ميني ماكس

Minimax (أحيانًا Minmax أو MM ^[1] أو نقطة السرج ^[2] ) هي قاعدة قرار تُستخدم في الذكاء الاصطناعي ونظرية القرار ونظرية اللعبة والإحصاء والفلسفة لتقليل الخسارة المحتملة في أسوأ سيناريو ( أقصى خسارة) . عند التعامل مع المكاسب، يُشار إليها باسم "maximin" - لتعظيم الحد الأدنى من المكسب. صيغت في الأصل لنظرية اللعبة ذات المجموع الصفري لعدة لاعبين ، والتي تغطي كل من الحالات التي يتخذ فيها اللاعبون حركات بديلة وتلك التي يقومون فيها بحركات متزامنة، وقد تم تمديدها أيضًا إلى ألعاب أكثر تعقيدًا وإلى اتخاذ القرار العام في وجود عدم اليقين.

القيمة القصوى هي أعلى قيمة يمكن للاعب التأكد من الحصول عليها دون معرفة تصرفات اللاعبين الآخرين؛ وعلى نحو مكافئ، فهي أقل قيمة يمكن للاعبين الآخرين إجبار اللاعب على تلقيها عندما يعرفون تصرف اللاعب. تعريفها الرسمي هو: ^[3]

${\displaystyle {\underline {v_{i}}}=\max _{a_{i}}\min _{a_{-i}}{v_{i}(a_{i},a_{-i})}}$

أين:

• i هو مؤشر اللاعب المطلوب.
• ${\displaystyle -i}$يشير إلى جميع اللاعبين الآخرين باستثناء اللاعب الأول .
• ${\displaystyle a_{i}}$هو الإجراء الذي اتخذه اللاعب i .
• ${\displaystyle a_{-i}}$يشير إلى الإجراءات التي اتخذها جميع اللاعبين الآخرين.
• ${\displaystyle v_{i}}$هي دالة القيمة للاعب i .

يتم حساب القيمة القصوى للاعب وفقًا لنهج أسوأ الحالات: لكل إجراء ممكن للاعب، نتحقق من جميع الإجراءات الممكنة للاعبين الآخرين ونحدد أسوأ مجموعة ممكنة من الإجراءات - تلك التي تمنح اللاعب i أصغر قيمة. بعد ذلك، نحدد الإجراء الذي يمكن للاعب i اتخاذه للتأكد من أن هذه القيمة الأصغر هي أعلى قيمة ممكنة.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك اللعبة التالية للاعبين اثنين، حيث يمكن للاعب الأول ("لاعب الصف") اختيار أي من ثلاث حركات، تسمى T أو M أو B ، ويمكن للاعب الثاني ("لاعب العمود") اختيار أي من حركتين، L أو R. يتم التعبير عن نتيجة الجمع بين الحركتين في جدول المكافآت:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\hline &L&R\\\hline T&3,1&2,-20\\M&5,0&-10,1\\B&-100,2&4,4\\\hline \end{array}}}$

(حيث الرقم الأول في كل خلية هو المبلغ الذي يدفعه لاعب الصف والرقم الثاني هو المبلغ الذي يدفعه لاعب العمود).

على سبيل المثال، نأخذ في الاعتبار الاستراتيجيات البحتة فقط . نتحقق من كل لاعب بدوره:

• يمكن للاعب الصف أن يلعب T ، مما يضمن له مكافأة لا تقل عن2 (اللعب ب هو أمر محفوف بالمخاطر لأنه يمكن أن يؤدي إلى المكافأة−100 ، ولعب M يمكن أن يؤدي إلى مكافأة قدرها-10 ). وبالتالي: .${\displaystyle {\underline {v_{row}}}=2}$
• يمكن للاعب العمود أن يلعب L ويحصل على مكافأة لا تقل عن0 (اللعب بـ R يعرضهم لخطر الحصول على ). وبالتالي: .${\displaystyle -20}$${\displaystyle {\underline {v_{col}}}=0}$

إذا لعب كلا اللاعبين استراتيجيات الحد الأقصى الخاصة بهم ، فإن متجه العائد هو . ${\displaystyle (T,L)}$${\displaystyle (3,1)}$

القيمة الدنيا القصوى للاعب هي أصغر قيمة يمكن للاعبين الآخرين إجبار اللاعب على تلقيها، دون معرفة تصرفات اللاعب؛ وعلى نحو مكافئ، فهي أكبر قيمة يمكن للاعب التأكد من الحصول عليها عندما يعرف تصرفات اللاعبين الآخرين. تعريفها الرسمي هو: ^[3]

${\displaystyle {\overline {v_{i}}}=\min _{a_{-i}}\max _{a_{i}}{v_{i}(a_{i},a_{-i})}}$

التعريف مشابه جدًا لتعريف القيمة القصوى - فقط ترتيب مشغلي الحد الأقصى والحد الأدنى هو العكسي. في المثال أعلاه:

• يمكن للاعب الصف الحصول على قيمة قصوى تبلغ 4 (إذا لعب اللاعب الآخر R ) أو5 (إذا لعب اللاعب الآخر L )، إذن:${\displaystyle {\overline {v_{row}}}=4\ .}$
• يمكن للاعب العمود الحصول على قيمة قصوى تبلغ 1 (إذا لعب اللاعب الآخر T )،1 (إذا كان م ) أو4 (إذا كان ب ). وبالتالي:${\displaystyle {\overline {v_{col}}}=1\ .}$

بالنسبة لكل لاعب i ، الحد الأقصى هو الحد الأدنى على الأكثر:

${\displaystyle {\underline {v_{i}}}\leq {\overline {v_{i}}}}$

بديهيًا، في التعظيم يأتي التعظيم بعد التقليل، لذلك يحاول اللاعب الأول تعظيم قيمته قبل معرفة ما سيفعله الآخرون؛ في التعظيم الأدنى يأتي التعظيم قبل التقليل، لذلك يكون اللاعب الأول في وضع أفضل بكثير - فهو يزيد من قيمته مع العلم بما فعله الآخرون.

هناك طريقة أخرى لفهم التدوين وهي القراءة من اليمين إلى اليسار: عندما نكتب

${\displaystyle {\overline {v_{i}}}=\min _{a_{-i}}\max _{a_{i}}{v_{i}(a_{i},a_{-i})}=\min _{a_{-i}}{\Big (}\max _{a_{i}}{v_{i}(a_{i},a_{-i})}{\Big )}}$

تعتمد المجموعة الأولية من النتائج على كل من و نقوم أولاً بتهميش ، عن طريق تعظيم أكثر من (لكل قيمة ممكنة لـ ) لإنتاج مجموعة من النتائج الهامشية التي تعتمد فقط على ثم نقوم بتقليل أكثر من هذه النتائج. (وعلى العكس من ذلك بالنسبة لتعظيم أكثر من). ${\displaystyle \v_{i}(a_{i},a_{-i})\ }$${\displaystyle \ {a_{i}}\ }$${\displaystyle \ {a_{-i}}\ .}$ ${\displaystyle {a_{i}}}$${\displaystyle v_{i}(a_{i},a_{-i})}$${\displaystyle \ {a_{i}}\ }$${\displaystyle {a_{-i}}}$${\displaystyle \v'_{i}(a_{-i})\,,}$${\displaystyle \ {a_{-i}}\ .}$${\displaystyle \ {a_{-i}}\ }$

على الرغم من أن الحال دائمًا هي أن ومتجه العائد الناتج عن قيام كلا اللاعبين بتشغيل استراتيجيات الحد الأدنى والحد الأقصى الخاصة بهم، في حالة أو في حالة لا يمكن تصنيفهما بشكل مماثل مقابل متجه العائد الناتج عن قيام كلا اللاعبين بتشغيل استراتيجيات الحد الأقصى الخاصة بهم. ${\displaystyle \ {\underline {v_{row}}}\leq {\overline {v_{row}}}\ }$${\displaystyle \ {\underline {v_{col}}}\leq {\overline {v_{col}}}\,,}$${\displaystyle \(2,-20)\ }$${\displaystyle \(T,R)\ }$${\displaystyle (-10,1)}$${\displaystyle \(M,R)\,,}$${\displaystyle \(3,1)\ }$

في ألعاب المحصلة الصفرية التي يلعبها لاعبين اثنين ، يكون حل الحد الأدنى هو نفسه توازن ناش .

في سياق ألعاب المحصلة الصفرية، فإن نظرية الحد الأدنى تعادل: ^{[4] [ فشل التحقق ]}

بالنسبة لكل لعبة محصلتها صفر بين شخصين مع عدد محدود من الاستراتيجيات، توجد قيمة V واستراتيجية مختلطة لكل لاعب، بحيث

(أ) بالنظر إلى استراتيجية اللاعب 2، فإن أفضل مكافأة ممكنة للاعب 1 هي V ، و

(ب) بالنظر إلى استراتيجية اللاعب 1، فإن أفضل مكافأة ممكنة للاعب 2 هي − V.

على نحو مماثل، تضمن استراتيجية اللاعب 1 له مكافأة قدرها V بغض النظر عن استراتيجية اللاعب 2، وبالمثل يمكن للاعب 2 أن يضمن لنفسه مكافأة قدرها − V . ينشأ اسم minimax لأن كل لاعب يقلل من الحد الأقصى للمكافأة الممكنة للآخر - نظرًا لأن اللعبة هي محصلتها صفرية، فإنهم يقللون أيضًا من خسارتهم القصوى (أي، يزيدون من الحد الأدنى لمكافأة لهم). انظر أيضًا مثالًا للعبة بدون قيمة .

مصفوفة المكافآت للاعب أ

	ب يختار ب1	ب يختار ب2	ب يختار ب3
أ يختار أ1	+3	-2	+2
أ يختار أ2	-1	+ 0	+4
أ يختار أ3	-4	-3	+1

يوضح المثال التالي للعبة محصلتها صفر، حيث يقوم A و B بحركات متزامنة، حلول الحد الأقصى . افترض أن كل لاعب لديه ثلاثة خيارات وفكر في مصفوفة العائد لـ A المعروضة على الطاولة ("مصفوفة العائد للاعب A"). افترض أن مصفوفة العائد لـ B هي نفس المصفوفة مع عكس الإشارات (أي، إذا كانت الخيارات هي A1 وB1 فإن B يدفع 3 لـ A ). عندئذٍ، يكون الخيار الأقصى لـ A هو A2 لأن أسوأ نتيجة ممكنة هي الاضطرار إلى دفع 1، بينما يكون الخيار الأقصى البسيط لـ B هو B2 لأن أسوأ نتيجة ممكنة هي عدم الدفع. ومع ذلك، فإن هذا الحل غير مستقر، لأنه إذا اعتقد B أن A سيختار A2 فإن B سيختار B1 ليكسب 1؛ ثم إذا اعتقد A أن B سيختار B1 فإن A سيختار A1 ليكسب 3؛ ثم سيختار B B2؛ وفي النهاية سيدرك كلا اللاعبين صعوبة اتخاذ الاختيار. لذا فإن هناك حاجة إلى استراتيجية أكثر استقرارًا.

بعض الخيارات تهيمن عليها خيارات أخرى ويمكن استبعادها: لن يختار أ 3 لأن إما أ1 أو أ2 سوف يعطي نتيجة أفضل، بغض النظر عما يختاره ب ؛ لن يختار ب ب3 لأن بعض الخلطات من ب1 وب2 سوف تعطي نتيجة أفضل، بغض النظر عما يختاره أ .

يمكن للاعب أ تجنب الاضطرار إلى إجراء دفعة متوقعة تزيد عن1/ 3 عن طريق اختيار A1 مع احتمالية1/ 6 و A2 مع احتمالية 5/ 6 : العائد المتوقعلـ A سيكون   3 ×1/ 6 − 1 ×5/ 6 = −​+1/ 3   في حالة اختيار B لـ B1 و   −2 ×1/6 + 0 ×5/ 6 = −​+1/ 3   في حالة اختيار B لـ B2، يمكن لـ B ضمان مكسب متوقع لا يقل عن1/ 3 ⁠ ، بغض النظر عما يختاره A ، باستخدام استراتيجية عشوائية لاختيار B1 باحتمالية ⁠1/ 3 و B2 مع احتمالية2/ 3 لا يمكن تحسين هذه الاستراتيجيات المختلطة ذات الحد الأدنى الأقصى وهي الآن مستقرة.

في كثير من الأحيان، في نظرية الألعاب، يختلف الحد الأقصى عن الحد الأدنى. يستخدم الحد الأدنى في الألعاب ذات المحصلة الصفرية للإشارة إلى تقليل الحد الأقصى لمكافأة الخصم. في لعبة محصلتها الصفرية ، يكون هذا مماثلاً لتقليل الحد الأقصى لخسارة المرء، وتعظيم الحد الأدنى لربح المرء.

"Maximin" هو مصطلح يستخدم عادة في الألعاب التي لا يكون مجموعها صفرًا لوصف الإستراتيجية التي تعمل على تعظيم الحد الأدنى من العائد الخاص باللاعب. في الألعاب التي لا يكون مجموعها صفرًا، لا يكون هذا هو نفس تقليل الحد الأقصى لربح الخصم، ولا هو نفس إستراتيجية توازن ناش .

تعتبر قيم الحد الأدنى للقيمة القصوى مهمة جدًا في نظرية الألعاب المتكررة . تعتمد إحدى النظريات المركزية في هذه النظرية، وهي نظرية الفولكلور ، على قيم الحد الأدنى للقيمة القصوى.

في نظرية الألعاب التركيبية ، هناك خوارزمية الحد الأدنى الأقصى لحلول اللعبة.

تتعامل نسخة بسيطة من خوارزمية ميني ماكس ، الموضحة أدناه، مع ألعاب مثل لعبة إكس أو ، حيث يمكن لكل لاعب الفوز أو الخسارة أو التعادل. إذا كان بإمكان اللاعب أ الفوز في حركة واحدة، فإن أفضل حركته هي تلك الحركة الفائزة. إذا كان اللاعب ب يعرف أن حركة واحدة ستؤدي إلى الموقف الذي يمكن فيه للاعب أ الفوز في حركة واحدة، بينما ستؤدي حركة أخرى إلى الموقف الذي يمكن فيه للاعب أ، في أفضل الأحوال، التعادل، فإن أفضل حركة للاعب ب هي تلك التي تؤدي إلى التعادل. في وقت متأخر من اللعبة، من السهل معرفة ما هي الحركة "الأفضل". تساعد خوارزمية ميني ماكس في العثور على أفضل حركة، من خلال العمل للخلف من نهاية اللعبة. في كل خطوة، تفترض أن اللاعب أ يحاول تعظيم فرص فوز أ، بينما في الدور التالي يحاول اللاعب ب تقليل فرص فوز أ (أي تعظيم فرص فوز ب).

خوارزمية الحد الأدنى ^{[5] هي} خوارزمية متكررة لاختيار الحركة التالية في لعبة بها n لاعب ، وعادة ما تكون لعبة بها لاعبين. ترتبط القيمة بكل موضع أو حالة في اللعبة. يتم حساب هذه القيمة عن طريق دالة تقييم الموضع وتشير إلى مدى جودة وصول اللاعب إلى هذا الموضع. ثم يقوم اللاعب بالحركة التي تعظم الحد الأدنى لقيمة الموضع الناتج عن الحركات التالية المحتملة للخصم. إذا جاء دور A للتحرك، فإن A يعطي قيمة لكل من تحركاته القانونية.

تتمثل إحدى طرق التخصيص الممكنة في تعيين فوز معين لـ A على أنه +1 و لـ B على أنه −1. وهذا يؤدي إلى نظرية اللعبة التوليفية كما طورها جون إتش كونواي . البديل هو استخدام قاعدة مفادها أنه إذا كانت نتيجة الحركة فوزًا فوريًا لـ A ، يتم تعيينها إلى ما لا نهاية موجبة وإذا كانت فوزًا فوريًا لـ B ، يتم تعيينها إلى ما لا نهاية سالبة. قيمة A لأي حركة أخرى هي الحد الأقصى للقيم الناتجة عن كل من إجابات B المحتملة. لهذا السبب، يُطلق على A اسم اللاعب الذي يحقق أقصى استفادة ويُطلق على B اسم اللاعب الذي يحقق أقل استفادة ، ومن هنا جاء اسم خوارزمية minimax . ستعين الخوارزمية أعلاه قيمة ما لا نهاية موجبة أو سالبة لأي موضع لأن قيمة كل موضع ستكون قيمة بعض المواضع الفائزة أو الخاسرة النهائية. غالبًا ما يكون هذا ممكنًا بشكل عام فقط في نهاية الألعاب المعقدة مثل الشطرنج أو الغو ، نظرًا لأنه ليس من الممكن حسابيًا التطلع إلى الأمام فيما يتعلق بإكمال اللعبة، إلا نحو النهاية، وبدلاً من ذلك، يتم إعطاء المواقف قيمًا محدودة كتقديرات لدرجة الاعتقاد بأنها ستؤدي إلى فوز لاعب أو آخر.

يمكن توسيع هذا إذا تمكنا من توفير دالة تقييم استدلالية تعطي قيمًا لحالات اللعبة غير النهائية دون النظر في جميع التسلسلات الكاملة التالية المحتملة. يمكننا بعد ذلك تقييد خوارزمية الحد الأدنى للنظر فقط إلى عدد معين من التحركات للأمام. يُطلق على هذا الرقم "النظرة المستقبلية"، ويقاس بـ " الطبقات ". على سبيل المثال، نظر كمبيوتر الشطرنج Deep Blue (أول كمبيوتر يهزم بطل العالم الحالي، غاري كاسباروف في ذلك الوقت) للأمام على الأقل 12 طبقًا، ثم طبق دالة تقييم استدلالية. ^[6]

يمكن اعتبار الخوارزمية بمثابة استكشاف لعقد شجرة اللعبة . عامل التفرع الفعال للشجرة هو متوسط ​​عدد أبناء كل عقدة (أي متوسط ​​عدد التحركات القانونية في وضع ما). عادةً ما يزداد عدد العقد المراد استكشافها بشكل كبير مع عدد الطبقات (يكون أقل من الأسي إذا تم تقييم التحركات القسرية أو المواقف المتكررة). وبالتالي فإن عدد العقد المراد استكشافها لتحليل اللعبة هو تقريبًا عامل التفرع مرفوعًا إلى قوة عدد الطبقات. لذلك من غير العملي تحليل ألعاب مثل الشطرنج تمامًا باستخدام خوارزمية مينيماكس.

يمكن تحسين أداء خوارزمية الحد الأدنى الساذج بشكل كبير، دون التأثير على النتيجة، من خلال استخدام التقليم ألفا-بيتا . يمكن أيضًا استخدام طرق تقليم استدلالية أخرى، ولكن لا يُضمن أن تعطي جميعها نفس النتيجة مثل البحث غير المنقوص.

من الممكن تعديل خوارزمية الحد الأدنى الساذجة بسهولة لإرجاع متغير أساسي كامل بالإضافة إلى درجة الحد الأدنى.

يرد أدناه الكود الزائف لخوارزمية الحد الأدنى للعمق المحدود.

دالة minimax(node, depth, maximizingPlayer) هي 
    إذا كان العمق = 0 أو كانت node عبارة عن عقدة طرفية، ثم 
        قم بإرجاع القيمة الاستدلالية لـ node
     إذا كانت maximizingPlayer ثم
        القيمة := −∞
        لكل طفل من العقدة افعل
            القيمة := الحد الأقصى (القيمة، الحد الأدنى الأقصى (الطفل، العمق − 1، خطأ))
        قيمة
     الإرجاع وإلا  (* تقليل عدد اللاعبين *)
        القيمة := +∞
        لكل طفل من العقدة افعل
            القيمة := الحد الأدنى (القيمة، الحد الأدنى الأقصى (الطفل، العمق − 1، صحيح))
        قيمة
 العودة

(*المكالمة الأولية*)
الحد الأدنى (الأصل، العمق، صحيح)

تعيد دالة minimax قيمة استدلالية لعقد الأوراق (العقد الطرفية والعقد عند أقصى عمق بحث). ترث العقد غير الورقية قيمتها من عقدة ورقية سفلية. القيمة الاستدلالية هي نتيجة تقيس مدى ملاءمة العقدة للاعب الذي يحقق أقصى قدر من الربح. وبالتالي فإن العقد التي تؤدي إلى نتيجة مواتية، مثل الفوز، للاعب الذي يحقق أقصى قدر من الربح، يكون لها درجات أعلى من العقد الأكثر ملاءمة للاعب الذي يحقق أقصى قدر من الربح. القيمة الاستدلالية لعقد الأوراق الطرفية (نهاية اللعبة) هي درجات تتوافق مع الفوز أو الخسارة أو التعادل للاعب الذي يحقق أقصى قدر من الربح. بالنسبة للعقد غير الطرفية الورقية عند أقصى عمق بحث، تقوم دالة التقييم بتقدير قيمة استدلالية للعقدة. تحدد جودة هذا التقدير وعمق البحث جودة ودقة النتيجة النهائية لـ minimax.

تتعامل Minimax مع اللاعبين (لاعب التعظيم ولاعب التصغير) بشكل منفصل في الكود الخاص بها. استنادًا إلى الملاحظة التي مفادها أن Minimax يمكن تبسيطه غالبًا إلى خوارزمية negamax . ${\displaystyle \ \max(a,b)=-\min(-a,-b)\ ,}$

لنفترض أن اللعبة التي يتم لعبها تحتوي على حد أقصى من حركتين ممكنتين لكل لاعب في كل دورة. تقوم الخوارزمية بإنشاء الشجرة على اليمين، حيث تمثل الدوائر تحركات اللاعب الذي يقوم بتشغيل الخوارزمية ( لاعب التعظيم )، وتمثل المربعات تحركات الخصم ( لاعب التصغير ). ونظرًا لمحدودية موارد الحساب، كما هو موضح أعلاه، تقتصر الشجرة على نظرة مستقبلية لأربع تحركات.

تقوم الخوارزمية بتقييم كل عقدة ورقية باستخدام دالة تقييم استدلالية، والحصول على القيم الموضحة. يتم تعيين الحركات التي يفوز فيها اللاعب الذي يحقق أقصى قدر من الربح بما لا نهاية موجبة، بينما يتم تعيين الحركات التي تؤدي إلى فوز اللاعب الذي يحقق أقل قدر من الربح بما لا نهاية سالبة. في المستوى 3، ستختار الخوارزمية، لكل عقدة، أصغر قيم العقد الفرعية ، وتعينها لنفس العقدة (على سبيل المثال، ستختار العقدة الموجودة على اليسار الحد الأدنى بين "10" و"+∞"، وبالتالي تعيين القيمة "10" لنفسها). تتكون الخطوة التالية، في المستوى 2، من اختيار أكبر قيم العقد الفرعية لكل عقدة . مرة أخرى، يتم تعيين القيم لكل عقدة رئيسية . تستمر الخوارزمية في تقييم القيم القصوى والدنيا للعقد الفرعية بالتناوب حتى تصل إلى العقدة الجذرية ، حيث تختار الحركة ذات القيمة الأكبر (الممثلة في الشكل بسهم أزرق). هذه هي الحركة التي يجب على اللاعب القيام بها لتقليل أقصى خسارة ممكنة .

تم توسيع نظرية الحد الأدنى لتشمل القرارات التي لا يوجد فيها لاعب آخر، ولكن حيث تعتمد عواقب القرارات على حقائق غير معروفة. على سبيل المثال، فإن اتخاذ قرار التنقيب عن المعادن يستلزم تكلفة، والتي ستضيع إذا لم تكن المعادن موجودة، ولكنها ستجلب مكافآت كبيرة إذا كانت موجودة. أحد الأساليب هو التعامل مع هذا الأمر باعتباره لعبة ضد الطبيعة (انظر التحرك بالطبيعة )، واستخدام عقلية مماثلة لقانون مورفي أو المقاومة ، واتخاذ نهج يقلل من الخسارة المتوقعة القصوى، باستخدام نفس التقنيات المستخدمة في ألعاب المجموع الصفري لشخصين.

بالإضافة إلى ذلك، تم تطوير أشجار expectiminimax ، للألعاب التي يلعبها لاعبين حيث يكون الحظ (على سبيل المثال، النرد) عاملاً.

في نظرية القرار الإحصائي الكلاسيكية ، لدينا مقدر يستخدم لتقدير معلمة ، ونفترض أيضًا دالة المخاطرة التي يتم تحديدها عادةً على أنها تكامل دالة الخسارة . في هذا الإطار، تسمى الحد الأدنى الأقصى إذا كانت تلبي ${\displaystyle \ \delta \ }$ ${\displaystyle \ \theta \in \Theta \ .}$ ${\displaystyle \ R(\theta ,\delta )\ .}$${\displaystyle \ {\tilde {\delta }}\ }$

${\displaystyle \sup _{\theta }R(\theta ,{\tilde {\delta }})=\inf _{\delta }\ \sup _{\theta }\ R(\theta ,\delta )\ .}$

المعيار البديل في إطار نظرية القرار هو مقدر بايز في وجود توزيع مسبق، ويكون المقدر بايز إذا كان يقلل من متوسط ​​المخاطر ${\displaystyle \Pi \ .}$

${\displaystyle \int _{\Theta }R(\theta ,\delta )\ \operatorname {d} \Pi (\theta )\ .}$

من السمات الرئيسية لاتخاذ القرارات باستخدام الحد الأدنى للقيمة هو عدم الاحتمالية: على النقيض من القرارات التي تستخدم القيمة المتوقعة أو المنفعة المتوقعة ، فإنه لا يفترض احتمالات النتائج المختلفة، بل تحليل السيناريوهات فقط لما قد تكون عليه النتائج المحتملة. وبالتالي فهو قوي في مواجهة التغييرات في الافتراضات، على النقيض من تقنيات اتخاذ القرار الأخرى هذه. توجد امتدادات مختلفة لهذا النهج غير الاحتمالي، ولا سيما الندم على الحد الأدنى للقيمة ونظرية قرار فجوة المعلومات .

علاوة على ذلك، لا يتطلب minimax سوى القياس الترتيبي (أن تتم مقارنة النتائج وترتيبها)، وليس القياسات الفاصلة (أن تتضمن النتائج "كم هي أفضل أو أسوأ")، ويعيد بيانات ترتيبية، باستخدام النتائج النموذجية فقط: استنتاج تحليل minimax هو: "هذه الاستراتيجية هي minimax، حيث تكون أسوأ حالة هي (النتيجة)، وهي أقل سوءًا من أي استراتيجية أخرى". قارن ذلك بتحليل القيمة المتوقعة، الذي يكون استنتاجه في النموذج: "هذه الاستراتيجية تسفر عن ℰ ( X ) = n ". وبالتالي يمكن استخدام Minimax على البيانات الترتيبية، ويمكن أن يكون أكثر شفافية.

يمكن النظر إلى مفهوم التصويت " الأقل شرًا " باعتباره شكلًا من أشكال استراتيجية الحد الأدنى حيث يختار الناخبون، عندما يواجهون مرشحين أو أكثر، الشخص الذي يرون أنه الأقل ضررًا أو "الأقل شرًا". للقيام بذلك، "لا ينبغي النظر إلى التصويت باعتباره شكلًا من أشكال التعبير الشخصي عن الذات أو الحكم الأخلاقي الموجه انتقامًا لمرشحي الحزب الرئيسي الذين يفشلون في عكس قيمنا، أو نظام فاسد مصمم لتقييد الخيارات بتلك المقبولة لدى النخب المؤسسية"، بل باعتباره فرصة لتقليل الضرر أو الخسارة. ^[7]

في الفلسفة، غالبًا ما يُستخدم مصطلح "تعظيم" في سياق نظرية العدالة لجون راولز ، حيث يشير إليه في سياق مبدأ الاختلاف . ^[8] عرّف راولز هذا المبدأ على أنه القاعدة التي تنص على أنه يجب ترتيب التفاوتات الاجتماعية والاقتصادية بحيث "تكون ذات فائدة أعظم للأعضاء الأقل امتيازًا في المجتمع". ^{[9] [10]}

• "مبدأ الحد الأدنى الأقصى"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• "استراتيجيات مختلطة". cut-the-knot.org . المنهج الدراسي: الألعاب.— أداة التصور المرئي
• "مبدأ ماكسيمين". قاموس المصطلحات والأسماء الفلسفية . مؤرشف من الأصل في 2006-03-07.
• "Minimax". قاموس الخوارزميات وهياكل البيانات . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا الأمريكي .