مدار نقل هوهمان

في مجال الملاحة الفضائية ، تُعرف مناورة هوهمان الانتقالية ( تُلفظ / ˈhoʊmən / ) بأنها مناورة مدارية تُستخدم لنقل مركبة فضائية بين مدارين مختلفي الارتفاع حول جسم مركزي. على سبيل المثال، يمكن استخدام مناورة هوهمان لرفع مدار قمر صناعي من مدار أرضي منخفض إلى مدار ثابت بالنسبة للأرض . في الحالة المثالية، يكون كل من المدار الابتدائي والمدار المستهدف دائريين ومتوازيين . تُنفذ المناورة بوضع المركبة في مدار انتقالي بيضاوي الشكل مماس لكل من المدار الابتدائي والمدار المستهدف. تستخدم المناورة عمليتي احتراق دافعتين للمحرك: الأولى تُنشئ المدار الانتقالي، والثانية تُعدّل المدار ليطابق المدار المستهدف.

تستخدم مناورة هوهمان عادةً أقل قدر ممكن من الدفع (مما يستهلك كمية متناسبة من دلتا-في ، وبالتالي كمية متناسبة من الوقود ) لإتمام عملية الانتقال، ولكنها تتطلب زمن انتقال أطول نسبيًا من عمليات الانتقال التي تتطلب دفعًا أعلى. في بعض الحالات التي يكون فيها أحد المدارين أكبر بكثير من الآخر، يمكن أن يستخدم الانتقال ثنائي الإهليلج دفعًا أقل، على حساب زمن انتقال أطول.

سُميت هذه المناورة نسبةً إلى والتر هوهمان ، العالم الألماني الذي نشر وصفًا لها في كتابه الصادر عام 1925 بعنوان " إمكانية الوصول إلى الأجرام السماوية ". ^{[ 1 ]} وقد تأثر هوهمان جزئيًا بالكاتب الألماني للخيال العلمي كورد لاسويتز وكتابه " كوكبان" الصادر عام 1897 .

عند استخدام مدار هوهمان الانتقالي للسفر بين الأجرام السماوية، يتطلب ذلك أن تكون نقطتا البداية والوجهة في مواقع محددة في مداريهما بالنسبة لبعضهما البعض. لذا، يجب على المهمات الفضائية التي تستخدم مدار هوهمان الانتقالي انتظار حدوث هذا التوافق المطلوب، مما يتيح نافذة إطلاق . فعلى سبيل المثال، بالنسبة لمهمة بين الأرض والمريخ ، تتاح نوافذ الإطلاق هذه كل 26 شهرًا. كما يحدد مدار هوهمان الانتقالي مدة زمنية ثابتة للسفر بين نقطتي البداية والوجهة؛ ففي رحلة بين الأرض والمريخ، تبلغ مدة السفر حوالي 9 أشهر. وعند إجراء الانتقال بين مدارات قريبة من أجرام سماوية ذات جاذبية كبيرة، عادةً ما تكون هناك حاجة إلى تغيير سرعة أقل بكثير ، حيث يمكن الاستفادة من تأثير أوبرث في عمليات الاحتراق.

تُستخدم هذه التقنيات أيضًا في كثير من الأحيان في مثل هذه الحالات، ولكن عمليات النقل منخفضة الطاقة التي تراعي قيود الدفع للمحركات الحقيقية، وتستفيد من جاذبية الكوكبين، قد تكون أكثر كفاءة في استهلاك الوقود. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

يوضح الرسم التخطيطي مدار هوهمان الانتقالي لنقل مركبة فضائية من مدار دائري منخفض إلى مدار دائري أعلى. وهو مدار إهليلجي مماس لكل من المدار الدائري المنخفض الذي ستغادره المركبة (باللون السماوي، والمُشار إليه بالرقم 1 في الرسم التخطيطي) والمدار الدائري الأعلى الذي ستصل إليه (باللون الأحمر، والمُشار إليه بالرقم 3 في الرسم التخطيطي). يبدأ المدار الانتقالي (باللون الأصفر، والمُشار إليه بالرقم 2 في الرسم التخطيطي) بتشغيل محرك المركبة الفضائية لإضافة طاقة ورفع نقطة الأوج . وعندما تصل المركبة إلى نقطة الأوج، يُشغّل محرك ثانٍ لإضافة طاقة لرفع نقطة الحضيض، مما يضع المركبة في المدار الدائري الأكبر.

بسبب قابلية انعكاس المدارات ، يمكن استخدام مدار هوهمان الانتقالي لنقل مركبة فضائية من مدار أعلى إلى مدار أدنى؛ في هذه الحالة، يُشغَّل محرك المركبة في الاتجاه المعاكس لمسارها الحالي، مما يُبطئ المركبة ويُخفض نقطة الحضيض في المدار الإهليلجي الانتقالي إلى ارتفاع المدار المستهدف الأدنى. ثم يُشغَّل المحرك مرة أخرى عند المسافة الأدنى لإبطاء المركبة إلى المدار الدائري الأدنى. يعتمد مدار هوهمان الانتقالي على تغييرين لحظيين في السرعة . يلزم وقود إضافي للتعويض عن الوقت الذي تستغرقه هذه الدفعات؛ ويتم تقليل هذا الوقت باستخدام محركات ذات دفع عالٍ لتقليل مدة الدفعات. بالنسبة لعمليات النقل في مدار الأرض، يُطلق على عمليتي الاحتراق اسم احتراق الحضيض واحتراق الأوج (أو دفعة الأوج ^{[ 5 ]} )؛ وبشكل عام، بالنسبة للأجرام الأخرى غير الأرض، يُطلق عليهما احتراق الحضيض واحتراق الأوج . بدلاً من ذلك، يمكن الإشارة إلى عملية الحرق الثانية لجعل المدار دائريًا باسم عملية حرق التدوير .

بالنسبة لجسم صغير يدور حول جسم آخر أكبر بكثير، مثل قمر صناعي يدور حول الأرض، فإن الطاقة الكلية للجسم الأصغر هي مجموع طاقته الحركية وطاقته الكامنة ، وهذه الطاقة الكلية تساوي أيضًا نصف الطاقة الكامنة عند متوسط ​​المسافة.${\displaystyle a}$( المحور شبه الرئيسي ): $${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}.}$$يؤدي حل هذه المعادلة لإيجاد السرعة إلى معادلة السرعة والحيوية . $${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$$ أين:

• ${\displaystyle v}$هي سرعة جسم يدور في مدار،
• ${\displaystyle \mu =GM}$هو معامل الجاذبية القياسي للجسم الأساسي، بافتراض${\displaystyle M+m}$ليس أكبر بكثير من${\displaystyle M}$(مما يجعل${\displaystyle v_{M}\ll v}$), (بالنسبة للأرض، هذا هو μ ~3.986E14 m ³ s ⁻² )
• ${\displaystyle r}$هي المسافة بين الجسم المداري والبؤرة الرئيسية،
• ${\displaystyle a}$هو المحور شبه الرئيسي لمدار الجسم.

لذلك، يمكن حساب دلتا- v (Δv) المطلوبة لنقل هوهمان على النحو التالي، بافتراض النبضات الآنية: $${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right),}$$ للدخول في المدار الإهليلجي عند${\displaystyle r=r_{1}}$من${\displaystyle r_{1}}$مدار دائري، حيث${\displaystyle r_{2}}$هي نقطة الأوج للمدار الإهليلجي الناتج، و $${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right),}$$ لمغادرة المدار الإهليلجي عند${\displaystyle r=r_{2}}$إلى${\displaystyle r_{2}}$مدار دائري، حيث${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$يمثلان على التوالي نصف قطري مداري المغادرة والوصول الدائريين؛ الأصغر من${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$يتوافق نصف القطر الأكبر مع مسافة الحضيض ، بينما يتوافق نصف القطر الأكبر مع مسافة الأوج في مدار هوهمان الإهليلجي الانتقالي. عادةً،${\displaystyle \mu }$يُعطى بوحدات م³ ^/ ث² ^؛ لذا يجب التأكد من استخدام المتر، وليس الكيلومتر، لـ${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$المجموع${\displaystyle \Delta v}$ثم يكون:$${\displaystyle \Delta v_{\text{total}}=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}.}$$سواءً كان الانتقال إلى مدار أعلى أو أدنى، فإن الوقت المستغرق للانتقال بين المدارين ، وفقًا لقانون كبلر الثالث ، هو$${\displaystyle t_{\text{H}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{\text{H}}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}}$$ (نصف الفترة المدارية للقطع الناقص بأكمله)، حيث${\displaystyle a_{\text{H}}}$يمثل طول المحور شبه الرئيسي لمدار نقل هوهمان.

عند الانتقال من جرم سماوي إلى آخر، من الضروري بدء المناورة عندما يكون الجرمان متوازيين تمامًا. مع الأخذ في الاعتبار السرعة الزاوية المستهدفة. $${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}^{3}}}},}$$ يجب أن تكون زاوية المحاذاة α (بالراديان ) عند بدء التشغيل بين الكائن المصدر والكائن الهدف كما يلي: $${\displaystyle \alpha =\pi -\omega _{2}t_{\text{H}}=\pi \left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}+1\right)^{3}}}\right).}$$

ضع في اعتبارك مدار نقل ثابت بالنسبة للأرض ، يبدأ عند r ₁ = 6,678  كم (ارتفاع 300  كم) وينتهي في مدار ثابت بالنسبة للأرض عند r ₂ = 42,164  كم (ارتفاع 35,786  كم).

في المدار الدائري الأصغر، تبلغ السرعة 7.73  كم/ث؛ وفي المدار الأكبر، تبلغ 3.07  كم/ث. أما في المدار الإهليلجي بينهما، فتتراوح السرعة من 10.15  كم/ث عند نقطة الحضيض إلى 1.61  كم/ث عند نقطة الأوج.

وبالتالي فإن Δv للاحتراق الأول هو 10.15  -  7.73 = 2.42  كم/ث، وللاحتراق الثاني 3.07  -  1.61 = 1.46  كم/ث، وللاحتراقين معًا 3.88  كم/ث.

هذا أكبر من Δv المطلوبة لمدار الإفلات : 10.93  -  7.73 = 3.20  كم/ث. بتطبيق Δv في مدار الأرض المنخفض (LEO) بمقدار 0.78  كم/ث إضافية فقط (3.20 - 2.42)، سيحصل الصاروخ على سرعة إفلات أقل من Δv البالغة 1.46  كم/ث اللازمة لجعل المدار متزامنًا مع الأرض دائريًا. يوضح هذا تأثير أوبرث، حيث يوفر نفس Δv عند السرعات العالية طاقة مدارية نوعية أكبر ، ويتم تعظيم زيادة الطاقة إذا تم استهلاك Δv بأسرع ما يمكن، بدلاً من استهلاك جزء منها، ثم التباطؤ بفعل الجاذبية، ثم استهلاك جزء آخر للتغلب على التباطؤ (بالطبع، يختلف هدف مدار هوهمان الانتقالي).

كما يوضح المثال أعلاه، فإنّ قيمة Δv المطلوبة لإجراء نقل هوهمان بين مدارين دائريين لا تكون في أقصى قيمة لها عندما يكون نصف قطر الوجهة لانهائيًا. (سرعة الإفلات تساوي √2 ضعف سرعة المدار، لذا فإنّ قيمة Δv المطلوبة للإفلات تساوي √2  - 1  (41.4%) من سرعة المدار). وتكون قيمة Δv المطلوبة في أقصى قيمة لها (53.0% من سرعة المدار الأصغر) عندما يكون نصف قطر المدار الأكبر 15.5817... ضعف نصف قطر المدار الأصغر. ^{[ 10 ] هذا} العدد هو الجذر الموجب للمعادلة x³ ^- 15x² - 9x - 1 = 0 ، وهو${\textstyle 5+4\,{\sqrt {7}}\cos \left({1 \over 3}\arctan {{\sqrt {3}} \over 37}\right)}$. بالنسبة لنسب المدار الأعلى، فإن Δ v المطلوبة للاحتراق الثاني تنخفض بشكل أسرع من الزيادة الأولى.

عند استخدام تأثير أوبرث لنقل مركبة فضائية من مدار كوكب إلى مدار آخر، فإنه يسمح باستخدام دلتا- v أقل من مجموع دلتا- v للمناورات المنفصلة للهروب من الكوكب الأول، متبوعًا بنقل هوهمان إلى الكوكب الثاني، متبوعًا بإدخالها في مدار حول الكوكب الآخر.

على سبيل المثال، لنفترض مركبة فضائية تسافر من الأرض إلى المريخ . في بداية رحلتها، تمتلك المركبة سرعة وطاقة حركية مرتبطتين بمدارها حول الأرض. أثناء عملية الاحتراق، يُطبّق محرك الصاروخ تغيير السرعة (دلتا- v) ، لكن الطاقة الحركية تزداد وفقًا لقانون التربيع، حتى تصبح كافية للإفلات من جاذبية الكوكب ، ثم يستمر الاحتراق لاكتساب طاقة كافية للدخول في مدار هوهمان الانتقالي (حول الشمس ). ولأن محرك الصاروخ قادر على الاستفادة من الطاقة الحركية الأولية للوقود، فإن تغيير السرعة المطلوب أقل بكثير من اللازم للوصول إلى سرعة الإفلات، وتكون الحالة المثلى عند إجراء عملية الاحتراق الانتقالي على أدنى ارتفاع ( نقطة الحضيض المنخفضة ) فوق الكوكب. إن دلتا- v المطلوبة هي 3.6  كم/ث فقط، أي حوالي 0.4  كم/ث أكثر من اللازم للهروب من الأرض، على الرغم من أن هذا يؤدي إلى تحرك المركبة الفضائية بسرعة 2.9  كم/ث أسرع من الأرض وهي تتجه نحو المريخ (انظر الجدول أدناه).

في الطرف الآخر، يجب أن تُبطئ المركبة الفضائية سرعتها حتى تتمكن جاذبية المريخ من التقاطها. يُفضل إجراء عملية الالتقاط هذه على ارتفاع منخفض للاستفادة القصوى من تأثير أوبرث. لذلك، لا تتطلب عملية الانتقال سوى كميات قليلة نسبيًا من الدفع في بداية ونهاية الرحلة مقارنةً بحالة الفضاء الحر.

مع ذلك، في أي عملية نقل هوهمان، يُعدّ توافق مداري الكوكبين أمرًا بالغ الأهمية؛ إذ يجب أن يصل الكوكب الوجهة والمركبة الفضائية إلى النقطة نفسها في مداريهما حول الشمس في الوقت نفسه. هذا الشرط الخاص بالتوافق هو ما يُنشئ مفهوم " نوافذ الإطلاق" .

يُستخدم مصطلح مدار النقل القمري (LTO) للإشارة إلى القمر .

يمكن تطبيق الصيغة المذكورة أعلاه لحساب التغير في السرعة (Δv) بالكيلومتر/ثانية اللازم للدخول في مدار هوهمان الانتقالي للوصول إلى وجهات مختلفة من الأرض (بافتراض مدارات دائرية للكواكب). في هذا الجدول، يوضح العمود المسمى "Δv للدخول في مدار هوهمان من مدار الأرض" التغير في السرعة من سرعة الأرض إلى السرعة اللازمة للدخول في مدار هوهمان الإهليلجي الذي تقع نهايته الأخرى على المسافة المطلوبة من الشمس. أما العمود المسمى "ارتفاع المدار الأرضي المنخفض" فيوضح السرعة اللازمة (في إطار مرجعي ثابت مركزه الأرض) عند ارتفاع 300  كيلومتر فوق سطح الأرض. ويتم الحصول على هذه السرعة بإضافة مربع سرعة الإفلات (10.93  كيلومتر/ثانية) من هذا الارتفاع إلى الطاقة الحركية النوعية. أما العمود "المدار الأرضي المنخفض" فهو ببساطة السرعة السابقة مطروحًا منها سرعة المدار الأرضي المنخفض البالغة 7.73  كيلومتر/ثانية.

لاحظ أنه في معظم الحالات، يكون Δ v من مدار الأرض المنخفض أقل من Δ v للدخول إلى مدار هوهمان من مدار الأرض.

للوصول إلى الشمس، ليس من الضروري استخدام Δv بقيمة 24  كم/ث. يمكن استخدام 8.8  كم/ث للابتعاد مسافةً كبيرةً عن الشمس، ثم استخدام Δv ضئيل جدًا لخفض الزخم الزاوي إلى الصفر، ثم السقوط نحو الشمس. يُعرف هذا أيضًا باسم الانتقال ثنائي الإهليلج ، وهو عبارة عن سلسلة من انتقالين من نوع هوهمان. كذلك، لا يوضح الجدول القيم التي تنطبق عند استخدام القمر للمساعدة في الجاذبية . توجد أيضًا إمكانية استخدام كوكب واحد، مثل الزهرة - الأسهل وصولًا - للمساعدة في الوصول إلى كواكب أخرى أو إلى الشمس.

• النقل ثنائي الإهليلجي
• ميزانية دلتا-في
• مدار النقل الثابت بالنسبة للأرض
• مدار هالة
• مدار ليساجو
• قائمة المدارات
• ميكانيكا المدارات