خريطة لوجستية

أولاً، عندما تكون قيمة المعامل r تساوي صفرًا،${\displaystyle x_{1}=0}$بغض النظر عن القيمة الأولية${\displaystyle x_{0}}$بمعنى آخر، فإن مسار الخريطة اللوجستية عندما تكون a = 0 هو مسار تكون فيه جميع القيم بعد القيمة الأولية تساوي 0، لذلك لا يوجد الكثير للبحث فيه في هذه الحالة.

بعد ذلك، عندما تكون قيمة المعامل r في النطاق 0 < r < 1،${\displaystyle x_{n}}$يتناقص بشكل رتيب لأي قيمة من${\displaystyle x_{0}}$بين 0 و 1. أي،${\displaystyle x_{n}}$يتقارب إلى 0 في حالة n → ∞. ^{[ جوليك 2 ]} النقطة التي${\displaystyle x_{n}}$النقطة الثابتة هي نقطة التقارب${\displaystyle x_{f1}}$كما هو موضح في المعادلة (2-3). تُسمى النقاط الثابتة من هذا النوع، حيث تتقارب المدارات حولها، مستقرة تقاربياً، أو مستقرة، أو جاذبة. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت المدارات حول${\displaystyle x_{f}}$الابتعاد عن${\displaystyle x_{f}}$مع ازدياد الزمن n، النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f}}$يُطلق عليه اسم غير مستقر أو تنافري. ^{[ جوليك 3 ]}

إحدى الطرق الشائعة والبسيطة لمعرفة ما إذا كانت نقطة ثابتة مستقرة تقاربياً هي حساب مشتقة الدالة f. ^{[ جوليك 4 ]} تُعبّر هذه المشتقة على النحو التالي:${\displaystyle f'(x)}$، ${\displaystyle x_{f}}$تكون مستقرة تقاربياً إذا تحقق الشرط التالي.

${\displaystyle \left|f'(x_{f})\right|<1}$

3-1

يمكن ملاحظة ذلك من خلال رسم الخريطة: إذا كان ميل المماس للمنحنى عند${\displaystyle x_{f}}$إذا كانت القيمة بين -1 و 1، فإن${\displaystyle x_{f}}$مستقر، والمدار حوله ينجذب إلى${\displaystyle x_{f}}$مشتق الخريطة اللوجستية هو

${\displaystyle f'(x)=r(1-2x)}$

3-2

لذلك، بالنسبة لـ x = 0 و 0 < r < 1، فإن 0 < f '(0) < 1، وبالتالي النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f1}}$= 0 يحقق المعادلة (3-1).

ومع ذلك، فإن طريقة التمييز باستخدام المعادلة (3-1) لا تعرف نطاق المدارات من${\displaystyle x_{f}}$الذين ينجذبون إلى${\displaystyle x_{f}}$يضمن ذلك فقط أن x ضمن نطاق معين من${\displaystyle x_{f}}$سوف تتقارب. في هذه الحالة، يكون نطاق القيم الأولية التي تتقارب إلى 0 هو النطاق الكامل [0، 1]، ولكن للتأكد من ذلك، يلزم إجراء دراسة منفصلة.

يمكن إيجاد طريقة لتحديد ما إذا كانت النقطة الثابتة غير مستقرة عن طريق اشتقاق الدالة بنفس الطريقة. بالنسبة لـ r<1، إذا كانت النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f}}$غير مستقر إذا

${\displaystyle \left|f'(x_{f})\right|>1}$

3-3

إذا كانت قيمة المعامل تقع في النطاق 0 < r < 1، فإن النقطة الثابتة الأخرى${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$ إنها سالبة وبالتالي لا تقع في النطاق [0، 1]، ولكنها موجودة كنقطة ثابتة غير مستقرة.

في الحالة العامة عندما تكون قيمة r بين 1 و 2، سيقترب عدد السكان بسرعة من القيمة ⁠ r − 1 / r ⁠ ، بغض النظر عن عدد السكان الأولي.

عندما تكون قيمة المعامل r = 1، يتقارب مسار الخريطة اللوجستية إلى الصفر كما في السابق، ولكن سرعة التقارب أبطأ عند r = 1. النقطة الثابتة 0 عند r = 1 مستقرة تقاربياً، لكنها لا تحقق المعادلة (3-1). في الواقع، تعمل طريقة التمييز القائمة على المعادلة (3-1) بتقريب الخريطة إلى الرتبة الأولى بالقرب من النقطة الثابتة. عندما تكون r = 1، لا يصح هذا التقريب، ويُحدد الاستقرار أو عدم الاستقرار بواسطة الحدود التربيعية للخريطة، أو بعبارة أخرى، بواسطة الاضطراب من الرتبة الثانية.

عند رسم المنحنى عند r = 1، يكون المنحنى مماسًا للقطر المائل بزاوية 45 درجة عند x = 0. في هذه الحالة، تكون النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$، والتي توجد في النطاق السالب لـ${\displaystyle 0<r<1}$، يكون ${\displaystyle x_{f2}=0}$. ل${\displaystyle x_{f2}=0}$أي أنه مع ازدياد قيمة r، تزداد قيمة${\displaystyle x_{f2}}$ يقترب من الصفر، وعند r = 1 تحديداً،${\displaystyle x_{f2}}$يصطدم بـ ${\displaystyle x_{f1}=0}$يؤدي هذا التصادم إلى ظاهرة تُعرف باسم التشعب العابر . يُستخدم مصطلح التشعب لوصف تغير نوعي في سلوك نظام ديناميكي. في هذه الحالة، يحدث التشعب العابر عندما تتناوب استقرارية النقاط الثابتة فيما بينها . أي عندما تكون قيمة r أقل من 1 .${\displaystyle x_{f1}}$مستقر و${\displaystyle x_{f2}}$غير مستقر، ولكن عندما تكون قيمة r أكبر من 1،${\displaystyle x_{f1}}$غير مستقر و${\displaystyle x_{f2}}$مستقر. تُسمى قيم المعاملات التي يحدث عندها التشعب بنقاط التشعب. في هذه الحالة، r = 1 هي نقطة التشعب.

نقطة ثابتة${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$مثال على التقارب المتناقص بشكل رتيب إلى (r = 1.2، x 0 = 0.6)

نقطة ثابتة${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$مثال على التقارب المتزايد بشكل رتيب إلى (r = 1.8، x 0 = 0.2)

نتيجةً للتفرع، يتقارب مدار الخريطة اللوجستية إلى نقطة النهاية.${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$بدلاً من${\displaystyle x_{f1}=0}$. على وجه الخصوص، إذا كانت المعلمة${\displaystyle 1<r\leq 2}$ثم المسار الذي يبدأ من قيمة${\displaystyle x_{0}}$في الفترة (0، 1)، باستثناء 0 و1، تتقارب إلى${\displaystyle x_{f2}}$عن طريق الزيادة أو النقصان بشكل رتيب. ويعتمد اختلاف نمط التقارب على نطاق القيمة الأولية. ${\displaystyle 0<x_{0}<1-1/r}$

في حالة${\displaystyle 1-1/r<x_{0}<1/r}$ ثم يتقارب بشكل رتيب، ${\displaystyle 1/r<x_{0}<1}$، تتقارب الدالة بشكل رتيب باستثناء الخطوة الأولى.

علاوة على ذلك، النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f1}=0}$يصبح غير مستقر بسبب التشعب، ولكنه يستمر في الوجود كنقطة ثابتة حتى بعد أن تصبح قيمة r أكبر من 1. هذا لا يعني أنه لا توجد قيمة ابتدائية أخرى غير r.${\displaystyle x_{f1}}$التي يمكنها الوصول إلى هذه النقطة الثابتة غير المستقرة ${\displaystyle x_{f1}}$. هذا هو${\displaystyle x_{0}=1}$وبما أن الخريطة اللوجستية تحقق الشرط f(1) = 0 بغض النظر عن قيمة r، فإن تطبيق الخريطة مرة واحدة على${\displaystyle x_{0}=1}$يرسمها إلى${\displaystyle x_{f1}=0}$. النقطة مثل x = 1 التي يمكن الوصول إليها مباشرة كنقطة ثابتة من خلال عدد محدود من تكرارات الخريطة تسمى نقطة ثابتة نهائية.

عندما تكون قيمة r بين 2 و3، سيقترب عدد السكان في النهاية من القيمة نفسها ⁠ r − 1 / r ⁠ ، ولكنه سيتذبذب حول هذه القيمة لفترة من الزمن. معدل التقارب خطي، باستثناء r = 3 ، حيث يكون بطيئًا للغاية، وأقل من الخطي (انظر ذاكرة التشعب ).

عندما تكون قيمة المعامل 2 < r < 3، باستثناء القيمتين الابتدائيتين 0 و1، تكون النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$يكون الوضع مماثلاً لما هو عليه عندما يكون 1 < r ≤ 2. ومع ذلك، في هذه الحالة، لا يكون التقارب رتيبًا. فعندما يقترب المتغير من${\displaystyle x_{f2}}$يصبح أكبر وأصغر من${\displaystyle x_{f2}}$ويتكرر ذلك بشكل متكرر، ويتبع مسارًا متقاربًا يتذبذب حول${\displaystyle x_{f2}}$.

القيمة التي يتم تعيينها إلى${\displaystyle x_{f2}}$بتطبيق عملية الربط مرة واحدة${\displaystyle f({\tilde {x}}_{f2})=x_{f2}}$ -->

بشكل عام، تُعدّ مخططات التشعب مفيدةً لفهم التشعبات. هذه المخططات عبارة عن رسوم بيانية للنقاط الثابتة (أو النقاط الدورية، كما هو موضح أدناه) x كدالة للمعامل a، حيث يُمثّل a المحور الأفقي و x المحور الرأسي. وللتمييز بين النقاط الثابتة المستقرة وغير المستقرة، تُرسَم المنحنيات الأولى أحيانًا كخطوط متصلة، بينما تُرسَم المنحنيات الثانية كخطوط متقطعة. عند رسم مخطط تشعب للخريطة اللوجستية، يكون لدينا خط مستقيم يُمثّل النقطة الثابتة.${\displaystyle x_{f1}=0}$ وخط مستقيم يمثل النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$ يمكن ملاحظة أن المنحنيات التي تمثل a و b تتقاطع عند r = 1، وأن الاستقرار يتم تبديله بين الاثنين.

في الحالة العامة، عندما تكون قيمة r بين 3 و 1  + √6 ≈ 3.44949، فإن عدد السكان سيقترب من تذبذبات دائمة بين قيمتين. هاتان القيمتان تعتمدان على r ويتم تحديدهما بالمعادلة ^{[ 6 ].} ${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{2r}}\left(r+1\pm {\sqrt {(r-3)(r+1)}}\right)}$.

عندما تكون قيمة المعامل r = 3 بالضبط، فإن المدار يحتوي أيضًا على نقطة ثابتة${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$ومع ذلك ، تتقارب المتغيرات بشكل أبطأ مما كانت عليه عندما${\displaystyle 2<r<3}$. متى${\displaystyle r=3}$المشتق${\displaystyle f'(x_{f2})}$تصل قيمة r إلى -1 ولا تعود تحقق المعادلة (3-1). عندما تتجاوز r القيمة 3،${\displaystyle f'(x_{f2})<-1}$، و${\displaystyle x_{f2}}$تصبح نقطة ثابتة غير مستقرة. أي أن تشعبًا آخر يحدث عند${\displaystyle r=3}$.

ل${\displaystyle r=3}$يحدث نوع من التشعب يُعرف باسم تشعب مضاعفة الفترة .${\displaystyle r>3}$لم يعد المدار يتقارب إلى نقطة واحدة، بل يتناوب بين قيم كبيرة وصغيرة حتى بعد مرور فترة زمنية كافية. على سبيل المثال، بالنسبة لـ${\displaystyle r=3.3}$، يتناوب المتغير بين القيمتين 0.4794... و 0.8236....

مخطط العنكبوت والسلسلة الزمنية لـ a = 3.3. ينجذب المدار إلى نقطة مستقرة ذات دورية 2.

يُطلق على المدار الذي يتكرر دوريًا عبر نفس القيم اسم المدار الدوري. في هذه الحالة، يكون السلوك النهائي للمتغير عندما n → ∞ مدارًا دوريًا بفترتين. تُسمى كل قيمة (نقطة) تُكوّن مدارًا دوريًا نقطة دورية. في المثال حيث a = 3.3، فإن 0.4794... و0.8236... هي نقاط دورية. إذا كانت قيمة x معينة نقطة دورية، ففي حالة وجود نقطتين دوريتين، فإن تطبيق الدالة مرتين على x سيعيدها إلى حالتها الأصلية.

${\displaystyle f(f(x))=f^{2}(x)=x}$

3-4

إذا طبقنا معادلة الخريطة اللوجستية (1-2) على هذه المعادلة، فسنحصل على

${\displaystyle r^{2}x(1-x)(1-rx(1-x))=x}$

3-5

وهذا يعطينا المعادلة التالية من الدرجة الرابعة. حلول هذه المعادلة هي النقاط الدورية. في الواقع، النقطتان الثابتتان${\displaystyle x_{f1}=0}$و${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$ كما أنها تحقق المعادلة (3-4). لذلك، من بين حلول المعادلة (3-5)، اثنان منها يتوافقان مع${\displaystyle x_{f1}}$و${\displaystyle x_{f2}}$والحلان المتبقيان هما نقطتان دوريتان بفترة 2. لنرمز إلى النقطتين الدوريتين بفترة 2 بالرمز التالي:${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$و${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$على التوالي. وبحل المعادلة (3-5)، يمكننا الحصول عليها كما يلي

${\displaystyle x_{f1}^{(2)},\ x_{f2}^{(2)}={\frac {r+1\pm {\sqrt {(r+1)(r-3)}}}{2r}}}$

3-6

يمكن تطبيق نظرية مماثلة حول استقرار النقاط الثابتة على النقاط الدورية أيضًا. أي أن النقطة الدورية التي تجذب المدارات المحيطة بها تُسمى نقطة دورية مستقرة تقاربياً، بينما تُسمى النقطة الدورية التي تبتعد عنها المدارات المحيطة بها نقطة دورية غير مستقرة. من الممكن تحديد استقرار النقاط الدورية بنفس طريقة تحديد استقرار النقاط الثابتة. في الحالة العامة، لنفترض${\displaystyle f^{k}(x)}$بعد k تكرارًا للخريطة. ليكن${\displaystyle (f^{k})'(x)}$ليكن المشتق ${\displaystyle df^{k}(x)/dx}$النقطة الدورية k${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$. لو${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$يرضي :

${\displaystyle \left|(f^{k})'(x_{f}^{(k)})\right|<1}$

3-7

ثم${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$مستقر تقاربياً.

${\displaystyle \left|(f^{k})'(x_{f}^{(k)})\right|>1}$

3-8

ثم${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$غير مستقر.

يمكن فهم المناقشة السابقة حول استقرار النقاط الدورية بسهولة من خلال رسم بياني، تمامًا كما هو الحال مع النقاط الثابتة. في هذا الرسم البياني، يمثل المحور الأفقي xn والمحور الرأسي${\displaystyle x_{n+2}}$ويتم رسم منحنى يوضح العلاقة بين${\displaystyle x_{n+2}}$و${\displaystyle x_{n}}$تمثل نقاط تقاطع هذا المنحنى مع الخط ذي الزاوية 45° نقاطًا تحقق المعادلة (3-4)، لذا فإن هذه التقاطعات تمثل نقاطًا ثابتة ونقاطًا دورية ثنائية. إذا رسمنا مخططًا بيانيًا للخريطة اللوجستية${\displaystyle f^{2}(x)}$يمكننا أن نلاحظ أن ميل المماس عند النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f2}}$يتجاوز 1 عند الحدود${\displaystyle r=3}$ويصبح غير مستقر. في الوقت نفسه، يظهر تقاطعان جديدان، وهما النقطتان الدوريتان.${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$و${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$.

العلاقة بين${\displaystyle x_{n+2}}$و${\displaystyle x_{n}}$عندما تكون قيمة r تساوي 2.7، قبل حدوث تشعب مضاعفة الدورة. يتقارب المدار إلى نقطة ثابتة${\displaystyle x_{f2}}$.

العلاقة بين${\displaystyle x_{n+2}}$و${\displaystyle x_{n}}$عندما r = 3. ميل المماس عند النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f2}}$يساوي 1 بالضبط، ويحدث تشعب مضاعفة الفترة.

العلاقة بين${\displaystyle x_{n+2}}$و${\displaystyle x_{n}}$عندما تكون قيمة r = 3.3.${\displaystyle x_{f2}}$يصبح غير مستقر ويتقارب المدار إلى النقاط الدورية${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$و${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$.

عندما نحسب فعليًا معاملات التفاضل لنقطتين دوريتين للخريطة اللوجستية، نحصل على

${\displaystyle (f^{2})'(x_{f}^{(2)})=4+2r-r^{2}}$

3-9

عند تطبيق ذلك على المعادلة (3-7)، تصبح قيمة المعامل a كما يلي:

${\displaystyle \left|4+2r-r^{2}\right|<1}$

3-10

يمكن ملاحظة أن النقاط الدورية ذات البعد 2 تكون مستقرة تقاربياً عندما يكون هذا النطاق${\displaystyle 3<r<1+{\sqrt {6}}}$أي عندما تتجاوز قيمة r${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}=3.44949...}$، لم تعد النقاط الدورية ذات الفترة 2 مستقرة تقاربياً ويتغير سلوكها.

تنجذب جميع القيم الأولية تقريبًا في الفترة [0، 1] إلى النقاط الدورية ذات الفترة 2، ولكن${\displaystyle x_{f1}=0}$و${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$ تبقى هذه النقطة ثابتة غير مستقرة في الفترة [0,1]. وتستمر هذه النقاط الثابتة غير المستقرة في البقاء ضمن الفترة [0,1] حتى مع زيادة قيمة r. لذلك، عندما تكون القيمة الابتدائية بالضبط${\displaystyle x_{f1}}$أو${\displaystyle x_{f2}}$لا ينجذب المدار إلى نقطة دورية ثنائية. علاوة على ذلك، عندما تكون القيمة الأولية هي النقطة الثابتة النهائية لـ${\displaystyle x_{f1}}$أو النقطة الثابتة النهائية لـ${\displaystyle x_{f2}}$لا ينجذب المدار إلى نقطة دورية ثنائية. يوجد عدد لا نهائي من هذه النقاط الثابتة النهائية في الفترة [0، 1]. ومع ذلك، فإن عدد هذه النقاط ضئيل للغاية مقارنةً بمجموعة الأعداد الحقيقية [0، 1].

عندما تتراوح قيمة r بين 3.44949 و3.54409 (تقريبًا)، فإنّ التوزيع السكاني، في جميع الظروف الأولية تقريبًا، سيقترب من تذبذبات دائمة بين أربع قيم. وهذه القيمة الأخيرة هي جذر لكثير حدود من الدرجة الثانية عشرة (المتتالية A086181 في OEIS ) .

مع ازدياد قيمة r لتتجاوز 3.54409، تقترب أعداد السكان، في معظم الحالات الابتدائية، من التذبذب بين 8 قيم، ثم 16، ثم 32، وهكذا. تتناقص أطوال فترات المعلمات التي تُنتج تذبذبات بطول مُحدد بسرعة؛ وتقترب النسبة بين أطوال فترتي تشعب متتاليتين من ثابت فيجنباوم δ ≈ 4.66920 . يُعد هذا السلوك مثالًا على سلسلة مضاعفة الدورة .

عندما تتجاوز قيمة المعامل r${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}=3.44949...}$تصبح النقاط الدورية الثنائية المستقرة سابقًا غير مستقرة، وتتولد نقاط دورية رباعية مستقرة، وينجذب المدار نحو تذبذب دوري رباعي. أي أن تشعب مضاعفة الدورة يحدث مرة أخرى عند${\displaystyle r=3.44949...}$قيمة x عند النقطة الدورية ذات 4 هي أيضًا

${\displaystyle f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)=x}$

3-11

بما أن المعادلة (3-11) تحقق الشرط، فإن حلها يسمح بإيجاد قيم x عند النقاط الدورية ذات الأربع دورات. مع ذلك، فإن المعادلة (3-11) هي معادلة من الدرجة السادسة عشرة، وحتى لو استخرجنا الحلول الأربعة للنقاط الثابتة والنقاط الدورية ذات الدورتين، فإنها تبقى معادلة من الدرجة الثانية عشرة. لذا، لم يعد من الممكن حل هذه المعادلة للحصول على دالة صريحة لـ a تمثل قيم النقاط الدورية ذات الأربع دورات بنفس طريقة تمثيلها للنقاط الدورية ذات الدورتين.

مع ازدياد قيمة a، تخضع النقطة المستقرة ذات الدورة الرباعية لمضاعفة دورية أخرى، مما ينتج عنه نقطة مستقرة ذات دورة ثمانية. ومع ازدياد قيمة a، تحدث تفرعات مضاعفة الدورة بشكل لانهائي: 16، 32، 64، ... وهكذا، حتى الوصول إلى دورة لانهائية، أي مدار لا يعود أبدًا إلى قيمته الأصلية. تُسمى هذه السلسلة اللانهائية من تفرعات مضاعفة الدورة بالتتابع. وبينما تحدث هذه التفرعات بشكل لانهائي، تتناقص الفترات بين قيم a التي تحدث عندها بشكل هندسي. وبالتالي، يحدث عدد لا نهائي من تفرعات مضاعفة الدورة قبل أن تصل قيمة المعامل a إلى قيمة محدودة. لنفترض أن التفرع من الدورة 1 إلى الدورة 2 الذي يحدث عند r = 3 يُعتبر أول تفرع لمضاعفة الدورة. عندئذٍ، في هذا التتابع من تفرعات مضاعفة الدورة، تظهر نقطة مستقرة ذات دورة 2k عند نقطة التفرع رقم k. لنفترض أن نقطة التشعب رقم k هي a، ونرمز لها بـ a k. في هذه الحالة، من المعروف أن${\displaystyle r_{k}}$يتقارب إلى القيمة التالية عندما k → ∞. (المتتالية A098587 في OEIS )

${\displaystyle r_{\infty }=\lim _{k\rightarrow \infty }r_{k}=3.56994...}$

3-12

علاوة على ذلك، من المعروف أن معدل انخفاض ak يصل إلى قيمة ثابتة في النهاية، كما هو موضح في المعادلة التالية.

${\displaystyle \delta =\lim _{k\to \infty }{\frac {r_{k}-r_{k-1}}{r_{k+1}-r_{k}}}=4.66920...}$

3-13

تُسمى هذه القيمة لـ δ ثابت فيجنباوم لأنه تم اكتشافه بواسطة الفيزيائي الرياضي ميتشل فيجنباوم. ${\displaystyle r_{\infty }}$تُسمى هذه النقطة بنقطة فيجنباوم. في سلسلة مضاعفة الفترة،${\displaystyle f^{m}}$ و${\displaystyle f^{2m}}$تتميز هذه الدوال بأنها متطابقة محليًا بعد إجراء تحويل قياسي مناسب. ويمكن إيجاد ثابت فيجنباوم باستخدام تقنية تُسمى إعادة التطبيع، والتي تستغل هذا التشابه الذاتي. كما أن الخصائص التي تُظهرها الدالة اللوجستية في سلسلة مضاعفة الدورة هي خصائص عامة في فئة أوسع من الدوال، كما سيتم توضيحه لاحقًا.

للحصول على نظرة عامة على السلوك النهائي للمدار عند قيمة معينة لمعامل محدد، يُعدّ مخطط التشعب التقريبي، أو ما يُعرف بمخطط المدار، مفيدًا. في هذا المخطط، يُمثّل المحور الأفقي المعامل r، بينما يُمثّل المحور الرأسي المتغير x، كما هو الحال في مخطط التشعب. باستخدام الحاسوب، تُحدّد المعاملات، وتُجرى، على سبيل المثال، 500 تكرار. بعد ذلك، تُهمل أول 100 نتيجة، وتُرسم نتائج الـ 400 المتبقية فقط. يسمح هذا بتجاهل السلوك الانتقالي الأولي، مع الحفاظ على السلوك التقاربي للمدار. على سبيل المثال، عند رسم نقطة واحدة لـ r، تُمثّل نقطة ثابتة، وعند رسم m نقطة لـ r، فإنها تُشير إلى مدار دوري ذي m دورة. عند رسم مخطط المدار للخريطة اللوجستية، يُمكن ملاحظة كيفية انقسام الفرع الذي يُمثّل المدار الدوري المستقر، والذي يُمثّل سلسلة من تشعبات مضاعفة الدورة.

عندما يكون المعامل${\displaystyle r=r_{\infty }}$إنها بالضبط نقطة تراكم سلسلة مضاعفة الفترة، المتغير${\displaystyle x_{n}}$ينجذب إلى مدارات غير دورية لا تغلق أبدًا. بعبارة أخرى، توجد نقطة دورية ذات دورة لانهائية عند${\displaystyle r_{\infty }}$يُطلق على هذا المدار غير الدوري اسم جاذب فيجنباوم .${\displaystyle 2^{\infty }}$الجاذب. الجاذب مصطلح يُستخدم للإشارة إلى منطقة تتميز بخاصية جذب المدارات المحيطة بها، وهو المدار الذي ينجذب إليها في النهاية ويستمر فيه. النقاط الثابتة الجاذبة والنقاط الدورية المذكورة أعلاه هي أيضاً من عائلة الجاذبات.

يتشابه هيكل جاذب فيجنباوم مع هيكل شكل كسري يُسمى مجموعة كانتور . عدد النقاط التي تُكوّن جاذب فيجنباوم لا نهائي، وعدد عناصرها يساوي عدد الأعداد الحقيقية. مع ذلك، بغض النظر عن اختيار أي نقطتين، توجد دائمًا نقطة دورية غير مستقرة بينهما، وتوزيع النقاط غير متصل. يُعرف البُعد الكسري لجاذب فيجنباوم، أو بُعد هاوسدورف أو بُعد السعة، بأنه يُقارب 0.54.

مخطط العنكبوت للخريطة اللوجستية بمعامل r = 4 (يسار) وسلسلة زمنية تصل إلى n = 500 (يمين) للقيمة الأولية${\displaystyle x_{0}}$= 0.3.

عندما تكون قيمة المعامل r تساوي 4، يصبح السلوك فوضويًا على كامل النطاق [0، 1]. في هذه الحالة، يصل مُعامل ليابونوف λ إلى أقصى قيمة له، وتكون الحالة في أقصى درجات الفوضى. يمكن حساب قيمة λ للخريطة اللوجستية عند r = 4 بدقة، وهي λ = log 2. على الرغم من عدم وجود تعريف رياضي دقيق للفوضى حتى الآن، إلا أنه يمكن إثبات أن الخريطة اللوجستية عند r = 4 فوضوية على النطاق [0، 1] وفقًا لأحد التعريفات المعروفة للفوضى.

يمكن أيضًا إعطاء المقياس الثابت لكثافة النقاط، ρ(x)، بواسطة الدالة الدقيقة ρ(x) لـ r = 4 :

${\displaystyle {\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}}$

3-17

هنا، تعني ρ(x) أن نسبة النقاط xn التي تقع في الفترة المتناهية الصغر [x,x+dx] عند تكرار الخريطة تُعطى بالعلاقة ρ(x) dx. يتميز التوزيع التكراري للخريطة اللوجستية مع r = 4 بكثافة عالية بالقرب من جانبي [0, 1]، وبأقل كثافة عند x = 0.5.

عندما تكون قيمة r تساوي 4، فإنه بالإضافة إلى المدارات الفوضوية، توجد أيضًا مدارات دورية ذات فترات زمنية مختلفة. بالنسبة لعدد طبيعي n، يكون الرسم البياني لـ${\displaystyle f_{r=4}^{n}(x)}$هو منحنى مع${\displaystyle 2^{n-1}}$القمم و${\displaystyle 2^{n-1}-1}$الوديان، وكلها مماسة للنقطتين 0 و1. وبالتالي، فإن عدد نقاط التقاطع بين القطر والرسم البياني هو${\displaystyle 2^{n}}$وهناك${\displaystyle 2^{n}}$نقاط ثابتة من${\displaystyle f^{n}(x)}$تُدرج النقاط الدورية ذات الفترة n دائمًا في هذه النقاط .${\displaystyle 2^{n}}$النقاط الثابتة، لذا فإن أي مدار دوري n موجود لـ${\displaystyle f_{r=4}^{n}(x)}$وبالتالي ، عندما تكون قيمة r تساوي 4، يوجد عدد لا نهائي من النقاط الدورية على الفترة [0، 1]، لكن جميع هذه النقاط الدورية غير مستقرة. علاوة على ذلك، في المجموعة اللانهائية غير القابلة للعد في الفترة [0، 1]، يكون عدد النقاط الدورية لانهائيًا قابلًا للعد، ولذلك فإن جميع المدارات تقريبًا التي تبدأ من قيم ابتدائية ليست دورية بل غير دورية.

من أهم جوانب الفوضى طبيعتها المزدوجة: الحتمية والعشوائية. تُعدّ الأنظمة الديناميكية عمليات حتمية، ولكن عند تقريب نطاق المتغيرات بشكل مناسب، تصبح غير قابلة للتمييز عن العمليات العشوائية. في حالة الخريطة اللوجستية ذات r = 4، يمكن وصف نتيجة كل رمية عملة معدنية بمسار الخريطة اللوجستية. ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي.

لنفترض أن قطعة نقدية تُرمى باحتمالية 1/2 للظهور على صورة أو كتابة، وتُرمى القطعة بشكل متكرر. إذا كانت الصورة تساوي 0 والكتابة تساوي 1، فإن نتيجة رميات متكررة (صورة، كتابة، صورة، كتابة، إلخ) ستكون سلسلة من الرموز مثل 01001.... من ناحية أخرى، بالنسبة للمسار${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...}$في الخريطة اللوجستية، تُحوّل القيم الأقل من x = 0.5 إلى 0، والقيم الأكبر من x = 0.5 إلى 1، ويُستبدل المسار بسلسلة رموز تتكون من أصفار وواحدات. على سبيل المثال، إذا كانت القيمة الأولية هي${\displaystyle x_{0}=0.2}$، ثم${\displaystyle x_{1}=0.64}$،${\displaystyle x_{2}=0.9216}$،${\displaystyle x_{3}=0.28901}$...، لذا سيكون المسار هو سلسلة الرموز 0110.... لنفترض${\displaystyle S_{C}}$ليكن سلسلة الرموز الناتجة عن رمية العملة السابقة، و${\displaystyle S_{L}}$لتكن سلسلة الرموز الناتجة عن الخريطة اللوجستية الأخيرة. الرموز الموجودة في سلسلة الرموز${\displaystyle S_{C}}$تم تحديدها عن طريق رمي عملة معدنية عشوائيًا، لذا فإن أي نمط من أنماط تسلسل الأرقام ممكن. لذلك، مهما كانت السلسلة${\displaystyle S_{L}}$توجد خريطة لوجستية مماثلة في${\displaystyle S_{C}}$والأمر "اللافت" هو أن العكس صحيح أيضاً: مهما كانت سلسلة${\displaystyle S_{C}}$ويمكن تحقيق ذلك من خلال مسار الخريطة اللوجستية${\displaystyle S_{L}}$باختيار القيم الأولية المناسبة. أي، لأي${\displaystyle S_{C}}$توجد نقطة فريدة${\displaystyle x_{0}}$في الفترة [0، 1] بحيث${\displaystyle S_{C}=S_{L}}$.

عندما تتجاوز المعلمة r القيمة 4، فإن الرأس r /4 من الرسم البياني للخريطة اللوجستية يتجاوز 1. وبقدر ما يخترق الرسم البياني 1، يمكن للمسارات أن تهرب من [0، 1] .

يُعدّ التشعب عند r = 4 نوعًا من الأزمات، وتحديدًا أزمة حدودية. في هذه الحالة، يصبح الجاذب عند [0, 1] غير مستقر وينهار، وبما أنه لا يوجد جاذب خارجه، فإن المسار يتباعد إلى ما لا نهاية.

من جهة أخرى، توجد مدارات تبقى ضمن النطاق [0، 1] حتى لو كانت قيمة r أكبر من 4. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك النقاط الثابتة والنقاط الدورية في النطاق [0، 1]، والتي تبقى ضمن هذا النطاق. مع ذلك، توجد أيضًا مدارات أخرى تبقى ضمن النطاق [0، 1] غير النقاط الثابتة والنقاط الدورية.

يترك${\displaystyle A_{0}}$لتكن الفترة التي يكون فيها x بحيث f(x) > 1. كما ذكرنا سابقًا، بمجرد أن يكون المتغير${\displaystyle x_{n}}$يدخل${\displaystyle A_{0}}$، يتباعد إلى سالب ما لا نهاية. يوجد أيضًا${\displaystyle r_{n}}$x في [0, 1] الذي يُقابل${\displaystyle A_{0}}$بعد تطبيق الخريطة مرة واحدة. يتم تقسيم هذه الفترة x إلى قسمين، يُطلق عليهما مجتمعين اسم${\displaystyle A_{1}}$وبالمثل، هناك أربع فترات زمنية تتوافق مع${\displaystyle A_{1}}$بعد تطبيق واحد للخريطة، والتي تسمى مجتمعة${\displaystyle A_{2}}$وبالمثل، توجد فترات 2n${\displaystyle A_{n}}$ذلك المدى${\displaystyle A_{0}}$بعد n تكرارًا. لذلك، فإن الفترة${\displaystyle \Lambda }$تم الحصول عليها عن طريق إزالة${\displaystyle A_{n}}$من [0، 1] عدد لا نهائي من المرات كما يلي هي مجموعة من المدارات التي تبقى في I.

${\displaystyle {\displaystyle \Lambda =\left[0,\ 1\right]-\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}}}$

3-18

عملية الإزالة${\displaystyle A_{n}}$من [0، 1] يشبه بناء مجموعة كانتور المذكورة أعلاه، وفي الواقع توجد Λ في [0، 1] كمجموعة كانتور (مجموعة فرعية مغلقة ومنفصلة تمامًا وكاملة من [0، 1]). علاوة على ذلك، على${\displaystyle \Lambda }$الخريطة اللوجستية${\displaystyle f_{r>4}}$فوضوي.

نظرًا لأن الخريطة اللوجستية دُرست كثيرًا كنموذج بيئي، نادرًا ما نوقشت حالة كون المعامل r سالبًا. عندما تتناقص قيمة a من الصفر، حيث −1 < r < 0، تقترب الخريطة تقاربًا مقاربًا من نقطة ثابتة مستقرة xf = 0، ولكن عندما تتجاوز a قيمة −1، تتفرع إلى نقطتين دوريتين، وكما هو الحال في القيم الموجبة، تمر بتشعب مضاعفة الدورة وتصل إلى حالة الفوضى. أخيرًا، عندما تنخفض قيمة a إلى أقل من −2، تتباعد الخريطة إلى ما لا نهاية.

مخطط مداري للمعامل r من -2 إلى 4. يتباعد المدار عندما يتجاوز المعامل a هذا النطاق، سواء على الجانبين السالب أو الموجب.

بالنسبة لخريطة لوجستية ذات معلمات محددة${\displaystyle a}$، حل دقيق يتضمن الوقت بشكل صريح${\displaystyle n}$والقيمة الأولية${\displaystyle x_{0}}$تم الحصول عليها على النحو التالي.

عندما r = 4

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1-\cos \left[2^{n}\arccos(1-2x_{0})\right]}{2}}}}$

3-19

عندما r = 2

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1-\exp \left[2^{n}\log(1-2x_{0})\right]}{2}}}}$

3-20

عندما r = −2

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-\cos \left\{{\frac {1}{3}}\left[\pi -(-2)^{n}\left(\pi -3\arccos({\frac {1}{2}}-x_{0})\right)\right]\right\}}}$

3-21

بالنظر إلى الحلول الثلاثة الدقيقة المذكورة أعلاه، فإن جميعها

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}\left\{1-f\left[a^{n}f^{-1}(1-2x_{0})\right]\right\}}}$

3-22

على الرغم من أن الحلول الدقيقة للعلاقة التكرارية لا تتوفر إلا في عدد قليل من الحالات، إلا أنه من المعروف وجود حد أعلى مغلق الصيغة للدالة اللوجستية عندما يكون 0 ≤ r ≤ 1. ^{[ 18 ]} هناك جانبان لسلوك الدالة اللوجستية ينبغي أن يغطيهما الحد الأعلى في هذا النطاق: التضاؤل ​​الهندسي التقاربي مع ثبات r، والتضاؤل ​​الأولي السريع عندما تكون x₀ قريبة من 1، والناتج عن الحد (1 − xₙ) في العلاقة التكرارية _. ويغطي الحد التالي _كلا هذين التأثيرين:

$${\displaystyle \forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.}$$

يمكن في الواقع حلّ الحالة الخاصة عندما r = 4 بدقة، وكذلك الحالة عندما r = 2 ؛ ^{[ 19 ]} أما الحالة العامة فلا يمكن التنبؤ بها إلا إحصائيًا. ^{[ 20 ]} الحل عندما r = 4 هو: ^{[ 19 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),}$$

حيث تُعطى معلمة الشرط الابتدائي θ بالعلاقة التالية

$${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).}$$

بالنسبة لقيم θ النسبية ، بعد عدد محدود من التكرارات، تتحول x_{_n} إلى متتالية دورية. لكن معظم قيم θ غير نسبية، وبالنسبة لقيم θ غير النسبية ، لا تتكرر x_{_n} أبدًا - فهي غير دورية. توضح معادلة الحل هذه بوضوح السمتين الرئيسيتين للفوضى - التمدد والطي: يُظهر العامل 2^ⁿ النمو الأسي للتمدد، مما ينتج عنه اعتماد حساس على الشروط الابتدائية ، بينما تحافظ دالة الجيب التربيعي على x_{_n} مطوية ضمن النطاق [0,1] .

بالنسبة لـ r = 4، يكون الحل المكافئ بدلالة الأعداد المركبة بدلاً من الدوال المثلثية هو ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}}$$

حيث α هو أحد الأعداد المركبة

$${\displaystyle \alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}}$$

بمعامل يساوي 1. وكما أن دالة الجيب التربيعي في الحل المثلثي لا تؤدي إلى انكماش أو تمدد مجموعة النقاط التي تمت زيارتها، فإن هذا التأثير في الحل الأخير يتم تحقيقه بواسطة المعامل الواحد لـ α .

وعلى النقيض من ذلك، فإن الحل عندما يكون r = 2 هو ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}}$$

لـ x ₀ ∈ [0,1) . بما أن (1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1) لأي قيمة لـ x ₀ بخلاف النقطة الثابتة غير المستقرة 0، فإن الحد (1 − 2 x ₀ ) ^{2 n} يؤول إلى 0 عندما يؤول n إلى اللانهاية، لذا فإن x n يؤول _إلى النقطة الثابتة المستقرة 1 / 2 .

في حالة r = 4 ، تكون متتالية التكرارات فوضوية في معظم الحالات الابتدائية. ومع ذلك، يوجد عدد لا نهائي من الحالات الابتدائية التي تؤدي إلى دورات، وبالفعل توجد دورات بطول k لجميع الأعداد الصحيحة k > 0. يمكننا استغلال العلاقة بين الخريطة اللوجستية والتحويل الثنائي (المعروف أيضًا باسم خريطة إزاحة البتات ) لإيجاد دورات بأي طول. إذا كان x يتبع الخريطة اللوجستية x _{_{n +1}} = 4x _{_n} (1 − x_{_n} ) و y يتبع التحويل الثنائي

$${\displaystyle y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}}$$

ثم يرتبط الاثنان بتماثل شكلي

$${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).}$$

يُطلق على التحويل الثنائي أيضًا اسم خريطة إزاحة البتات، لأنه عند كتابة y بالترميز الثنائي، تُحرك الخريطة النقطة الثنائية خانة واحدة إلى اليمين (وإذا أصبحت البتة الموجودة على يسار النقطة الثنائية "1"، فإن هذه "1" تُغير إلى "0"). على سبيل المثال، تحدث دورة بطول 3 إذا كان للتكرار تسلسل متكرر من 3 بتات في تمثيله الثنائي (وهو ليس أيضًا تسلسلًا متكررًا من بت واحد): 001، 010، 100، 110، 101، أو 011. يُحوّل التكرار 001001001... إلى 010010010...، والذي يُحوّل بدوره إلى 100100100...، والذي يُحوّل بدوره إلى 001001001... الأصلي؛ لذا فهذه دورة من 3 لخريطة إزاحة البتات. أما التسلسلات المتكررة الثلاثة الأخرى في التوسع الثنائي فتعطي الدورة الثلاثية 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110.... يمكن تحويل أي من هذه الدورات الثلاثية إلى صيغة كسرية: على سبيل المثال، يمكن كتابة الدورة الثلاثية الأولى المعطاة على النحو التالي : 1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7 . باستخدام التحويل أعلاه من خريطة إزاحة البت إلى${\displaystyle r=4}$تُعطي الخريطة اللوجستية الدورة اللوجستية المقابلة 0.611260467... → 0.950484434... → 0.188255099... → 0.611260467.... وبالمثل، يُمكننا ترجمة دورة الإزاحة الثنائية الثلاثية الأخرى إلى دورتها اللوجستية المقابلة. كما يُمكن إيجاد دورات بأي طول k في خريطة الإزاحة الثنائية، ثم ترجمتها إلى الدورات اللوجستية المقابلة.

مع ذلك، ولأن معظم الأعداد في الفترة [0,1) غير نسبية، فإن معظم الشروط الابتدائية لخريطة إزاحة البتات تؤدي إلى عدم دورية الفوضى. هذه إحدى الطرق لإثبات أن خريطة لوجستية r = 4 فوضوية في معظم الشروط الابتدائية.

عدد الدورات ذات الطول الأدنى k = 1، 2، 3، ... للخريطة اللوجستية ذات r = 4 ( خريطة الخيمة ذات μ = 2 ) هو متتالية أعداد صحيحة معروفة (المتتالية A001037 في OEIS ) : 2، 1، 2، 3، 6، 9، 18، 30، 56، 99، 186، 335، 630، 1161 ^.... هذا يعني أن الخريطة اللوجستية ذات r = 4 تحتوي على نقطتين ثابتتين، ودورة واحدة بطول 2، ودورتين بطول 3، وهكذا . تأخذ هذه المتتالية شكلاً بسيطاً للغاية للعدد الأولي k : 2 ⋅ 2k ^{− 1} − 1 / k . على سبيل المثال: 2  ⋅ ⁠ 2 ^{13 − 1} − 1 / 13 ⁠ = 630 هو عدد الدورات التي طولها 13. وبما أن هذه الحالة من الخريطة اللوجستية فوضوية بالنسبة لجميع الشروط الأولية تقريبًا، فإن جميع هذه الدورات ذات الطول المحدود غير مستقرة.