ميكانيكا الموائع

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

ميكانيكا الموائع هي فرع من فروع الفيزياء يهتم بميكانيكا الموائع ( السوائل والغازات والبلازما ) والقوى المؤثرة عليها . [ 1 ] : 3 وقد طُبقت في الأصل على الماء ( الميكانيكا المائية ) ، ووجدت تطبيقات في مجموعة واسعة من التخصصات، بما في ذلك الهندسة الميكانيكية ، وهندسة الطيران ، والهندسة المدنية ، والهندسة الكيميائية ، والهندسة الطبية الحيوية ، بالإضافة إلى الجيوفيزياء ، وعلم المحيطات ، والأرصاد الجوية ، والفيزياء الفلكية ، وعلم الأحياء .

يمكن تقسيمها إلى علم سكون الموائع ، وهو دراسة الموائع المختلفة في حالة السكون؛ وديناميكا الموائع ، وهي دراسة تأثير القوى على حركة الموائع. [ 1 ] : 3 وهي فرع من ميكانيكا الأوساط المتصلة ، وهو علم يُنمذج المادة دون استخدام معلومات أنها تتكون من ذرات؛ أي أنه يُنمذج المادة من منظور عياني وليس من منظور مجهري .

تُعدّ ميكانيكا الموائع، ولا سيما ديناميكا الموائع، مجالًا بحثيًا نشطًا، يتسم عادةً بالتعقيد الرياضي. ولا تزال العديد من المشكلات غير محلولة جزئيًا أو كليًا، ويُفضّل معالجتها باستخدام الطرق العددية ، وخاصةً الحواسيب. وقد خُصّص فرع حديث يُسمى ديناميكا الموائع الحسابية (CFD) لهذا النهج. [ 2 ] كما تستفيد تقنية قياس سرعة الجسيمات التصويرية ، وهي طريقة تجريبية لتصوير وتحليل تدفق الموائع، من الطبيعة البصرية الواضحة لتدفق الموائع.

أصل الكلمة

يُنسب أول استخدام لعبارة "ميكانيكا الموائع" إلى أ. هـ. جيمسون في كتابه "مقدمة في ميكانيكا الموائع" (1937). [ 3 ]

تاريخ

التطور التاريخي لميكانيكا الموائع

يعود تاريخ دراسة ميكانيكا الموائع إلى اليونان القديمة على الأقل ، عندما درس أرخميدس سكون الموائع وقوة الطفو ، وصاغ قانونه الشهير المعروف الآن بمبدأ أرخميدس ، والذي نُشر في كتابه " عن الأجسام الطافية" - الذي يُعتبر عمومًا أول عمل رئيسي في ميكانيكا الموائع. وقد طبّق العالم الإيراني أبو الريحان البيروني، ولاحقًا الخازني، الأساليب العلمية التجريبية على ميكانيكا الموائع. [ 4 ] بدأ التقدم السريع في ميكانيكا الموائع مع ليوناردو دافنشي (الملاحظات والتجارب)، وإيفانجليستا توريتشيلي (مخترع البارومتر )، وإسحاق نيوتن (الذي درس اللزوجة ) ، وبليز باسكال (الذي بحث في علم السوائل الساكنة ، وصاغ قانون باسكال )، واستمر مع دانيال برنولي بإدخال الديناميكا الرياضية للموائع في كتابه "الهيدروديناميكا " (1739)، ومعادلات ليونارد أويلر لديناميكا الموائع المثالية .

التطورات في تحليل تدفق السوائل

خضع التدفق غير اللزج لمزيد من التحليل من قبل العديد من علماء الرياضيات ( جان لو رون دالمبير ، وجوزيف لويس لاغرانج ، وبيير سيمون لابلاس ، وسيميون دينيس بواسون )، بينما استكشف العديد من المهندسين ، بمن فيهم جان ليونارد ماري بويزوي وجوتيلف هاجن، التدفق اللزج . وقدّم كلود لويس نافييه وجورج غابرييل ستوكس مزيدًا من التبرير الرياضي في معادلات نافييه-ستوكس ، كما تمّت دراسة الطبقات الحدية ( لودفيج براندتل ، وثيودور فون كارمان )، في حين ساهم علماء آخرون، مثل أوزبورن رينولدز ، وأندريه كولموغوروف ، وجيفري إنغرام تايلور، في تطوير فهم لزوجة الموائع واضطرابها .

الفروع الرئيسية

سكون الموائع

علم سكون الموائع، أو الهيدروستاتيكا، هو فرع من ميكانيكا الموائع يُعنى بدراسة الموائع الساكنة. ويشمل دراسة الظروف التي تكون فيها الموائع ساكنة في حالة توازن مستقر ، ويُقابله علم ديناميكا الموائع ، الذي يدرس الموائع المتحركة. يقدم الهيدروستاتيكا تفسيرات فيزيائية للعديد من ظواهر الحياة اليومية، مثل سبب تغير الضغط الجوي مع الارتفاع ، وسبب طفو الخشب والزيت على الماء، وسبب استواء سطح الماء مهما كان شكل الوعاء الذي يحتويه. يُعد الهيدروستاتيكا أساسيًا في علم الهيدروليكا ، وهو هندسة المعدات المستخدمة لتخزين ونقل واستخدام الموائع . كما أنه ذو صلة ببعض جوانب الجيوفيزياء والفيزياء الفلكية (على سبيل المثال، في فهم حركة الصفائح التكتونية والشذوذات في مجال جاذبية الأرض )، وعلم الأرصاد الجوية ، والطب (في سياق ضغط الدم )، والعديد من المجالات الأخرى.

ديناميكا الموائع

ديناميكا الموائع هي فرع من ميكانيكا الموائع، تُعنى بدراسة تدفق الموائع ، أي علم حركة السوائل والغازات. [ 5 ] توفر ديناميكا الموائع بنية منهجية - تُشكل أساس هذه التخصصات العملية - تشمل قوانين تجريبية وشبه تجريبية مستمدة من قياسات التدفق ،وتُستخدم لحل المشكلات العملية. يتضمن حل مشكلة في ديناميكا الموائع عادةً حساب خصائص مختلفة للمائع، مثل السرعة والضغط والكثافة ودرجة الحرارة ، كدوالللمكان والزمان. ولها عدة فروع، منها الديناميكا الهوائية [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] (دراسة الهواء والغازات الأخرى المتحركة) والديناميكا المائية [ 10 ] [ 11 ] (دراسة السوائل المتحركة). تتمتع ديناميكا الموائع بتطبيقات واسعة النطاق، تشمل حساب القوى والعزوم المؤثرة على الطائرات ، وتحديد معدل تدفق كتلة البترولعبر خطوط الأنابيب، والتنبؤبأنماط الطقس المتغيرة، وفهم السدم في الفضاء بين النجوم، ونمذجة الانفجارات . كما تُستخدم بعض مبادئ ديناميكا الموائع في هندسة المرور وديناميكيات الحشود.

ميكانيكا الأوساط المتصلة

ميكانيكا الموائع هي فرع من فروع ميكانيكا الأوساط المتصلة ، كما هو موضح في الجدول التالي:

ميكانيكا الأوساط المتصلة : دراسة فيزياء المواد المتصلةميكانيكا المواد الصلبة : دراسة فيزياء المواد المتصلة ذات الشكل الثابت المحدد.تصف المرونة المواد التي تعود إلى شكلها الأصلي بعد إزالة الإجهادات المطبقة عليها.
تُعرّف اللدونة بأنها المواد التي تتشوه بشكل دائم بعد تعرضها لإجهاد كافٍ.علم الريولوجيا: دراسة المواد التي تتميز بخصائص صلبة وسائلة.
ميكانيكا الموائع : دراسة فيزياء المواد المتصلة التي تتشوه عند تعرضها لقوة.لا تخضع السوائل غير النيوتونية لمعدلات إجهاد تتناسب مع إجهاد القص المطبق.
تخضع السوائل النيوتونية لمعدلات إجهاد تتناسب مع إجهاد القص المطبق.

من منظور ميكانيكي، يُعتبر المائع مادة لا تتحمل إجهاد القص ؛ ولذلك يتخذ المائع الساكن شكل الوعاء الذي يحتويه. المائع الساكن لا يتعرض لإجهاد القص.

الافتراضات

موازنة كمية سائلة متكاملة في حجم تحكم محاط بسطح تحكم .

يمكن التعبير عن الافتراضات الكامنة في المعالجة الميكانيكية الموائعية لنظام فيزيائي باستخدام المعادلات الرياضية. وبشكل أساسي، يُفترض أن كل نظام ميكانيكي مائع يخضع لما يلي:

على سبيل المثال، يعني افتراض حفظ الكتلة أنه لأي حجم تحكم ثابت (مثل حجم كروي) - محاط بسطح تحكم - فإن معدل تغير الكتلة الموجودة في ذلك الحجم يساوي معدل انتقال الكتلة عبر السطح من الخارج إلى الداخل ، مطروحًا منه معدل انتقال الكتلة من الداخل إلى الخارج . ويمكن التعبير عن ذلك بمعادلة تكاملية على حجم التحكم. [ 12 ] : 74

فرضية الاستمرارية

الفرضية الاستمرارية هي تبسيط مثاليلميكانيكا الاستمرارية، حيث تُعامل الموائع على أنهامتصلة، على الرغم من أنها تتكون، على المستوى المجهري، منجزيئات. وبموجب هذه الفرضية، تُعتبر الخصائص العيانية (القابلة للملاحظة/القياس) مثل الكثافة والضغط ودرجة الحرارة وسرعة التدفق الكلي محددة بدقة عند عناصر حجمية "متناهية الصغر" - صغيرة مقارنةً بمقياس الطول المميز للنظام، ولكنها كبيرة مقارنةً بمقياس الطول الجزيئي. يمكن أن تتغير خصائص المائع باستمرار من عنصر حجمي إلى آخر، وهي عبارة عن قيم متوسطة للخصائص الجزيئية. قد تؤدي فرضية الاستمرارية إلى نتائج غير دقيقة في تطبيقات مثل التدفقات فوق الصوتية، أو التدفقات الجزيئية على المستوى النانوي. [ 13 ] يمكن حل المشكلات التي لا تنطبق عليها فرضية الاستمرارية باستخدامالميكانيكا الإحصائيةأوديناميكا الغازات المخففة. لتحديد مدى انطباق فرضية الاستمرارية،عدد كنودسن، المُعرَّف بأنه نسبةمتوسط ​​المسار الحرمقياسالطول المميز. يمكن حل المشكلات التي تقل فيها أعداد كنودسن عن 0.1 باستخدام فرضية الاستمرارية، بينما يمكن تطبيق المنهج الجزيئي (الميكانيكا الإحصائية) لإيجاد حركة المائع لأعداد كنودسن الأكبر.

معادلات نافيير-ستوكس (نسبةً إلى كلود لويس نافيير وجورج غابرييل ستوكس ) هي معادلات تفاضلية تصف توازن القوى عند نقطة معينة داخل سائل. بالنسبة لسائل غير قابل للانضغاط ذي حقل سرعة متجهيu{\displaystyle \mathbf {u} }، معادلات نافيير-ستوكس هي [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]

∂u∂ت+(u⋅∇)u=-1ρ∇ص+ν∇2u{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} }.

تُعدّ هذه المعادلات التفاضلية نظائر لمعادلات نيوتن لحركة الجسيمات في المواد القابلة للتشوه – إذ تصف معادلات نافيير-ستوكس التغيرات في الزخم ( القوة ) استجابةً للضغطص{\displaystyle p}واللزوجة، التي يتم تحديدها بواسطة اللزوجة الحركيةν{\displaystyle \nu }في بعض الأحيان، تُضاف قوى الجسم ، مثل قوة الجاذبية أو قوة لورنتز، إلى المعادلات.

يتطلب إيجاد حلول لمعادلات نافيير-ستوكس لمسألة فيزيائية معينة استخدام حساب التفاضل والتكامل . عمليًا، لا يمكن حل سوى أبسط الحالات بدقة بهذه الطريقة. وتشمل هذه الحالات عادةً تدفقًا مستقرًا غير مضطرب يكون فيه عدد رينولدز صغيرًا. أما بالنسبة للحالات الأكثر تعقيدًا، وخاصة تلك التي تنطوي على اضطراب ، مثل أنظمة الطقس العالمية، والديناميكا الهوائية، والديناميكا المائية، وغيرها الكثير، فلا يمكن حاليًا إيجاد حلول لمعادلات نافيير-ستوكس إلا بمساعدة الحواسيب. يُطلق على هذا الفرع من العلوم اسم ديناميكا الموائع الحسابية . [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]

السوائل اللزجة واللزجة

السائل غير اللزج ليس له لزوجة .ν=0{\displaystyle \nu =0}في الواقع، يُعدّ التدفق غير اللزج تبسيطًا مثاليًا يُسهّل المعالجة الرياضية. في الحقيقة، لا يُعرف أن التدفقات غير اللزجة تمامًا تتحقق إلا في حالة الميوعة الفائقة . بخلاف ذلك، تكون الموائع لزجة عمومًا ، وهي خاصية غالبًا ما تكون بالغة الأهمية ضمن الطبقة الحدية بالقرب من سطح صلب، [ 23 ] حيث يجب أن يتطابق التدفق مع شرط عدم الانزلاق عند السطح الصلب. في بعض الحالات، يمكن معالجة رياضيات نظام ميكانيكا الموائع بافتراض أن المائع خارج الطبقات الحدية غير لزج، ثم مطابقة حله مع حل طبقة حدية رقيقة انسيابية .

في حالة تدفق الموائع فوق سطح مسامي، قد تكون سرعة المائع غير متصلة بين المائع الحر والمائع الموجود في الوسط المسامي (وهذا مرتبط بشرط بيفرز وجوزيف). علاوة على ذلك، من المفيد عند السرعات المنخفضة دون سرعة الصوت افتراض أن الغاز غير قابل للانضغاط ، أي أن كثافة الغاز لا تتغير حتى مع تغير السرعة والضغط الساكن .

السوائل النيوتونية مقابل السوائل غير النيوتونية

يُعرَّف المائع النيوتوني (نسبةً إلى إسحاق نيوتن) بأنه مائع يتناسب إجهاد القص فيه تناسبًا طرديًا مع تدرج السرعة في الاتجاه العمودي على مستوى القص. ويعني هذا التعريف أن المائع يستمر في التدفق بغض النظر عن القوى المؤثرة عليه . على سبيل المثال، الماء مائع نيوتوني، لأنه يستمر في إظهار خصائص المائع مهما تم تحريكه أو خلطه. وهناك تعريف أقل دقة، وهو أن مقاومة جسم صغير يتحرك ببطء عبر المائع تتناسب طرديًا مع القوة المؤثرة عليه (قارن الاحتكاك ). تتصرف الموائع المهمة، كالماء ومعظم الغازات، -بشكل تقريبي جيد- كمائع نيوتوني في الظروف العادية على سطح الأرض. [ 12 ] : 145

على النقيض من ذلك، قد يُخلّف تحريك سائل غير نيوتوني فراغًا. يمتلئ هذا الفراغ تدريجيًا بمرور الوقت، ويُلاحظ هذا السلوك في مواد مثل البودينغ، والأوبليك ، والرمل (مع أن الرمل ليس سائلًا بالمعنى الدقيق). كما قد يؤدي تحريك سائل غير نيوتوني إلى انخفاض لزوجته، فيبدو السائل أقل كثافة (كما هو الحال في الدهانات غير القابلة للتقطير ). توجد أنواع عديدة من السوائل غير النيوتونية، إذ تُعرَّف بأنها مواد لا تخضع لخاصية معينة، فعلى سبيل المثال، تتفاعل معظم السوائل ذات السلاسل الجزيئية الطويلة بطريقة غير نيوتونية. [ 12 ] : 145

معادلات سائل نيوتوني

يُعرف ثابت التناسب بين موتر الإجهاد اللزج وتدرج السرعة باللزوجة . معادلة بسيطة لوصف سلوك الموائع النيوتونية غير القابلة للانضغاط هي:

τ=-μدuدن{\displaystyle \tau =-\mu {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} n}}}

أين

τ{\displaystyle \tau }هو إجهاد القص الذي يمارسه السائل (" السحب ")،
μ{\displaystyle \mu }لزوجة السائل - ثابت تناسب، و
دuدن{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} n}}}يمثل تدرج السرعة العمودي على اتجاه القص.

بالنسبة للموائع النيوتونية، تعتمد اللزوجة، بحسب التعريف، على درجة الحرارة فقط ، وليس على القوى المؤثرة عليها. إذا كان المائع غير قابل للانضغاط ، فإن المعادلة التي تحكم الإجهاد اللزج (في الإحداثيات الديكارتية ) هي

τأناج=μ(∂vأنا∂xج+∂vج∂xأنا){\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}

أين

τأناج{\displaystyle \tau _{ij}}يمثل إجهاد القص علىأناتح{\displaystyle i^{th}}وجه عنصر سائل فيجتح{\displaystyle j^{th}}اتجاه
vأنا{\displaystyle v_{i}}هي السرعة فيأناتح{\displaystyle i^{th}}اتجاه
xج{\displaystyle x_{j}}هوجتح{\displaystyle j^{th}}إحداثيات الاتجاه.

إذا لم يكن السائل غير قابل للانضغاط، فإن الشكل العام للإجهاد اللزج في سائل نيوتوني هو

τأناج=μ(∂vأنا∂xج+∂vج∂xأنا-23دلتاأناج∇⋅v)+κدلتاأناج∇⋅v// _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} }

أينκ{\displaystyle \kappa }يمثل معامل اللزوجة الثاني (أو اللزوجة الحجمية). إذا لم يخضع سائل ما لهذه العلاقة، يُطلق عليه اسم سائل غير نيوتوني ، وله أنواع عديدة. يمكن أن تكون السوائل غير النيوتونية لدنة، أو لدنة بينغهام، أو لدنة زائفة، أو متمددة، أو ثيكسوتروبية، أو ريوبكتية، أو لزجة مرنة.

في بعض التطبيقات، يُجرى تقسيم عام آخر بين الموائع: الموائع المثالية والموائع غير المثالية. المائع المثالي غير لزج ولا يُبدي أي مقاومة لقوى القص. في الواقع، لا يوجد مائع مثالي، ولكن في بعض الحسابات، يكون هذا الافتراض مُبررًا. أحد الأمثلة على ذلك هو التدفق بعيدًا عن الأسطح الصلبة. في كثير من الحالات، تتركز تأثيرات اللزوجة بالقرب من الحدود الصلبة (كما هو الحال في الطبقات الحدية)، بينما في مناطق مجال التدفق البعيدة عن الحدود، يمكن إهمال تأثيرات اللزوجة، ويُعامل المائع هناك كما لو كان غير لزج (تدفق مثالي). عند إهمال اللزوجة، يصبح الحد الذي يحتوي على موتر الإجهاد اللزج غير دقيق.τ{\displaystyle \mathbf {\tau } }تتلاشى في معادلة نافيير-ستوكس. وتسمى المعادلة المختزلة في هذا الشكل معادلة أويلر .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 وايت، فرانك م. (2011). ميكانيكا الموائع (  الطبعة السابعة). ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-352934-9.
  2. ↑ تو، جييوان؛ يوه، غوان هنغ؛ ليو، تشاوكون (21 نوفمبر 2012). ديناميكا الموائع الحسابية: منهج عملي . باتروورث-هاينمان. ISBN 978-0080982434.
  3. ↑ "OED- قاموس أكسفورد الإنجليزي - مدخل ميكانيكا الموائع على الإنترنت" .
  4. ^ مريم روزانسكايا وإس ليفينوفا (1996)، “الإحصائيات”، ص. 642،
  5. ↑ باتشيلور، سي كيه، وباتشيلور، جي كيه (2000). مقدمة في ديناميكا الموائع. مطبعة جامعة كامبريدج.
  6. ↑ بيرتين، جيه جيه، وسميث، إم إل (1998). الديناميكا الهوائية للمهندسين (المجلد 5). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول.
  7. ↑ أندرسون الابن، دكتور في القانون (2010). أساسيات الديناميكا الهوائية. دار نشر تاتا ماكجرو هيل للتعليم.
  8. ↑ هوتون، إي إل، وكاربنتر، بي دبليو (2003). الديناميكا الهوائية لطلاب الهندسة. إلسيفير.
  9. ↑ ميلن-تومسون، إل إم (1973). الديناميكا الهوائية النظرية. شركة كورير.
  10. ↑ ميلن-تومسون، إل إم (1996). الديناميكا المائية النظرية. شركة كورير.
  11. ↑ بيركوف، ج. (2015). الديناميكا المائية. مطبعة جامعة برينستون.
  12. 1 2 3 باتشيلور، جورج ك. (1967). مقدمة في ديناميكا الموائع . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 74. ISBN  0-521-66396-2.
  13. ↑ غرينكورن، روبرت (3 أكتوبر 2018). أساسيات نقل الزخم والحرارة والكتلة . مطبعة سي آر سي. ص 18. ISBN  978-1-4822-9297-8.
  14. ↑ كونستانتين، ب.، وفوياس، س. (1988). معادلات نافيير-ستوكس. مطبعة جامعة شيكاغو.
  15. ↑ تيمام، ر. (2001). معادلات نافيير-ستوكس: النظرية والتحليل العددي (المجلد 343). الجمعية الرياضية الأمريكية .
  16. ↑ فوياس، سي.، مانلي، أو.، روزا، ر.، وتيمام، ر. (2001). معادلات نافيير-ستوكس والاضطراب (المجلد 83). مطبعة جامعة كامبريدج.
  17. ↑ جيرو، ف.، ورافيارت، ب.أ. (2012). طرق العناصر المحدودة لمعادلات نافيير-ستوكس: النظرية والخوارزميات (المجلد 5). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا.
  18. ↑ أندرسون، جيه دي، وويندت، جيه. (1995). ديناميكا الموائع الحسابية (المجلد 206). نيويورك: ماكجرو هيل.
  19. ↑ تشونغ، تي جيه (2010). ديناميكا الموائع الحسابية. مطبعة جامعة كامبريدج.
  20. ↑ بلازيك، ج. (2015). ديناميكا الموائع الحسابية: المبادئ والتطبيقات. باتروورث-هاينمان.
  21. ↑ ويسلينغ، ب. (2009). مبادئ ديناميكا الموائع الحسابية (المجلد 29). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا.
  22. ↑ أندرسون، د.، تانيل، ج.س.، وبليتشر، ر.هـ. (2016). ميكانيكا الموائع الحسابية وانتقال الحرارة. تايلور وفرانسيس.
  23. ↑ كوندو، بيجوش ك.؛ كوهين، إيرا م.؛ داولينج، ديفيد ر. (27 مارس 2015). "10". ميكانيكا الموائع ( الطبعة السادسة). دار النشر الأكاديمية. ISBN  978-0124059351.

للمزيد من القراءة

  • باتشيلور، جي كي (2012)، مقدمة في ديناميكا الموائع ، مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/CBO9780511800955 ، ISBN 9780511800955
  • فالكوفيتش، غريغوري (2011)، ميكانيكا الموائع (دورة قصيرة للفيزيائيين) ، مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/CBO9780511794353 ، ISBN 978-1-107-00575-4
  • كوندو، بيجوش ك.؛ كوهين، إيرا م.؛ داولينج، ديفيد ر.؛ كابيسيلاترو، جيسي (2025)، ميكانيكا الموائع (الطبعة السابعة  )، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 978-0-12-819807-0
  • كوري، آي جي (1974)، الميكانيكا الأساسية للموائع ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-015000-1
  • ماسي، ب.؛ وارد-سميث، ج. (2005)، ميكانيكا الموائع (  الطبعة الثامنة)، تايلور وفرانسيس، ISBN 978-0-415-36206-1
  • نازارينكو، سيرجي (2014)، ديناميكا الموائع من خلال الأمثلة والحلول ، دار نشر سي آر سي (مجموعة تايلور وفرانسيس)، رقم ISBN 978-1-43-988882-7