سلسلة بيل

في الرياضيات ، تُعدّ متسلسلة بيل متسلسلة قوى رسمية تُستخدم لدراسة خصائص الدوال الحسابية. وقد طوّر إريك تمبل بيل متسلسلات بيل .

بالنظر إلى دالة حسابية${\displaystyle f}$ورئيس الوزراء${\displaystyle p}$، تعريف متسلسلة القوى الرسمية${\displaystyle f_{p}(x)}$، والتي تُسمى سلسلة بيل${\displaystyle f}$modulo${\displaystyle p}$ مثل:

${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}$

يمكن إثبات أن دالتين ضربيتين متطابقتان إذا كانت جميع متسلسلات بيل الخاصة بهما متساوية؛ وهذا ما يُسمى أحيانًا بنظرية التفرد : إذا كانت لدينا دالتان ضربيتان${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$، لدى المرء${\displaystyle f=g}$إذا وفقط إذا :

${\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}$لجميع الأعداد الأولية${\displaystyle p}$.

يمكن ضرب سلسلتين (وتسمى أحيانًا نظرية الضرب ): لأي دالتين حسابيتين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$، يترك${\displaystyle h=f*g}$لتكن التفاف ديريشليه الخاص بهم . ثم لكل عدد أولي${\displaystyle p}$، لدى المرء:

${\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}$

وعلى وجه الخصوص، هذا يجعل من السهل إيجاد سلسلة بيل لمعكوس ديريشليه .

لو${\displaystyle f}$إذا كانت ضربية تمامًا ، فبالصيغة الرسمية:

${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}$

فيما يلي جدول لسلسلة بيل للدوال الحسابية المعروفة.

• دالة موبيوس${\displaystyle \mu }$لديه${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• دالة موبيوس تربيع لها${\displaystyle \mu _{p}^{2}(x)=1+x.}$
• ظرف أويلر${\displaystyle \varphi }$لديه${\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• العنصر المحايد المضاعف لعملية الالتفاف ديريشليه${\displaystyle \delta }$لديه${\displaystyle \delta _{p}(x)=1.}$
• حفل ليوفيل${\displaystyle \lambda }$لديه${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• دالة القوة Id _k لها${\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}$ هنا، Id _k هي دالة ضربية تمامًا ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$.
• دالة القاسم${\displaystyle \sigma _{k}}$لديه${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{(1-p^{k}x)(1-x)}}.}$
• الدالة الثابتة ، التي قيمتها 1، تحقق ما يلي:${\displaystyle 1_{p}(x)=(1-x)^{-1}}$، أي، هي المتسلسلة الهندسية .
• لو${\displaystyle f(n)=2^{\أوميغا (n)}=\sum _{d|n}\mu ^{2}(d)}$هي قوة دالة أوميغا الأولية ، إذن${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1+x}{1-x}}.}$
• لنفترض أن f دالة ضربية و g أي دالة حسابية تحقق${\displaystyle f(p^{n+1})=f(p)f(p^{n})-g(p)f(p^{n-1})}$لجميع الأعداد الأولية p و${\displaystyle n\geq 1}$. ثم${\displaystyle f_{p}(x)=\left(1-f(p)x+g(p)x^{2}\right)^{-1}.}$
• لو${\displaystyle \mu _{k}(n)=\sum _{d^{k}|n}\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d^{k}}}\right)\mu _{k-1}\left({\frac {n}{d}}\right)}$إذا كانت دالة موبيوس من الرتبة k ، فإن${\displaystyle (\mu _{k})_{p}(x)={\frac {1-2x^{k}+x^{k+1}}{1-x}}.}$

• أرقام الجرس

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001