النقل ثنائي الإهليلجي

يمكن الحصول على التغيرات الثلاثة المطلوبة في السرعة مباشرة من معادلة السرعة الثابتة.$${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$$ أين

• ${\displaystyle v}$هي سرعة جسم يدور في مدار،
• ${\displaystyle \mu =GM}$هو المعامل القياسي للجاذبية للجسم الأساسي،
• ${\displaystyle r}$هي المسافة بين الجسم المداري والجسم الرئيسي، أي نصف القطر.
• ${\displaystyle a}$هو المحور شبه الرئيسي لمدار الجسم.

فيما يلي،

• ${\displaystyle r_{1}}$يمثل نصف قطر المدار الدائري الأولي،
• ${\displaystyle r_{2}}$يمثل نصف قطر المدار الدائري النهائي،
• ${\displaystyle r_{b}}$يمثل نصف قطر الأوج المشترك للقطع الناقصين للنقل، وهو معلمة حرة للمناورة.
• ${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{2}}$تمثل المحاور شبه الرئيسية لمدارَي النقل الإهليلجيين، واللذين يُعطيان بواسطة$${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}},}$$و$${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}.}$$

انطلاقاً من المدار الدائري الأولي بنصف قطر${\displaystyle r_{1}}$(الدائرة الزرقاء الداكنة في الشكل على اليمين)، يؤدي الاحتراق الأمامي (العلامة 1 في الشكل) إلى وضع المركبة الفضائية في مدار انتقالي بيضاوي الشكل (نصف بيضاوي أزرق فاتح). مقدار دلتا-في المطلوب لهذا الاحتراق هو $${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$$

عندما يتم الوصول إلى نقطة الأوج للقطع الناقص الأول للانتقال على مسافة معينة${\displaystyle r_{b}}$انطلاقًا من المدار الأساسي، يؤدي احتراقٌ ثانٍ باتجاه الأمام (العلامة 2) إلى رفع نقطة الحضيض لتتوافق مع نصف قطر المدار الدائري المستهدف، مما يضع المركبة الفضائية على مسار إهليلجي ثانٍ (نصف إهليلجي برتقالي). مقدار دلتا-في المطلوب للاحتراق الثاني هو $${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$$

وأخيرًا، عندما يكون المدار الدائري النهائي بنصف قطر${\displaystyle r_{2}}$عند الوصول إلى هذه النقطة، يقوم الاحتراق العكسي (العلامة 3) بتدوير المسار إلى مدار الهدف النهائي (الدائرة الحمراء). يتطلب الاحتراق العكسي الأخير تغييرًا في السرعة مقداره $${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$$

لو${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$ثم تتحول المناورة إلى نقل هوهمان (في هذه الحالة${\displaystyle \Delta v_{3}}$يمكن التحقق من أنها تصبح صفرًا). وبالتالي، يشكل النقل ثنائي الإهليلجي فئة أكثر عمومية من عمليات النقل المدارية، والتي يعتبر نقل هوهمان حالة خاصة منها ذات نبضتين.

يمكن حساب أقصى قدر ممكن من الوفورات بافتراض أن${\displaystyle r_{b}=\infty }$وفي هذه الحالة يكون المجموع${\displaystyle \Delta v}$يتبسط إلى${\textstyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$في هذه الحالة، يُطلق على هذه العملية اسم النقل ثنائي القطع المكافئ لأن مساري النقل لم يعودا قطعين ناقصين بل قطعين مكافئين . كما أن زمن النقل يزداد إلى ما لا نهاية.

كما هو الحال في عملية نقل هوهمان، فإن كلا مداري النقل المستخدمين في عملية النقل ثنائية الإهليلجية يشكلان نصف مدار إهليلجي بالضبط. وهذا يعني أن الوقت اللازم لتنفيذ كل مرحلة من مراحل النقل يساوي نصف الفترة المدارية لكل إهليلج نقل.

باستخدام معادلة الفترة المدارية والرموز المذكورة أعلاه، $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$$

إجمالي وقت التحويل${\displaystyle t}$هو مجموع الأوقات اللازمة لكل نصف مدار. لذلك: $${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{and}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$$ وأخيراً: $${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$$

يوضح الشكل الإجمالي${\displaystyle \Delta v}$مطلوب للانتقال من مدار دائري نصف قطره${\displaystyle r_{1}}$إلى مدار دائري آخر نصف قطره${\displaystyle r_{2}}$. ال${\displaystyle \Delta v}$يتم عرضها مُقاسة بالنسبة للسرعة المدارية في المدار الأولي،${\displaystyle v_{1}}$ويتم رسمها كدالة لنسبة نصف قطر المدار النهائي إلى نصف قطر المدار الابتدائي،${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$يتم ذلك حتى تكون المقارنة عامة (أي لا تعتمد على القيم المحددة لـ${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$(فقط بناءً على نسبتهم). ^{[ 2 ]}

يشير المنحنى الأسود السميك إلى${\displaystyle \Delta v}$بالنسبة لنقل هوهمان، بينما تتوافق المنحنيات الملونة الأقل سمكًا مع عمليات النقل ثنائية القطع الناقص ذات القيم المتغيرة للمعامل${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$، والذي يُعرف بأنه نصف قطر الأوج${\displaystyle r_{b}}$يُظهر الشكل المرفق تفاصيل المدار الإهليلجي المساعد مُقسَّمًا على نصف قطر المدار الأولي، والمُشار إليه بجوار المنحنيات. ويُظهر الشكل المُدرج تكبيرًا للمنطقة التي تتقاطع فيها المنحنيات ثنائية الإهليلجية مع منحنى هوهمان لأول مرة.

يتضح أن نقل هوهمان يكون دائمًا أكثر كفاءة إذا كانت نسبة أنصاف الأقطار${\displaystyle R}$أصغر من 11.94. من ناحية أخرى، إذا كان نصف قطر المدار النهائي أكبر من نصف قطر المدار الابتدائي بأكثر من 15.58 مرة، فإن أي انتقال ثنائي الإهليلج، بغض النظر عن نصف قطر الأوج (طالما أنه أكبر من نصف قطر المدار النهائي)، يتطلب طاقة أقل${\displaystyle \Delta v}$من نقل هوهمان. بين النسبتين 11.94 و15.58، يعتمد اختيار النقل الأفضل على مسافة الأوج.${\displaystyle r_{b}}$. لأي شيء معين${\displaystyle R}$في هذا النطاق، توجد قيمة لـ${\displaystyle r_{b}}$فوق هذا الحد يكون النقل ثنائي الإهليلجي أفضل، وتحته يكون نقل هوهمان أفضل. يوضح الجدول التالي قيمة${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$وهذا ما يجعل النقل ثنائي القطع الناقص أفضل في بعض الحالات المختارة. ^{[ 4 ]}

الحد الأدنى${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$بحيث يحتاج النقل ثنائي الإهليلجي إلى أقل${\displaystyle \Delta v}$^{[ 5 ]}

نسبة أنصاف الأقطار،${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	الحد الأدنى${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {r_{b}}{r_{1}}}}$	تعليقات
<11.94	— غير متوفر	انتقال هوهمان هو دائماً أفضل
11.94	${\displaystyle \infty }$	نقل ثنائي القطع المكافئ
12	815.81
13	48.90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
>15.58	${\displaystyle >{\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	أي عملية نقل ثنائية الإهليلجية أفضل

زمن النقل الطويل للنقل ثنائي الإهليلجي، $${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$$ يُعدّ هذا عيبًا رئيسيًا لهذه المناورة. بل إنه يصبح لانهائيًا في حالة الحدّ الانتقالي ثنائي القطع المكافئ.

تستغرق عملية نقل هوهمان أقل من نصف الوقت لأنها تتضمن نصف قطع ناقص واحد فقط. وبالتحديد، $${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$$

في حين أن عملية النقل ثنائية الإهليلجية لها نطاق معلمات صغير حيث تكون متفوقة تمامًا على عملية نقل هوهمان من حيث دلتا V لعملية نقل مستوية بين مدارات دائرية، إلا أن الوفورات صغيرة إلى حد ما، وتكون عملية النقل ثنائية الإهليلجية أكثر فائدة عند استخدامها مع مناورات أخرى معينة.

عند نقطة الأوج، تتحرك المركبة الفضائية بسرعة مدارية منخفضة، ويمكن تحقيق تغييرات كبيرة في نقطة الحضيض بتكلفة دلتا-في ضئيلة. ويمكن لعمليات النقل التي تشبه عملية النقل ثنائية الإهليلجية، ولكنها تتضمن مناورة تغيير المستوى عند نقطة الأوج، أن توفر بشكل كبير دلتا-في في المهمات التي تتطلب تعديل المستوى بالإضافة إلى الارتفاع، مقارنةً بإجراء تغيير المستوى في مدار دائري منخفض فوق عملية نقل هوهمان.

وبالمثل، فإن إسقاط نقطة الحضيض بالكامل إلى الغلاف الجوي لجسم كوكبي من أجل الكبح الهوائي غير مكلف من حيث السرعة عند نقطة الأوج، ولكنه يسمح باستخدام السحب "الحر" للمساعدة في عملية الاحتراق الدائري النهائية لإسقاط نقطة الأوج؛ على الرغم من أنه يضيف مرحلة مهمة إضافية لرفع نقطة الحضيض مرة أخرى خارج الغلاف الجوي، إلا أن هذا قد يكلف، في ظل بعض المعايير، دلتا V أقل بكثير من مجرد إسقاط نقطة الحضيض في عملية احتراق واحدة من مدار دائري.