بديهيات بيركوف

في عام ١٩٣٢، وضع جي. دي. بيركوف مجموعة من أربع مسلمات للهندسة الإقليدية في المستوى، تُعرف أحيانًا باسم بديهيات بيركوف . ^{[ ١ ]} تستند هذه المسلمات جميعها إلى مبادئ هندسية أساسية يمكن التحقق منها تجريبيًا باستخدام المسطرة والمنقلة . ولأن هذه المسلمات مبنية على الأعداد الحقيقية ، فإن هذا النهج يُشبه تقديمًا نموذجيًا للهندسة الإقليدية.

استُخدم نظام بيركوف البديهي في كتاب بيركوف وبياتلي المدرسي للمرحلة الثانوية. ^{[ 2 ]} كما عُدّلت هذه البديهيات من قِبل مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية لتوفير معيار جديد لتدريس الهندسة في المرحلة الثانوية، يُعرف باسم بديهيات SMSG . وتستخدم بعض الكتب المدرسية الأخرى في أسس الهندسة صيغًا مختلفة من بديهيات بيركوف. ^{[ 3 ]}

مسلمات بيركوف الأربع

المسافة بين نقطتين $A$ و $B$ يرمز لها بـ $d$ $($ $A,$ $B$ $)$ ، والزاوية التي تشكلها ثلاث نقاط $A$ $و$ $B$ $و$ $C$ يرمز لها بـ $∠$ $ABC$ .

المسلّمة الأولى: مسلّمة قياس الخط . يمكن وضع مجموعة النقاط ${A, B, ...} على أي خط في تناظر واحد لواحد مع$ الأعداد الحقيقية ${a, b, ...}$ بحيث يكون | $b - a | = d (A, B)$ لجميع النقاط $A$ و $B.$

المسلّمة الثانية: مسلّمة النقطة والخط . يوجد خط واحد فقط $ℓ$ يحتوي على أي نقطتين مختلفتين معطيتين $P$ و $Q.$

المسلّمة الثالثة: مسلّمة قياس الزاوية . يمكن تمثيل مجموعة الأشعة ${ℓ, m, n, ...}$ المارة بأي نقطة $O بتطابق تام مع الأعداد الحقيقية$ $a (mod 2π )،$ بحيث إذا كانت $A$ و $B$ نقطتين (لا تساويان $O$ ) على $ℓ$ و $m$ على التوالي، فإن الفرق $a$ $$ $m$ $-$ $a$ $ℓ$ $(mod$ $2π)$ بين العددين المرتبطين بالخطين $ℓ$ و $m$ هو $∠AOB$ . علاوة على ذلك، إذا كانت النقطة $B$ على $m$ تتغير باستمرار على طول خط $r$ لا يحتوي على الرأس $O$ ، فإن العدد $a$ $m$ $$ يتغير باستمرار أيضًا.

الفرضية الرابعة: فرضية التشابه . إذا كان لدينا مثلثان $ABC$ و $A'B'C'$ وثابت $k > 0$ بحيث يكون $d (A', B') = kd (A, B), d (A', C') = kd (A, C)$ و $∠ B'A'C' = \pm∠ BAC$ ، فإن $d (B', C') = kd (B, C), ∠ C'B'A' = \pm∠ CBA$ , و $∠ A'C'B' = \pm∠ ACB$ .

انظر أيضاً

مراجع

↑ بيركوف، جورج ديفيد (1932)، "مجموعة من المسلمات للهندسة المستوية (بناءً على المقياس والمنقلة)"، حوليات الرياضيات ، 33 (2): 329-345 ، doi : 10.2307/1968336 ، hdl : 10338.dmlcz/147209 ، JSTOR 1968336
↑ بيركوف، جورج ديفيد ؛ بياتلي، رالف (2000) [الطبعة الأولى، 1940]، الهندسة الأساسية ( الطبعة الثالثة)، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 978-0-8218-2101-5
↑ كيلي، بول جوزيف؛ ماثيوز، جوردون (1981)، المستوى الزائدي غير الإقليدي: بنيته واتساقه ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-90552-9

[1] بيركوف، جورج ديفيد (1932)، "مجموعة من المسلمات للهندسة المستوية (بناءً على المقياس والمنقلة)"، حوليات الرياضيات ، 33 (2): 329-345 ، doi : 10.2307/1968336 ، hdl : 10338.dmlcz/147209 ، JSTOR 1968336

[2] بيركوف، جورج ديفيد ؛ بياتلي، رالف (2000) [الطبعة الأولى، 1940]، الهندسة الأساسية ( الطبعة الثالثة)، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 978-0-8218-2101-5

[3] كيلي، بول جوزيف؛ ماثيوز، جوردون (1981)، المستوى الزائدي غير الإقليدي: بنيته واتساقه ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-90552-9

[ ١ ]

[ 2 ]

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	20 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗