displaystyle L}$هو طول التدفق

${\displaystyle d}$قطر الأنبوب

يوضح التعبير أعلاه أن عدد بيجان في تدفق هاجن-بوازوي هو في الواقع مجموعة بلا أبعاد، لم يتم التعرف عليها سابقًا.

تُعدّ صيغة بهاتاشارجي وغروسهاندلر لعدد بيجان ذات أهمية بالغة في ديناميكا الموائع، لا سيما في حالة تدفق المائع فوق مستوى أفقي ^{[ 8 ]،} لأنها ترتبط ارتباطًا مباشرًا بمقاومة ديناميكا المائع D من خلال التعبير التالي لقوة السحب.

${\displaystyle D=\Delta p\,A_{w}={\frac {1}{2}}C_{D}A_{f}{\frac {\nu \mu }{L^{2}}}Re^{2}}$

مما يسمح بالتعبير عن معامل السحب${\displaystyle C_{D}}$كدالة لرقم بيجان والنسبة بين المساحة الرطبة${\displaystyle A_{w}}$والمنطقة الأمامية${\displaystyle A_{f}}$[ ^{8 ]​}

${\displaystyle C_{D}=2{\frac {A_{w}}{A_{f}}}{\frac {Be}{Re_{L}^{2}}}}$

أين${\displaystyle Re_{L}}$يمثل رقم رينولدز طول مسار المائع L. وقد تم التحقق من هذه الصيغة تجريبياً في نفق هوائي. ^{[ 9 ]}

تمثل هذه المعادلة معامل السحب من حيث القانون الثاني للديناميكا الحرارية : ^{[ 10 ]}

${\displaystyle C_{D}={\frac {2T_{0}{\dot {S}}'gen}{A_{f}\rho u^{3}}}={\frac {2{\dot {X}}'}{A_{f}\rho u^{3}}}}$

أين${\displaystyle {\dot {S}}'gen}$معدل توليد الإنتروبيا و${\displaystyle {\dot {X}}'}$معدل تبديد الطاقة المتاحة و ρ هي الكثافة.

تسمح الصيغة المذكورة أعلاه بالتعبير عن عدد بيجان بدلالة القانون الثاني للديناميكا الحرارية: ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle Be_{L}={\frac {1}{A_{w}\rho u}}{\frac {L^{2}}{\nu ^{2}}}\Delta {\dot {X}}'={\frac {1}{A_{w}\rho u}}{\frac {T_{0}L^{2}}{\nu ^{2}}}\Delta {\dot {S}}'}$

يمثل هذا التعبير خطوة أساسية نحو تمثيل مسائل ديناميكا الموائع من حيث القانون الثاني للديناميكا الحرارية. ^{[ 13 ]}

• أدريان بيجان
• إنتروبيا
• الطاقة المتاحة
• الديناميكا الحرارية
• النظرية البنائية