تشعب مضاعفة الفترة

الخريطة اللوجستية هي

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

أين${\displaystyle x_{n}}$هي دالة للزمن (المتقطع)${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$[ ^{3 ]} المعامل^​${\displaystyle r}$يُفترض أن تقع في الفترة${\displaystyle [0,4]}$وفي هذه الحالة${\displaystyle x_{n}}$يحدها${\displaystyle [0,1]}$.

ل${\displaystyle r}$بين 1 و 3،${\displaystyle x_{n}}$يتقارب إلى النقطة الثابتة المستقرة${\displaystyle x_{*}=(r-1)/r}$ثم، من أجل${\displaystyle r}$بين 3 و 3.44949،${\displaystyle x_{n}}$يتقارب إلى تذبذب دائم بين قيمتين${\displaystyle x_{*}}$و${\displaystyle x'_{*}}$ذلك يعتمد على${\displaystyle r}$. مثل${\displaystyle r}$يزداد حجمها، وتظهر تذبذبات بين 4 قيم، ثم 8، 16، 32، وهكذا. تبلغ هذه التضاعفات الدورية ذروتها عند${\displaystyle r\approx 3.56995}$وبعد ذلك تظهر أنظمة أكثر تعقيداً.${\displaystyle r}$مع ازدياد القيم، توجد بعض الفترات التي تتقارب فيها معظم القيم الابتدائية إلى تذبذب واحد أو عدد قليل من التذبذبات المستقرة، كما هو الحال بالقرب من${\displaystyle r=3.83}$، حيث يوجد حل مستقر ذو دورة ثلاثة.

في الفترة التي تكون فيها الدورة${\displaystyle 2^{n}}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$ليس كل النقاط تحتوي على نقطة.${\displaystyle 2^{n}}$هذه نقاط منفردة، وليست فترات. ويُقال إن هذه النقاط تقع في مدارات غير مستقرة، لأن النقاط المجاورة لا تقترب من نفس المدار الذي تقع فيه.

تُعد معادلة كوراموتو -سيفاشينسكي مثالاً على نظام ديناميكي متصل مكانيًا وزمنيًا يُظهر تضاعفًا في الدورة. وهي واحدة من أكثر المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية دراسةً ، وقد طُرحت في الأصل كنموذج لانتشار جبهة اللهب. ^{[ 4 ]}

معادلة كوراموتو-سيفاشينسكي أحادية البعد هي

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xx}+\nu \,u_{xxxx}=0}$

يُعد التكرار المكاني خيارًا شائعًا لشروط الحدود:${\displaystyle u(x+2\pi ,t)=u(x,t)}$.

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ${\displaystyle \nu }$،${\displaystyle u(x,t)}$يتطور نحو حلول ثابتة (غير مرتبطة بالزمن) أو مدارات دورية بسيطة.${\displaystyle \nu }$مع انخفاض قيمة ، تتطور الديناميكيات في النهاية إلى فوضى. ويحدث الانتقال من النظام إلى الفوضى عبر سلسلة من التشعبات التي تضاعف الفترة، ^{[ 5 ] [ 6 ]} إحداها موضحة في الشكل.

ضع في اعتبارك الخريطة اللوجستية التالية لمنحنى فيليبس المعدل :

${\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+b\pi _{t}^{e}}$

${\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}$

${\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}$

${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

أين  :

• ${\displaystyle \pi }$التضخم الفعلي
• ${\displaystyle \pi ^{e}}$هو معدل التضخم المتوقع،
• يمثل u مستوى البطالة،
• ${\displaystyle m-\pi }$هو معدل نمو المعروض النقدي .

حفظ${\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75}$ومتفاوتة${\displaystyle b}$، يخضع النظام لتشعبات مضاعفة الفترة ويصبح في النهاية فوضوياً.