النظام البديهي

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( مارس 2013 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في الرياضيات والمنطق ، النظام البديهي هو أي مجموعة ^[أ] من المفاهيم البديهية والمسلمات لاستنتاج نظريات منطقيًا . النظرية هي مجموعة متماسكة ومكتفية ذاتيًا نسبيًا من المعرفة والتي تحتوي عادةً على نظام بديهي وجميع نظرياته المشتقة. النظام البديهي الموصوف بالكامل هو نوع خاص من النظام الرسمي . النظرية الرسمية هي نظام بديهي (عادةً ما يتم صياغته داخل نظرية النموذج ) يصف مجموعة من الجمل المغلقة تحت الاستدلال المنطقي. ^[1] الإثبات الرسمي هو تجسيد كامل لإثبات رياضي داخل نظام رسمي.

يقال إن النظام البديهي متسق إذا كان يفتقر إلى التناقض . أي أنه من المستحيل استنباط كل من العبارة ونفيها من بديهيات النظام. يعد الاتساق شرطًا أساسيًا لمعظم الأنظمة البديهية، حيث أن وجود التناقض يسمح بإثبات أي عبارة ( مبدأ الانفجار ).

في النظام البديهي، يُطلق على البديهية اسم مستقلة إذا لم يكن من الممكن إثباتها أو دحضها من البديهيات الأخرى في النظام. ويُطلق على النظام اسم مستقل إذا كانت كل من البديهيات الأساسية مستقلة. وعلى عكس الاتساق، فإن الاستقلال ليس شرطًا ضروريًا لنظام بديهي فعال - على الرغم من أنه يُسعى إليه عادةً لتقليل عدد البديهيات في النظام.

يُسمى النظام البديهي كاملاً إذا كان من الممكن اشتقاق كل عبارة، سواء نفسها أو نفيها، من بديهيات النظام (على نحو مكافئ، يمكن إثبات صحة أو خطأ كل عبارة). ^[2]

وبعيدًا عن الاتساق، فإن الاتساق النسبي هو أيضًا علامة على نظام بديهي جدير بالاهتمام. وهذا يصف السيناريو الذي يتم فيه تزويد المصطلحات غير المحددة لنظام بديهي أول بتعريفات من نظام بديهي ثانٍ، بحيث تكون بديهيات النظام الأول عبارة عن نظريات للنظام الثاني.

من الأمثلة الجيدة على ذلك الاتساق النسبي للهندسة المطلقة فيما يتعلق بنظرية نظام الأعداد الحقيقية . فالخطوط والنقط هي مصطلحات غير محددة (وتسمى أيضًا مفاهيم بدائية ) في الهندسة المطلقة، ولكن لها معاني معينة في نظرية الأعداد الحقيقية بطريقة تتفق مع كل من أنظمة البديهيات. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

النموذج لنظام بديهي هو مجموعة محددة جيدًا ، والتي تعين معنى للمصطلحات غير المحددة المقدمة في النظام، بطريقة صحيحة مع العلاقات المحددة في النظام. إن وجود نموذج ملموس يثبت اتساق النظام ^{[ متنازع عليه - ناقش ] . يسمى النموذج ملموسًا إذا كانت المعاني المعينة عبارة} عن أشياء وعلاقات من العالم الحقيقي ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} ، على عكس النموذج المجرد الذي يعتمد على أنظمة بديهية أخرى.

يمكن أيضًا استخدام النماذج لإظهار استقلال البديهية في النظام. من خلال إنشاء نموذج صالح لنظام فرعي بدون بديهية محددة، نظهر أن البديهية المحذوفة مستقلة إذا لم تكن صحتها تنبع بالضرورة من النظام الفرعي.

يقال إن نموذجين متماثلان إذا كان من الممكن إيجاد تطابق واحد لواحد بين عناصرهما، بطريقة تحافظ على علاقتهما. ^[3] يُطلق على النظام البديهي الذي يكون فيه كل نموذج متماثلًا مع نموذج آخر اسم فئوي (أحيانًا فئوي ). تضمن خاصية الفئوية اكتمال النظام، لكن العكس ليس صحيحًا: لا يضمن الاكتمال فئوية النظام، حيث يمكن أن يختلف نموذجان في خصائص لا يمكن التعبير عنها بدلالات النظام .

على سبيل المثال، لاحظ النظام البديهي التالي، الذي يعتمد على المنطق من الدرجة الأولى مع الدلالات الإضافية لعدد لا نهائي من البديهيات التالية المضافة (يمكن صياغتها بسهولة كمخطط بديهي ):

${\displaystyle \يوجد x_{1}:\يوجد x_{2}:\ليس (x_{1}=x_{2})}$(بشكل غير رسمي، هناك عنصرين مختلفين).

${\displaystyle \يوجد x_{1}:\يوجد x_{2}:\يوجد x_{3}:\ليس (x_{1}=x_{2})\ليس (x_{1}=x_{3})\ليس (x_{2}=x_{3})}$(بشكل غير رسمي، هناك ثلاثة عناصر مختلفة).

${\displaystyle ...}$

بشكل غير رسمي، تنص هذه المجموعة اللانهائية من البديهيات على وجود عدد لا نهائي من العناصر المختلفة. ومع ذلك، لا يمكن تعريف مفهوم المجموعة اللانهائية داخل النظام - ناهيك عن عدد عناصر هذه المجموعة.

يحتوي النظام على نموذجين مختلفين على الأقل - أحدهما هو الأعداد الطبيعية (متماثل مع أي مجموعة أخرى لا نهائية قابلة للعد)، والآخر هو الأعداد الحقيقية (متماثل مع أي مجموعة أخرى ذات عدد متصل ). في الواقع، يحتوي على عدد لا نهائي من النماذج، نموذج لكل عدد من مجموعة لا نهائية. ومع ذلك، فإن الخاصية التي تميز هذه النماذج هي عددهم - وهي خاصية لا يمكن تعريفها داخل النظام. وبالتالي فإن النظام ليس تصنيفيًا. ومع ذلك، يمكن إظهار أنه كامل.

إن صياغة التعريفات والاقتراحات بطريقة تجعل كل مصطلح جديد قابلاً للحذف رسميًا بواسطة المصطلحات التي تم تقديمها مسبقًا يتطلب مفاهيم بدائية (بديهيات) لتجنب الانحدار اللانهائي . وتسمى هذه الطريقة في ممارسة الرياضيات بالطريقة البديهية . ^[4]

الموقف الشائع تجاه الطريقة البديهية هو المنطقية . في كتابهما Principia Mathematica ، حاول ألفريد نورث وايتهايد وبرتراند راسل إظهار أن كل نظرية رياضية يمكن اختزالها إلى مجموعة من البديهيات. وبشكل عام، فإن اختزال مجموعة من القضايا إلى مجموعة معينة من البديهيات يشكل أساس برنامج البحث لدى علماء الرياضيات. كان هذا بارزًا جدًا في رياضيات القرن العشرين، وخاصة في الموضوعات القائمة على الجبر المتجانس .

إن شرح البديهيات الخاصة المستخدمة في النظرية يمكن أن يساعد في توضيح مستوى التجريد المناسب الذي يرغب عالم الرياضيات في العمل به. على سبيل المثال، اختار علماء الرياضيات أن الحلقات لا يجب أن تكون تبديلية ، وهو ما يختلف عن صياغة إيمي نوثر الأصلية. قرر علماء الرياضيات النظر إلى المساحات الطوبولوجية بشكل أكثر عمومية دون بديهية الفصل التي صاغها فيليكس هاوسدورف في الأصل.

نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل ، نتيجة للطريقة البديهية المطبقة على نظرية المجموعات، سمحت بالصياغة "الصحيحة" لمشكلات نظرية المجموعات وساعدت في تجنب مفارقات نظرية المجموعات الساذجة . كانت إحدى هذه المشاكل فرضية الاستمرارية . تُختصر نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل، بما في ذلك بديهية الاختيار المثيرة للجدل تاريخيًا، عادةً إلى ZFC ، حيث يرمز "C" إلى "الاختيار". يستخدم العديد من المؤلفين ZF للإشارة إلى بديهيات نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل مع استبعاد بديهية الاختيار. ^[5] اليوم، تعد ZFC الشكل القياسي لنظرية المجموعة البديهية وبالتالي فهي الأساس الأكثر شيوعًا للرياضيات .

لقد تطورت الأساليب الرياضية إلى درجة معينة من التطور في مصر القديمة وبابل والهند والصين، على ما يبدو دون استخدام الطريقة البديهية.

كان إقليدس الإسكندري مؤلف أقدم عرض بديهي موجود للهندسة الإقليدية ونظرية الأعداد . تبدأ فكرته بخمسة افتراضات هندسية لا يمكن إنكارها تسمى البديهيات . ثم باستخدام هذه البديهيات، أثبت صحة المقترحات الأخرى عن طريق الإثباتات ، ومن هنا جاءت الطريقة البديهية. ^[6]

تم تطوير العديد من الأنظمة البديهية في القرن التاسع عشر، بما في ذلك الهندسة غير الإقليدية ، وأسس التحليل الحقيقي ، ونظرية المجموعات لكانتور ، وعمل فريجه على الأسس، والاستخدام "الجديد" لهيلبرت للطريقة البديهية كأداة بحث. على سبيل المثال، تم وضع نظرية المجموعة لأول مرة على أساس بديهي نحو نهاية ذلك القرن. بمجرد توضيح البديهيات (أن العناصر العكسية يجب أن تكون مطلوبة، على سبيل المثال)، يمكن للموضوع المضي قدمًا بشكل مستقل، دون الرجوع إلى أصول مجموعة التحويل لتلك الدراسات.

لا يمكن التقاط كل مجموعة متسقة من المقترحات من خلال مجموعة قابلة للوصف من البديهيات. في نظرية التكرار، تسمى مجموعة من البديهيات متكررة إذا كان برنامج الكمبيوتر قادرًا على التعرف على ما إذا كانت مقترحات معينة في اللغة عبارة عن نظرية. ثم تخبرنا نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل أن هناك مجموعات متسقة معينة من المقترحات بدون بديهيات متكررة. عادةً، يمكن للكمبيوتر التعرف على البديهيات والقواعد المنطقية لاستخلاص النظريات، ويمكن للكمبيوتر التعرف على ما إذا كان الدليل صحيحًا، ولكن تحديد ما إذا كان الدليل موجودًا لبيان ما لا يمكن حله إلا من خلال "الانتظار" لتوليد الدليل أو الدحض. والنتيجة هي أنه لن يعرف المرء أي المقترحات هي نظريات وتنهار الطريقة البديهية. مثال على مثل هذا الجسم من المقترحات هو نظرية الأعداد الطبيعية ، والتي يتم تحويلها جزئيًا فقط إلى بديهيات من خلال بديهيات بيانو (الموصوفة أدناه).

في الممارسة العملية، لا يمكن إرجاع كل دليل إلى البديهيات. وفي بعض الأحيان، ليس من الواضح حتى أي مجموعة من البديهيات يستند إليها الدليل. على سبيل المثال، قد يكون من الممكن التعبير عن بيان نظري عددي بلغة الحساب (أي لغة بديهيات بيانو) وقد يتم تقديم دليل يستند إلى الطوبولوجيا أو التحليل المركب . قد لا يكون من الواضح على الفور ما إذا كان من الممكن إيجاد دليل آخر يستمد نفسه فقط من بديهيات بيانو.

إن أي نظام من البديهيات يتم اختياره بشكل تعسفي إلى حد ما يشكل أساسًا لبعض النظريات الرياضية، ولكن مثل هذا النظام البديهي التعسفي لن يكون بالضرورة خاليًا من التناقضات، وحتى لو كان كذلك، فمن غير المرجح أن يلقي الضوء على أي شيء. يزعم فلاسفة الرياضيات أحيانًا أن علماء الرياضيات يختارون البديهيات "تعسفيًا"، ولكن من الممكن أن يكون هذا المظهر، على الرغم من أنه قد يبدو تعسفيًا عند النظر إليه فقط من وجهة نظر قواعد المنطق الاستنتاجي، راجعًا إلى قيود على الأغراض التي يخدمها المنطق الاستنتاجي.

يعتمد النظام الرياضي للأعداد الطبيعية 0، 1، 2، 3، 4، ... على نظام بديهي ابتكره لأول مرة عالم الرياضيات جوزيبي بيانو في عام 1889. وقد اختار البديهيات، بلغة رمز الدالة الأحادية S (اختصارًا لـ " الخليفة ") لمجموعة الأعداد الطبيعية لتكون:

• هناك عدد طبيعي 0.
• لكل عدد طبيعي a خليفة، يرمز له بالرمز Sa .
• لا يوجد عدد طبيعي يكون خليفته هو 0.
• الأعداد الطبيعية المميزة لها خلفاء مميزون: إذا كان a ≠ b ، فإن Sa ≠ Sb .
• إذا كانت الخاصية مملوكة للرقم 0 وأيضًا لخليفة كل عدد طبيعي تمتلكه، فإنها مملوكة لجميع الأعداد الطبيعية ( مبدأ الاستقراء ).

في الرياضيات ، يعتبر استنباط البديهيات عملية أخذ مجموعة من المعارف والعمل بشكل عكسي نحو بديهياتها. إنها صياغة نظام من العبارات (أي البديهيات ) التي تربط عددًا من المصطلحات البدائية - حتى يمكن استنباط مجموعة متسقة من المقترحات استنتاجيًا من هذه العبارات. بعد ذلك، يجب أن يكون إثبات أي مقترح، من حيث المبدأ، قابلاً للتتبع إلى هذه البديهيات.

• مخطط البديهيات  – تدوين قصير لمجموعة من العبارات التي تعتبر صحيحة
• الشكلية  - وجهة نظر مفادها أن الرياضيات لا تمثل الواقع بالضرورة، بل هي أقرب إلى اللعبة
• مبرهنات عدم الاكتمال لغودل  – النتائج المحدودة في المنطق الرياضي
• نظام الاستنباط على طريقة هيلبرت  – نظام الاستنباط الرسمي في المنطقالصفحات التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه
• تاريخ المنطق
• قائمة الأنظمة المنطقية
• المنطقية  – برنامج في فلسفة الرياضيات
• نظرية المجموعات زيرميلو-فرانكل  - نظام قياسي لنظرية المجموعات البديهية، ونظام بديهي لنظرية المجموعات والأساس الأكثر شيوعًا للرياضيات في يومنا هذا.

• "الطريقة البديهية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• إريك دبليو فايسشتاين، النظام البديهي ، من موقع MathWorld—موارد ويب ولفرام. Mathworld.wolfram.com & Answers.com