معادلة Vis-viva

في ديناميكا الفضاء ، تُعد معادلة فيس-فيفا إحدى المعادلات التي تُحاكي حركة الأجسام الدائرة . وهي نتيجة مباشرة لمبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية، الذي ينطبق عندما تكون القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم هي وزنه الذاتي، وهو قوة الجاذبية التي تُحدد بضرب كتلة الجسم في قوة مجال الجاذبية المحيط به .

Vis viva (كلمة لاتينية تعني "القوة الحية") مصطلح من تاريخ الميكانيكا، وهو الاسم الذي أُطلق على معادلة المدار التي اشتقها إسحاق نيوتن . ^{[ 1 ] : 30} وهي تمثل المبدأ القائل بأن الفرق بين إجمالي شغل قوى التسارع في نظام ماوشغل قوى التباطؤ فيه يساوي نصف قيمة Vis viva المتراكمة أو المفقودة في النظام أثناء بذل الشغل.

بالنسبة لأي مدار كبلري ( إهليلجي ، أو مكافئ ، أو زائدي ، أو شعاعي )، فإن معادلة vis-viva ^{[ 1 ] : 30} هي كما يلي: ^{[ 2 ] : 30}$${\displaystyle v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)}$$ أين:

• v هي السرعة النسبية للجسمين
• r هي المسافة بين مركزي كتلة الجسمين
• a هو طول نصف المحور الأكبر ( a > 0 للقطع الناقص ، a = ∞ أو 1/ a = 0 للقطع المكافئ ، و a < 0 للقطع الزائد ).
• G هو ثابت الجاذبية
• M هي كتلة الجسم المركزي

يمكن التعبير عن حاصل ضرب GM أيضًا كمعامل الجاذبية القياسي باستخدام الحرف اليوناني μ . ^{[ 1 ] : 33}

بمعرفة الكتلة الكلية والكميات القياسية r و v عند نقطة واحدة من المدار، يمكن حساب ما يلي:

• r و v عند أي نقطة أخرى في المدار؛ و
• الطاقة المدارية النوعية${\displaystyle \varepsilon \,\!}$، مما يسمح بتصنيف جسم يدور حول جسم أكبر على أنه لا يملك طاقة كافية للبقاء في مداره، وبالتالي يكون " شبه مداري " (صاروخ باليستي، على سبيل المثال)، أو يملك طاقة كافية ليكون "مداريًا"، ولكن دون إمكانية إكمال مدار كامل على أي حال لأنه يصطدم في النهاية بالجسم الآخر، أو يملك طاقة كافية ليأتي من و/أو يذهب إلى اللانهاية (مثل نيزك، على سبيل المثال).

يمكن الحصول على صيغة سرعة الإفلات من معادلة فيس-فيفا بأخذ النهاية عندما${\displaystyle a}$الأساليب${\displaystyle \infty }$: $${\displaystyle v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$$ بالنسبة لنصف قطر مداري معين، ستكون سرعة الإفلات هي${\displaystyle {\sqrt {2}}}$مضروبة في السرعة المدارية. ^{[ 1 ] : 32}

الطاقة الكلية النوعية ،$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}}$$تكون ثابتة في جميع أنحاء المدار. باستخدام الرموز السفلية a للأوج (نقطة الأوج) و p للحضيض (نقطة الحضيض)، فإن الطاقة الثابتة عند نقطتين تعطي ما يلي: $${\displaystyle {\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

إعادة الترتيب، $${\displaystyle {\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {v_{p}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

بالنظر إلى أن متجهي السرعة ونصف القطر يكونان متعامدين عند الأوج والحضيض في المدار الإهليلجي (وبالتالي المدار الدائري أيضًا)، فإن قانون حفظ الزخم الزاوي يتطلب زخمًا زاويًا نوعيًا.${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{ثابت}}}$، هكذا${\displaystyle v_{p}={\frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}}$: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

بعزل الطاقة الحركية عند نقطة الأوج وتبسيطها، $$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=\left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\right){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}\end{aligned}}}$$

انطلاقاً من هندسة القطع الناقص،${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$حيث يمثل a طول نصف المحور الأكبر. وبالتالي، $${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}}$$

بإدخال هذا في تعبيرنا الأصلي لطاقة المدار المحددة، $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$

هكذا،${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}}$ويمكن كتابة معادلة vis-viva على النحو التالي $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$ أو $${\displaystyle v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$$

لذلك، يمكن اشتقاق الزخم الزاوي المحفوظ L = mh باستخدام${\displaystyle r_{a}+r_{p}=2a}$و${\displaystyle r_{a}r_{p}=b^{2}}$حيث يمثل a نصف المحور الأكبر و b نصف المحور الأصغر للمدار الإهليلجي، كما يلي: $${\displaystyle v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}}$$ وبدلاً من ذلك، $${\displaystyle v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}}$$

لذلك، الزخم الزاوي النوعي${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$، و

الزخم الزاوي الكلي${\displaystyle L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$