استجابة الخطوة

تؤدي دالة نقل مكبر الصوت ثنائي القطب إلى كسب الحلقة المغلقة:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

يسهل اكتشاف اعتماد المضخم على الزمن عن طريق تحويل المتغيرات إلى s = j ω، وعندها يصبح الكسب كالتالي:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

تقع أقطاب هذا التعبير (أي أصفار المقام) عند:

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

وهذا يوضح أنه بالنسبة للقيم الكبيرة بما يكفي لـ βA _0، يصبح الجذر التربيعي هو الجذر التربيعي لعدد سالب، أي أن الجذر التربيعي يصبح تخيليًا، وتكون مواقع الأقطاب أعدادًا مركبة مترافقة، إما s ₊ أو s ₋ ؛ انظر الشكل 2:

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

مع

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

و

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

باستخدام الإحداثيات القطبية مع مقدار نصف القطر للجذور المعطاة بواسطة | s | (الشكل 2):

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

ويتم إعطاء الإحداثي الزاوي φ بواسطة:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

تُظهر جداول تحويلات لابلاس أن الاستجابة الزمنية لمثل هذا النظام تتكون من تركيبات من الدالتين التاليتين:

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

أي أن الحلول عبارة عن تذبذبات متضائلة مع الزمن. وعلى وجه الخصوص، فإن استجابة النظام لدالة الخطوة الوحدوية هي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

والذي يتبسط إلى

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

عندما تؤول A ₀ إلى اللانهاية ويكون عامل التغذية الراجعة β واحدًا.

لاحظ أن تخميد الاستجابة يُحدد بواسطة ρ، أي بواسطة الثوابت الزمنية لمضخم الحلقة المفتوحة. في المقابل، يُحدد تردد التذبذب بواسطة μ، أي بواسطة معامل التغذية الراجعة عبر β A _0. ولأن ρ هو مجموع مقلوبات الثوابت الزمنية، فمن المثير للاهتمام ملاحظة أن ρ يهيمن عليه الثابت الزمني الأقصر .

يوضح الشكل 3 استجابة الزمن لإشارة دخل خطوة الوحدة لثلاث قيم للمعامل μ. يُلاحظ أن تردد التذبذب يزداد مع μ، لكن التذبذبات محصورة بين خطي التقارب المحددين بالدالتين الأسيتين [  1  −  exp( −ρt )  ] و[  1  +  exp(−ρt)  ]. يتم تحديد هذين الخطين بواسطة ρ، وبالتالي بواسطة الثوابت الزمنية لمضخم الحلقة المفتوحة، بغض النظر عن التغذية الراجعة.

تُسمى ظاهرة التذبذب حول القيمة النهائية بالرنين . التجاوز هو أقصى تأرجح فوق القيمة النهائية، ويزداد بشكل واضح مع زيادة μ. وبالمثل، فإن النقص هو أدنى تأرجح تحت القيمة النهائية، ويزداد أيضًا مع زيادة μ. زمن الاستقرار هو الوقت اللازم لانحرافات القيمة عن القيمة النهائية إلى ما دون مستوى محدد، ولنقل 10% من القيمة النهائية.

إن اعتماد زمن الاستقرار على μ ليس واضحًا، وربما لا يكون تقريب نظام ثنائي الأقطاب دقيقًا بما يكفي لاستخلاص أي استنتاجات عملية حول اعتماد زمن الاستقرار على التغذية الراجعة. مع ذلك، تؤثر الخطوط التقاربية [  1  −  exp( −ρt )  ] و[  1  +  exp  (−ρt ) ]  بشكل واضح على زمن الاستقرار، ويتم التحكم بها بواسطة الثوابت الزمنية لمضخم الحلقة المفتوحة، وخاصةً الثابت الزمني الأقصر بينهما. يشير هذا إلى ضرورة استيفاء مواصفات زمن الاستقرار من خلال تصميم مناسب لمضخم الحلقة المفتوحة.

الاستنتاجان الرئيسيان من هذا التحليل هما:

1. تتحكم التغذية الراجعة في سعة التذبذب حول القيمة النهائية لمضخم الحلقة المفتوحة المحدد وقيم معينة لثوابت الوقت للحلقة المفتوحة، τ ₁ و τ ₂ .
2. يُحدد مُضخّم الحلقة المفتوحة زمن الاستقرار. فهو يُحدد المقياس الزمني للشكل 3، وكلما كان مُضخّم الحلقة المفتوحة أسرع، كان هذا المقياس الزمني أسرع.

على سبيل المثال، تجدر الإشارة إلى أن الانحرافات الواقعية عن هذا النموذج الخطي ثنائي القطب تحدث بسبب تعقيدين رئيسيين: أولاً، تحتوي المضخمات الحقيقية على أكثر من قطبين، بالإضافة إلى أصفار؛ وثانياً، المضخمات الحقيقية غير خطية، لذا فإن استجابتها للخطوة تتغير مع سعة الإشارة.

سيتم مناقشة كيفية التحكم في التجاوز من خلال اختيار المعلمات المناسبة لاحقًا.

باستخدام المعادلات أعلاه، يمكن إيجاد مقدار التجاوز عن طريق اشتقاق استجابة الخطوة وإيجاد قيمتها القصوى. والنتيجة لأقصى استجابة للخطوة S _max هي: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

القيمة النهائية لاستجابة الخطوة هي 1، لذا فإن الدالة الأسية هي التجاوز الفعلي نفسه. من الواضح أن التجاوز يساوي صفرًا إذا كانت μ = 0، وهو الشرط:

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

يتم حل هذه المعادلة التربيعية لإيجاد نسبة الثوابت الزمنية بوضع x = ( τ1 / τ2 ₎ ^1/2، _{والنتيجة} هي

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

بما أن β A ₀ ≫ 1، يمكن حذف الرقم 1 من الجذر التربيعي، والنتيجة هي

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

بمعنى آخر، يجب أن يكون الثابت الزمني الأول أكبر بكثير من الثاني. ولزيادة الجرأة في التصميم، بدلاً من الاكتفاء بتصميم لا يسمح بأي تجاوز، يمكننا إدخال عامل α في العلاقة المذكورة أعلاه.

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

ولنفترض أن قيمة α تحدد مقدار التجاوز المقبول.

يوضح الشكل 4 الإجراء. تُظهر مقارنة اللوحة العلوية (α = 4) باللوحة السفلية (α  =  0.5) أن القيم المنخفضة لـ α تزيد من سرعة الاستجابة، ولكنها تزيد من التجاوز. أما الحالة α  =  2 (اللوحة الوسطى) فهي التصميم ذو الاستجابة المسطحة القصوى ، حيث لا تظهر أي ذروة في مخطط بود للكسب مقابل التردد . يتميز هذا التصميم بهامش أمان مدمج للتعامل مع الظروف غير المثالية، مثل الأقطاب المتعددة (أو الأصفار)، واللاخطية (اعتماد الإشارة على السعة)، واختلافات التصنيع، والتي قد يؤدي أي منها إلى تجاوز مفرط. يُعد ضبط المسافة بين الأقطاب (أي تحديد  α) موضوعًا لتعويض التردد ، ومن هذه الطرق تقسيم الأقطاب .

تُحدد سعة التذبذب في استجابة الخطوة في الشكل 3 بواسطة عامل التخميد exp(− ρt ). أي، إذا حددنا انحرافًا مقبولًا لاستجابة الخطوة عن القيمة النهائية، ولنقل Δ، أي:

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

يتحقق هذا الشرط بغض النظر عن قيمة β A _OL بشرط أن يكون الوقت أطول من وقت الاستقرار، لنقل t _S ، المعطى بواسطة: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

حيث ينطبق الشرط _τ₁  ≫  τ₂ بسبب شرط التحكم في التجاوز، مما يجعل τ₁ = _{αβA OL} τ₂ _{. غالبًا ما يُشار إلى شرط زمن الاستقرار بالقول إن} فترة الاستقرار تتناسب عكسيًا مع عرض نطاق كسب الوحدة، لأن 1/( 2πτ₂ ) قريب من عرض النطاق هذا لمضخم ذي تعويض قطب مهيمن نموذجي . مع ذلك، هذه النتيجة أدق من هذه القاعدة العامة . على سبيل المثال، إذا كانت _Δ = 1 /e⁴ ₌ ^1.8 % ، فإن شرط زمن الاستقرار هو tₛ = _8τ₂ .       

بشكل عام، يحدد التحكم في التجاوز نسبة الثابت الزمني، ويحدد زمن الاستقرار t _S قيمة  τ _2. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

تعتمد هذه الطريقة على النقاط المهمة لاستجابة الخطوة. ولا حاجة لتخمين المماسات للإشارة المقاسة. تُشتق المعادلات باستخدام المحاكاة العددية، مع تحديد بعض النسب المهمة ومعاملات التوفيق للمعادلات غير الخطية. انظر أيضًا ^{[ 8 ] .}

إليك الخطوات:

• قياس استجابة النظام للخطوة${\displaystyle y(t)}$نظام مع إشارة دخل متدرجة${\displaystyle x(t)}$.
• حدد الفترات الزمنية${\displaystyle t_{25}}$و${\displaystyle t_{75}}$حيث تصل استجابة الخطوة إلى 25% و75% من قيمة خرج الحالة المستقرة.
• حدد كسب النظام في حالة الاستقرار${\displaystyle k=A_{0}}$مع${\displaystyle k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• احسب$${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$$$${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$$$${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$$
• حدد ثابتَي الزمن$${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$$$${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$$
• احسب دالة التحويل للنظام المحدد ضمن مجال لابلاس$${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$$

بعد ذلك، يرتبط اختيار نسبة القطبين τ₁ _/ τ₂ _{بهامش الطور لمضخم التغذية الراجعة.} ^{[ 9 ]} يتم اتباع الإجراء الموضح في مقالة مخطط بود . يوضح الشكل 5 مخطط كسب بود لمضخم ثنائي القطب في نطاق الترددات حتى موضع القطب الثاني. يفترض الشكل 5 أن التردد f₀ _ديسيبل يقع بين أدنى قطب عند f₁ = ₁  /(2πτ₁ ₎ والقطب الثاني عند f₂ = ₁ /(2πτ₂ _{) .} وكما هو موضح في الشكل 5، يتحقق هذا الشرط لقيم α ≥ 1.       

باستخدام الشكل 5، يتم إيجاد التردد (المشار إليه بـ f _{0  dB} ) حيث يحقق كسب الحلقة β A ₀ شرط الكسب الواحد أو 0  ديسيبل، كما هو محدد بواسطة:

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

ميل الجزء الهابط من منحنى الكسب هو (20  ديسيبل/عقد)؛ لكل زيادة بمقدار عشرة أضعاف في التردد، ينخفض ​​الكسب بنفس النسبة:

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

هامش الطور هو انحراف الطور عند التردد f _{0  ديسيبل} عن -180 درجة. وبالتالي، يكون الهامش كما يلي:

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

بما أن _f₀dB / f₁ ₌ βA₀ ≫ ₁ ، فإن الحد في _f₁ يساوي 90°. وهذا _يجعل هامش الطور:    

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}}$

على وجه الخصوص، في حالة α = 1، φ _m = 45°، وفي حالة α = 2، φ _m = 63.4°. يوصي سانسن ^{[ 10 ]} بـ α = 3، φ _m = 71.6° كـ "وضع أمان جيد للبدء به".

إذا زادت قيمة α بتقصير τ₂ _{، فإن} زمن الاستقرار tₛ يقل أيضًا. أما إذا زادت _قيمة α بإطالة τ₁ ، _فإن زمن الاستقرار tₛ لا يتغير كثيرًا. وفي أغلب الأحيان، تتغير كلتا القيمتين _τ₁ و τ₂ ، _على سبيل المثال عند استخدام تقنية تقسيم الأقطاب .

على سبيل المثال، بالنسبة للمضخم الذي يحتوي على أكثر من قطبين، لا يزال من الممكن جعل مخطط الشكل 5 متوافقًا مع مخططات بود عن طريق جعل f ₂ معلمة ملائمة، يشار إليها باسم موضع "القطب الثاني المكافئ". ^{[ 11 ]}