مخطط التشعب

في الرياضيات ، وخاصةً في الأنظمة الديناميكية ، يُظهر مخطط التشعب القيم التي يتم الوصول إليها أو الاقتراب منها تقاربياً ( النقاط الثابتة ، أو المدارات الدورية ، أو الجاذبات الفوضوية ) لنظام ما كدالة لمعامل التشعب في النظام. ^{[ 1 ]} من المعتاد تمثيل القيم المستقرة بخط متصل والقيم غير المستقرة بخط منقط، على الرغم من أنه غالباً ما يتم حذف النقاط غير المستقرة. تُمكّن مخططات التشعب من تصور نظرية التشعب . في سياق الأنظمة الديناميكية ذات الزمن المتقطع، يُطلق على المخطط أيضاً اسم مخطط المدار .

ومن الأمثلة على ذلك مخطط التشعب في الخريطة اللوجستية : $${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}).}$$

يظهر معامل التشعب r على المحور الأفقي للرسم البياني، بينما يظهر المحور الرأسي مجموعة قيم الدالة اللوجستية التي يتم الوصول إليها بشكل تقاربي من جميع الشروط الأولية تقريبًا.

يُظهر مخطط التشعب تفرع فترات المدارات المستقرة من 1 إلى 2 إلى 4 إلى 8، وهكذا. كل نقطة من نقاط التشعب هذه هي تشعب مضاعفة الفترة . نسبة أطوال الفترات المتتالية بين قيم r التي يحدث عندها التشعب تتقارب مع ثابت فيجنباوم الأول .

يوضح الرسم البياني أيضًا تضاعف الدورات من 3 إلى 6 إلى 12 وما إلى ذلك، ومن 5 إلى 10 إلى 20 وما إلى ذلك.

في نظام ديناميكي مثل $${\displaystyle {\ddot {x}}+f(x;\mu )+\varepsilon g(x)=0,}$$ وهو مستقر هيكليًا عندما${\displaystyle \mu \neq 0}$إذا تم رسم مخطط التشعب، فتعامل${\displaystyle \mu }$كمعامل التشعب، ولكن لقيم مختلفة من${\displaystyle \varepsilon }$القضية${\displaystyle \varepsilon =0}$هو التشعب المتناظر على شكل شوكة. عندما${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$نقول إن لدينا مذراة ذات تناظر مكسور. ويتضح هذا في الرسوم المتحركة على اليمين.

لنفترض نظامًا من المعادلات التفاضلية يصف كمية فيزيائية ما، والتي يمكن أن تمثل، على سبيل المثال، أحد الأمثلة الثلاثة التالية: 1. موضع وسرعة بندول غير مخمد وعديم الاحتكاك، 2. جهد غشاء عصبون مع مرور الوقت، و3. متوسط ​​تركيز فيروس في مجرى دم مريض. تتضمن المعادلات التفاضلية لهذه الأمثلة *معاملات* قد تؤثر على مخرجات المعادلات. سيؤثر تغيير طول البندول على تردد تذبذبه، وقد يؤدي تغيير شدة التيار المحقون في العصبون إلى تغيير جهد الغشاء من حالة الراحة إلى حالة النشاط، وقد ينخفض ​​الحمل الفيروسي طويل الأمد في مجرى الدم مع العلاجات الموقوتة بدقة. ^{[ 2 ]}

بشكل عام، قد يسعى الباحثون إلى تحديد كيفية تغير السلوك طويل الأمد (التقاربي) لنظام من المعادلات التفاضلية عند تغيير أحد المعاملات. في فرع الأنظمة الديناميكية من الرياضيات، يُستخدم مخطط التشعب لتحديد هذه التغيرات من خلال توضيح كيفية تغير النقاط الثابتة، أو المدارات الدورية ، أو الجاذبات الفوضوية للنظام كدالة لمعامل التشعب . تُستخدم مخططات التشعب لتصوير هذه التغيرات.

• ذاكرة التشعب
• نظرية الفوضى
• هيكل مخطط التشعب
• ثوابت فيجنباوم
• نظرية شاركوفسكي

• غليندينينغ، بول (1994). الاستقرار، وعدم الاستقرار، والفوضى . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-41553-5.
• ماي، روبرت م. (1976). "نماذج رياضية بسيطة ذات ديناميكيات معقدة للغاية". مجلة نيتشر . 261 (5560): 459-467 . Bibcode : 1976Natur.261..459M . doi : 10.1038/261459a0 . hdl : 10338.dmlcz/104555 . PMID 934280. S2CID 2243371 .  
• ستروغاتز، ستيفن (2000). الديناميكا غير الخطية والفوضى: مع تطبيقات في الفيزياء، وعلم الأحياء، والكيمياء، والهندسة . دار بيرسيوس للنشر . رقم ISBN 0-7382-0453-6.

• خريطة اللوجستيات والفوضى، بقلم إلمر ج. وينز، egwald.ca
• ويكي الجامعة: مخطط مدار النظام الديناميكي ذي الزمن المتقطع