التناظر العكسي
معيار التناظر العكسي هو معيار لنظام التصويت ينص على أنه إذا انعكست آراء جميع الناخبين تمامًا بشأن كل مرشح (أي أنهم يرتبون المرشحين من الأسوأ إلى الأفضل)، فيجب أن تنعكس نتيجة الانتخابات أيضًا، أي يجب أن يتبادل الفائزان بالمركزين الأول والأخير. [ 1 ] بعبارة أخرى، لا ينبغي أن تعتمد نتائج الانتخابات بشكل تعسفي على ما إذا كان الناخبون يرتبون المرشحين من الأفضل إلى الأسوأ (ثم يختارون أفضل مرشح)، أو ما إذا طُلب منهم ترتيب المرشحين من الأسوأ إلى الأفضل (ثم يختارون أقلهم سوءًا).
ثمة طريقة أخرى مكافئة لتبرير هذا المعيار، وهي القول بأن نظام التصويت لا ينبغي له أبدًا أن ينتخب أسوأ مرشح، وفقًا للمنهج نفسه (إذ يوحي ذلك بأن المنهج، بمعنى ما، متناقض مع نفسه). ويمكن تحديد أسوأ مرشح عن طريق عكس جميع أوراق الاقتراع (لترتيب المرشحين من الأسوأ إلى الأفضل) ثم تشغيل الخوارزمية للعثور على أسوأ مرشح واحد. [ 2 ]
تُعرف الحالات التي يُنتخب فيها المرشح نفسه عند عكس جميع الأصوات أحيانًا باسم مفارقة "الأفضل هو الأسوأ" ، ويمكن أن تحدث في نظام التصويت الفوري ونظام التصويت المصغر الأقصى . تشمل الطرق التي تحقق تناظر الانعكاس: عدّ بوردا ، والأزواج المرتبة ، وكيميني-يونغ ، وشولتز . كما أن معظم أنظمة التصويت القائمة على التقييم ، بما في ذلك التصويت بالموافقة والتصويت بالنقاط ، تحقق هذا المعيار أيضًا.
أمثلة
التصويت الفوري
لنفترض نظامًا تفضيليًا حيث يعبر 11 ناخبًا عن تفضيلاتهم على النحو التالي:
- يفضل 5 ناخبين الخيار أ، ثم الخيار ب، ثم الخيار ج.
- أربعة ناخبين يفضلون الخيار ب، ثم ج، ثم أ
- يفضل ناخبان الخيار ج، ثم الخيار أ، ثم الخيار ب.
بحسب نظام بوردا، سيحصل المرشح أ على 23 نقطة (5×3+4×1+2×2)، وسيحصل المرشح ب على 24 نقطة، وسيحصل المرشح ج على 19 نقطة، وبالتالي سيفوز المرشح ب. أما في جولة الإعادة الفورية، فسيتم استبعاد المرشح ج في الجولة الأولى، وسيفوز المرشح أ في الجولة الثانية بسبعة أصوات مقابل أربعة.
والآن، عكس التفضيلات:
- يفضل 5 ناخبين الخيار ج، ثم الخيار ب، ثم الخيار أ.
- أربعة ناخبين يفضلون الخيار أ، ثم الخيار ج، ثم الخيار ب.
- يفضل ناخبان الخيار ب، ثم الخيار أ، ثم الخيار ج.
بحسب نظام بوردا، سيحصل المرشح أ على 21 نقطة (5×1+4×3+2×2)، وسيحصل المرشح ب على 20 نقطة، وسيحصل المرشح ج على 25 نقطة، وبالتالي سيفوز المرشح ج هذه المرة. أما في نظام الإعادة الفورية، فسيتم استبعاد المرشح ب في الجولة الأولى، وسيفوز المرشح أ في الجولة الثانية، كما في السابق، بأغلبية 6 أصوات مقابل 5.
مينيمكس
يوضح هذا المثال أن طريقة مينيمكس تنتهك معيار التناظر العكسي. لنفترض وجود أربعة مرشحين أ، ب، ج، د، و14 ناخبًا لديهم التفضيلات التالية:
| عدد الناخبين | التفضيلات |
|---|---|
| 4 | أ > ب > د > ج |
| 4 | ب > ج > أ > د |
| 2 | ج > د > أ > ب |
| 1 | د > أ > ب > ج |
| 1 | د > ب > ج > أ |
| 2 | د > ج > أ > ب |
بما أن جميع التفضيلات عبارة عن تصنيفات صارمة (لا يوجد تساوي)، فإن جميع طرق Minimax الثلاث (الأصوات الفائزة، والهوامش، والمقابلة الزوجية) تنتخب نفس الفائزين.
والآن، تم تحديد الفائزين في الترتيب العادي والترتيب المعكوس.
ترتيب طبيعي
| عدد الناخبين | التفضيلات |
|---|---|
| 4 | أ > ب > د > ج |
| 4 | ب > ج > أ > د |
| 2 | ج > د > أ > ب |
| 1 | د > أ > ب > ج |
| 1 | د > ب > ج > أ |
| 2 | د > ج > أ > ب |
سيتم تجميع النتائج في جدول على النحو التالي:
| X | |||||
| أ | ب | ج | د | ||
| Y | أ | [X] 5 [Y] 9 | [X] 9 [Y] 5 | [X] 6 [Y] 8 | |
| ب | [X] 9 [Y] 5 | [X] 4 [Y] 10 | [X] 6 [Y] 8 | ||
| ج | [X] 5 [Y] 9 | [X] 10 [Y] 4 | [X] 8 [Y] 6 | ||
| د | [X] 8 [Y] 6 | [X] 8 [Y] 6 | [X] 6 [Y] 8 | ||
| نتائج الانتخابات الثنائية (فوز - تعادل - خسارة): | 2-0-1 | 2-0-1 | 1-0-2 | 1-0-2 | |
| أسوأ هزيمة ثنائية (الأصوات الفائزة): | 9 | 9 | 10 | 8 | |
| أسوأ هزيمة ثنائية (الهوامش): | 4 | 4 | 6 | 2 | |
| أسوأ مواجهة ثنائية: | 9 | 9 | 10 | 8 | |
- يشير الرمز [X] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان العمود على المرشح المذكور في عنوان الصف
- يشير الرمز [Y] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان الصف على المرشح المذكور في عنوان العمود.
النتيجة : يشكّل المرشحون أ، ب، وج حلقةً بهزائم واضحة. يستفيد د من ذلك لأن هزيمتيه متقاربتان نسبيًا، وبالتالي فإن أكبر هزيمة له هي الأقرب بين جميع المرشحين. لذلك، يُنتخب د فائزًا في نظام مينيمكس.
ترتيب معكوس
| عدد الناخبين | التفضيلات |
|---|---|
| 4 | ج > د > ب > أ |
| 4 | د > أ > ج > ب |
| 2 | ب > أ > د > ج |
| 1 | ج > ب > أ > د |
| 1 | أ > ج > ب > د |
| 2 | ب > أ > ج > د |
سيتم تجميع النتائج في جدول على النحو التالي:
| X | |||||
| أ | ب | ج | د | ||
| Y | أ | [X] 9 [Y] 5 | [X] 5 [Y] 9 | [X] 8 [Y] 6 | |
| ب | [X] 5 [Y] 9 | [X] 10 [Y] 4 | [X] 8 [Y] 6 | ||
| ج | [X] 9 [Y] 5 | [X] 4 [Y] 10 | [X] 6 [Y] 8 | ||
| د | [X] 6 [Y] 8 | [X] 6 [Y] 8 | [X] 8 [Y] 6 | ||
| نتائج الانتخابات الثنائية (فوز - تعادل - خسارة): | 1-0-2 | 1-0-2 | 2-0-1 | 2-0-1 | |
| أسوأ هزيمة ثنائية (الأصوات الفائزة): | 9 | 10 | 9 | 8 | |
| أسوأ هزيمة ثنائية (الهوامش): | 4 | 6 | 4 | 2 | |
| أسوأ مواجهة ثنائية: | 9 | 10 | 9 | 8 | |
النتيجة : لا يزال المرشحون أ، ب، وج يشكلون حلقةً بهزائم واضحة. لذلك، فإن أكبر هزيمة للمرشح د هي الأقرب بين جميع المرشحين، ويُنتخب د فائزًا في نظام مينيمكس.
خاتمة
يُعتبر الخيار D هو الفائز وفقًا لمعيار Minimax باستخدام ترتيب التفضيل العادي، وكذلك باستخدام أوراق الاقتراع ذات ترتيب التفضيل المعكوس. وبالتالي، فإن معيار Minimax لا يستوفي شرط التناظر العكسي.
التصويت بالأغلبية
يوضح هذا المثال أن التصويت بالأغلبية يخالف معيار التناظر العكسي. لنفترض وجود ثلاثة مرشحين أ، ب، ج، وأربعة ناخبين لديهم التفضيلات التالية:
| عدد الناخبين | التفضيلات |
|---|---|
| 1 | أ > ب > ج |
| 1 | ج > ب > أ |
| 1 | ب > أ > ج |
| 1 | ج > أ > ب |
لاحظ أن عكس جميع أوراق الاقتراع يؤدي إلى نفس مجموعة أوراق الاقتراع، لأن ترتيب تفضيل الناخب الأول المعكوس يشبه ترتيب تفضيل الناخب الثاني، وكذلك الحال بالنسبة للناخبين الثالث والرابع.
فيما يلي يتم تحديد الفائز بالأغلبية. تحتوي بطاقات الاقتراع للأغلبية على المرشح المفضل الوحيد فقط:
| عدد الناخبين | مفضل |
|---|---|
| 1 | أ |
| 1 | ب |
| 2 | ج |
النتيجة : حصل المرشحان أ و ب على صوت واحد لكل منهما، بينما حصل المرشح ج على أغلبية صوتين (50%). وبذلك، تم انتخاب ج فائزاً بالأغلبية.
فاز المرشح ج بالأغلبية باستخدام أوراق الاقتراع العادية وكذلك باستخدام ورقة الاقتراع المعكوسة. وبالتالي، فإن الأغلبية لا تستوفي معيار التناظر العكسي.
لاحظ أن كل نظام تصويت يفي بمعيار التناظر العكسي يجب أن يؤدي إلى التعادل في هذا المثال (كما هو الحال في كل مثال تكون فيه مجموعة أوراق الاقتراع المعكوسة هي نفسها مجموعة أوراق الاقتراع العادية).
نظام التصويت بالنجوم (STAR)
يُظهر هذا المثال أن نظام STAR يُخالف معيار التناظر العكسي. في ورقة الاقتراع، تُحسب النتيجة المعكوسة بطرح النتيجة العادية من أعلى نتيجة ممكنة.
الدرجة المعيارية
بافتراض وجود انتخابات تضم ثلاثة مرشحين بين المرشحين أ ، ب ، وج :
| مُرَشَّح | بطاقات الاقتراع | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| أ | 5 | 5 | 2 | 2 | 2 |
| ب | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 |
| ج | 1 | 1 | 2 | 0 | 4 |
النتائج مُدرجة في الجدول أدناه:
| مُرَشَّح | النتيجة الإجمالية | المفضل مقابل | ||
|---|---|---|---|---|
| أ | ب | ج | ||
| أ | 16 | -- | 2 | 3 |
| ب | 9 | 3 | -- | 2 |
| ج | 8 | 1 | 3 | -- |
النتيجة: في الانتخابات، حصل المرشحان (أ) و (ب) على أعلى الدرجات، وتأهلا إلى جولة الإعادة. فاز (ب) بحصوله على ثلاثة أصوات مقابل صوتين لـ(أ) .
النتيجة المعكوسة
يؤدي عكس نتائج التصويت عن طريق طرح كل درجة من 5 (الدرجة القصوى في نظام STAR) إلى ما يلي:
| مُرَشَّح | بطاقات الاقتراع | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| أ | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 |
| ب | 5 | 5 | 2 | 2 | 2 |
| ج | 4 | 4 | 3 | 5 | 1 |
النتائج مُدرجة في الجدول أدناه:
| مُرَشَّح | النتيجة الإجمالية | المفضل مقابل | ||
|---|---|---|---|---|
| أ | ب | ج | ||
| أ | 9 | -- | 3 | 1 |
| ب | 16 | 2 | -- | 3 |
| ج | 17 | 3 | 2 | -- |
النتيجة: في الاقتراع المعكوس، حصل كل من B و C على أعلى مجموع نقاط، وفاز B بتفضيله على C بثلاثة أصوات مقابل صوتين.
مراجع
- ↑ ساري، دونالد ج. (2012-12-06). هندسة التصويت . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-642-48644-9.
- ↑ شولتز، ماركوس (2024-03-03)، طريقة شولتز للتصويت ، arXiv : 1804.02973 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-07-27
- معايير النظام الانتخابي