مسار مكافئ

في علم الديناميكا الفلكية أو الميكانيكا السماوية ، يُعرف المسار المكافئ بأنه مدار كبلر ذو انحراف مركزي ( e ) يساوي 1، وهو مدار غير مقيد يقع تمامًا على الحد الفاصل بين المدارات الإهليلجية والزائدية. يُطلق عليه اسم مدار الهروب عند ابتعاده عن المصدر ، ومدار الالتقاط في غير ذلك . ويُشار إليه أحيانًا باسم${\displaystyle C_{3}=0}$المدار (انظر الطاقة المميزة ).

وفقًا للافتراضات القياسية، فإن الجسم الذي يتحرك على طول مدار هروب سيسلك مسارًا مكافئًا إلى ما لا نهاية، بسرعة نسبية للجسم المركزي تقترب من الصفر، وبالتالي لن يعود أبدًا. المسارات المكافئة هي مسارات هروب ذات طاقة دنيا، وهي تفصل بين المسارات القطعية الموجبة الطاقة والمدارات الإهليلجية السالبة الطاقة .

في عام 1609، كتب جاليليو في صفحته رقم 102 ^{[ 1 ] [ 2 ]} ( MS . Gal 72 ^{[ 3 ]} ) عن حسابات المسار المكافئ، ^{[ 1 ]} التي تم العثور عليها لاحقًا في Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a Due nuove scienze كقوة دافعة للمقذوفات . ^{[ 4 ]}

السرعة المدارية (${\displaystyle v}$يمكن حساب سرعة جسم يتحرك على طول مسار مكافئ على النحو التالي:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over r}}}$

أين:

• ${\displaystyle r}$هي المسافة الشعاعية للجسم المداري من الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle \mu }$هو المعامل القياسي للجاذبية .

في أي موضع، يمتلك الجسم المداري سرعة الإفلات الخاصة بذلك الموضع.

إذا كان للجسم سرعة إفلات بالنسبة للأرض، فإن هذا لا يكفي للهروب من النظام الشمسي، لذلك بالقرب من الأرض يشبه المدار القطع المكافئ، ولكن على مسافة أبعد ينحني إلى مدار بيضاوي حول الشمس.

هذه السرعة (${\displaystyle v}$) يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالسرعة المدارية لجسم في مدار دائري نصف قطره يساوي الموضع القطري للجسم المداري على المسار المكافئ:

${\displaystyle v={\sqrt {2}}\,v_{o}}$

أين:

• ${\displaystyle v_{o}}$هي السرعة المدارية لجسم في مدار دائري .

بالنسبة لجسم يتحرك على طول هذا النوع من المسار، تكون معادلة المدار كما يلي:

${\displaystyle r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}}$

أين:

• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة الشعاعية للجسم المداري من الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle h\,}$هو الزخم الزاوي النوعي للجسم الذي يدور في المدار ،
• ${\displaystyle \nu \,}$هو الشذوذ الحقيقي للجسم المداري،
• ${\displaystyle \mu \,}$هو المعامل القياسي للجاذبية .

في ظل الافتراضات القياسية، فإن طاقة المدار النوعية (${\displaystyle \epsilon }$) لمسار مكافئ يساوي صفرًا، لذا فإن معادلة حفظ الطاقة المدارية لهذا المسار تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0}$

أين:

• ${\displaystyle v\,}$هي السرعة المدارية للجسم الذي يدور في المدار،
• ${\displaystyle r\,}$هي المسافة الشعاعية للجسم المداري من الجسم المركزي ،
• ${\displaystyle \mu \,}$هو المعامل القياسي للجاذبية .

هذا يعادل تمامًا كون الطاقة المميزة (مربع السرعة عند اللانهاية) تساوي صفرًا:

${\displaystyle C_{3}=0}$

تربط معادلة باركر بين زمن الطيران${\displaystyle t}$إلى الشذوذ الحقيقي${\displaystyle \nu }$مسار مكافئ: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

أين:

• ${\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}$متغير مساعد
• ${\displaystyle T}$هو وقت مرور نقطة الحضيض
• ${\displaystyle \mu }$هو معامل الجاذبية القياسي
• ${\displaystyle p}$يمثل نصف الوتر البؤري للمسار، المعطى بواسطة${\displaystyle p=h^{2}/\mu }$

وبشكل أعم، فإن الفترة الزمنية (الفترة الزمنية) بين أي نقطتين على مدار ما هي

${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$

بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن المعادلة بدلالة مسافة الحضيض، في مدار مكافئ${\displaystyle r_{p}=p/2}$:

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

بخلاف معادلة كبلر ، التي تُستخدم لحساب الشذوذات الحقيقية في المسارات الإهليلجية والزائدية، يمكن حساب الشذوذ الحقيقي في معادلة باركر مباشرةً.${\displaystyle t}$إذا تم إجراء الاستبدالات التالية

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}}$

ثم

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}$

باستخدام الدوال الزائدية، يمكن التعبير عن الحل أيضًا على النحو التالي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(2\sinh {\frac {\mathrm {arcsinh} {\frac {3M}{2}}}{3}}\right)}$

أين

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$

المسار المكافئ الشعاعي هو مسار غير دوري على خط مستقيم، حيث تكون السرعة النسبية للجسمين دائمًا هي سرعة الإفلات . وهناك حالتان: إما أن يتحرك الجسمان مبتعدين عن بعضهما أو متقاربين.

يوجد تعبير بسيط إلى حد ما للموقع كدالة للزمن:

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}\mu t^{2}}}}$

أين

• ${\displaystyle \mu }$هو معامل الجاذبية القياسي
• ${\displaystyle t=0\!\,}$يتوافق ذلك مع الوقت المستنبط لبداية أو نهاية وهمية في مركز الجسم المركزي.

في أي وقت، متوسط ​​السرعة من${\displaystyle t=0\!\,}$هي 1.5 ضعف السرعة الحالية، أي 1.5 ضعف سرعة الإفلات المحلية.

أن تمتلك${\displaystyle t=0\!\,}$عند السطح، قم بتطبيق إزاحة زمنية؛ بالنسبة للأرض (وأي جسم آخر متناظر كرويًا بنفس الكثافة المتوسطة) كجسم مركزي، تكون هذه الإزاحة الزمنية 6 دقائق و20 ثانية؛ بعد سبع فترات من هذه الفترات، يكون الارتفاع فوق السطح ثلاثة أضعاف نصف القطر، إلخ.

• مدار كبلر
• القطع المكافئ