مرشح بيسل

في مجال الإلكترونيات ومعالجة الإشارات ، يُعد مرشح بيسل نوعًا من المرشحات الخطية التناظرية ذات تأخير مجموعة مسطح للغاية (أي استجابة طور خطية للغاية )، مما يحافظ على شكل موجة الإشارات المُرشحة في نطاق التمرير. ^{[ 1 ]} تُستخدم مرشحات بيسل ذات التمرير العالي والمنخفض بشكل شائع في أنظمة التقاطع الصوتي .

يُشير اسم المرشح إلى عالم الرياضيات الألماني فريدريك بيسل (1784-1846)، الذي وضع النظرية الرياضية التي يقوم عليها هذا المرشح. كما تُسمى هذه المرشحات بمرشحات بيسل-طومسون تكريمًا لـ دبليو إي طومسون، الذي اكتشف كيفية تطبيق دوال بيسل على تصميم المرشحات عام 1949. ^{[ 2 ]}

يُشبه مرشح بيسل مرشح غاوس إلى حد كبير ، ويميل إلى الشكل نفسه مع ازدياد رتبة المرشح. ^{[ 3 ] [ 4 ]} بينما لا يُظهر مرشح غاوس أي تجاوز في استجابة الخطوة في المجال الزمني ، ^{[ 5 ]} فإن مرشح بيسل يُظهر تجاوزًا طفيفًا، ^{[ 6 ] [ 7 ]} ولكنه يبقى أقل بكثير من مرشحات المجال الترددي الشائعة الأخرى، مثل مرشحات باترورث. وقد لوحظ أن استجابة النبضة لمرشحات بيسل-طومسون تميل إلى شكل غاوسي مع ازدياد رتبة المرشح. ^{[ 3 ]}

بالمقارنة مع تقريبات الرتبة المحدودة لمرشح غاوس، يتميز مرشح بيسل بعامل تشكيل أفضل قليلاً (أي مدى جودة تقريب مرشح معين للاستجابة المثالية للتمرير العالي أو المنخفض)، وتأخير طور أكثر استواءً ، وتأخير مجموعة أكثر استواءً من مرشح غاوس من نفس الرتبة، على الرغم من أن مرشح غاوس يتميز بتأخير زمني أقل وتجاوز معدوم. ^{[ 8 ]}

تتميز مرشحات بيسل بدالة نقلها . خذ على سبيل المثال مرشح التمرير المنخفض : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,}$

أين${\displaystyle \theta _{n}(s)}$هي متعددة حدود بيسل العكسية التي استمد منها المرشح اسمه و${\displaystyle \omega _{0}}$هو تردد يتم اختياره لإعطاء تردد القطع المطلوب. يتميز المرشح بتأخير مجموعة منخفض التردد قدره ⁠${\displaystyle 1/\omega _{0}}$منذ​${\displaystyle \theta _{n}(0)}$غير محدد وفقًا لتعريف كثيرات حدود بيسل العكسية، ولكنه نقطة تفرد قابلة للإزالة ، ويُعرَّف بأنه${\displaystyle \theta _{n}(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\theta _{n}(x)}$⁠ .

دالة التحويل لمرشح بيسل هي دالة كسرية مقامها عبارة عن متعدد حدود بيسل معكوس ، مثل ما يلي:

${\displaystyle n=1:\quad s+1}$

${\displaystyle n=2:\quad s^{2}+3s+3}$

${\displaystyle n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15}$

${\displaystyle n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105}$

${\displaystyle n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945}$

يتم إعطاء كثيرات حدود بيسل العكسية بواسطة: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},}$

أين

${\displaystyle a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{nk}k!(nk)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.}$

لا توجد قيمة قياسية محددة للتوهين في مرشحات بيسل. ^{[ 8 ]} ومع ذلك، يُعدّ -3.0103  ديسيبل خيارًا شائعًا. قد تستخدم بعض التطبيقات توهينًا أعلى أو أقل، مثل -1  ديسيبل أو -20  ديسيبل. يتضمن تحديد تردد قطع التوهين أولًا إيجاد التردد الذي يحقق التوهين المطلوب، والذي سيُشار إليه بـ ⁠${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ثم توسيع نطاق${\displaystyle H(s)}$كثيرات الحدود مرفوعة إلى معكوس ذلك التردد. لتغيير مقياس كثيرات الحدود، أضف ببساطة${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$إلى${\displaystyle s}$الحد في كل معامل، كما هو موضح في مثال مرشح بيسل ثلاثي الأقطاب أدناه.

${\displaystyle {\begin{aligned}H(s)&={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}\\H(s)'&=H(s)_{{\text{desired dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{\text{c}}s)^{3}+6(\omega _{\text{c}}s)^{2}+15\omega _{\text{c}}s+15}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$يمكن إيجادها باستخدام طريقة نيوتن ، أو باستخدام طريقة إيجاد الجذور .

دالة التحويل لمرشح تمرير منخفض من نوع بيسل من الدرجة الثالثة (ثلاثي الأقطاب) مع${\displaystyle \omega _{0}=1}$يكون

${\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},}$

حيث تم اختيار البسط لإعطاء كسب الوحدة عند التردد الصفري ( ⁠${\displaystyle s=0}$تتضمن جذور متعددة الحدود في المقام، وهي أقطاب المرشح، قطبًا حقيقيًا عند${\displaystyle s=-2.3222}$، وزوجمن الأقطاب المترافقة المعقدة عند${\displaystyle s=-1.8389\pm j1.7544}$، كما هو موضح أعلاه.

ثم يكون الربح هو

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,}$

نقطة -3  ديسيبل، حيث${\displaystyle \vert H(j\omega )\vert ={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$، يحدث في${\displaystyle \omega =1.756}$. وهذا ما يسمى عادةً بتردد القطع.

المرحلة هي

${\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).}$

تأخير المجموعة هو

${\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.}$

توسيع متسلسلة تايلور لتأخير المجموعة هو

${\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .}$

لاحظ أن المصطلحين في${\displaystyle \omega ^{2}}$و${\displaystyle \omega ^{4}}$وتكون قيمها صفرًا، مما ينتج عنه تأخير مجموعة مسطح للغاية عند ⁠${\displaystyle \omega =0}$هذا هو أكبر عدد من الحدود التي يمكن ضبطها على الصفر، حيث يوجد إجمالاً أربعة معاملات في متعددة حدود بيسل من الدرجة الثالثة، مما يتطلب أربع معادلات لتعريفها. إحدى هذه المعادلات تحدد أن الربح يساوي واحدًا عند${\displaystyle \omega =0}$ويحدد شرط ثانٍ أن يكون الكسب صفراً عند ⁠${\displaystyle \omega =\infty }$مما يترك معادلتين لتحديد حدين في متسلسلة التوسيع بحيث يكونان صفرًا. هذه خاصية عامة لتأخير المجموعة لمرشح بيسل من الرتبة ⁠${\displaystyle n}$الأول​${\displaystyle n-1}$ستكون الحدود في متسلسلة توسيع تأخير المجموعة صفرًا، مما يزيد من تسطح تأخير المجموعة عند ⁠${\displaystyle \omega =0}$⁠ .

على الرغم من استخدام التحويل الثنائي الخطي لتحويل مرشحات الزمن المستمر (التناظرية) إلى مرشحات استجابة نبضية لا نهائية (IIR) ذات زمن منفصل (رقمية) بتردد استجابة مماثل ، إلا أن مرشحات IIR الناتجة عن التحويل الثنائي الخطي لا تتمتع بتأخير مجموعة ثابت. ^{[ 10 ]} ولأن الخاصية المهمة لمرشح بيسل هي تأخير مجموعته المسطح إلى أقصى حد، فإن التحويل الثنائي الخطي غير مناسب لتحويل مرشح بيسل التناظري إلى شكل رقمي.

المكافئ الرقمي هو مرشح ثيران، وهو أيضاً مرشح تمرير عالي أو منخفض ذو أقطاب كاملة مع تأخير مجموعة مسطح إلى أقصى حد، ^{[ 11 ] [ 12 ]} والذي يمكن تحويله أيضاً إلى مرشح تمرير كامل، لتنفيذ تأخيرات جزئية. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

• دالة بيسل
• فلتر باترورث
• مرشح تشيبيشيف
• فلتر مشط
• مرشح إهليلجي
• تأخير المجموعة وتأخير الطور

^{[ 1 ]}

^{[ 2 ]}

^{[ 3 ]}

^{[ 4 ]}

^{[ 5 ]}

^{[ 6 ]}

^{[ 7 ]}

^{[ 8 ]}

^{[ 9 ]}

^{[ 10 ]}

^{[ 11 ]}

^{[ 12 ]}

^{[ 13 ]}

^{[ 14 ]}

</references>

• مرشحات بيسل والمرشحات الطورية الخطية - نوهيرتز
• ثوابت مرشح بيسل — رابطة CR
• مرشحات بيسل، كثيرات الحدود، الأقطاب، وعناصر الدوائر — سي آر بوند
• شفرة مصدرية بلغة جافا لحساب أقطاب مرشح بيسل