أسس الهندسة

الموسوعة الحرة

أسس الهندسة هي دراسة الأشكال الهندسية كنظم بديهية . توجد عدة مجموعات من البديهيات التي تُفضي إلى الهندسة الإقليدية أو غير الإقليدية . تُعد هذه البديهيات أساسية للدراسة وذات أهمية تاريخية، ولكن هناك العديد من الأشكال الهندسية الحديثة غير الإقليدية التي يمكن دراستها من هذا المنظور. يُمكن تطبيق مصطلح الهندسة البديهية على أي شكل هندسي مُشتق من نظام بديهي، ولكنه يُستخدم غالبًا للدلالة على الهندسة الإقليدية التي تُدرس من هذا المنظور. يُعد اكتمال واستقلالية النظم البديهية العامة من الاعتبارات الرياضية الهامة، ولكن هناك أيضًا مسائل تتعلق بتدريس الهندسة تدخل في الحسبان.

الأنظمة البديهية

استنادًا إلى الأساليب اليونانية القديمة، يُعد النظام البديهي وصفًا رسميًا لطريقة إثبات الحقيقة الرياضية التي تنبع من مجموعة ثابتة من الافتراضات. ورغم إمكانية تطبيقه على أي مجال من مجالات الرياضيات، فإن الهندسة هي فرع الرياضيات الابتدائية الذي طُبِّق فيه هذا الأسلوب بنجاح واسع النطاق. [ 1 ]

يتكون النظام البديهي من عدة مكونات. [ 2 ]

  1. المفاهيم الأولية (المصطلحات غير المُعرَّفة) هي أبسط الأفكار. وتشمل عادةً الأشياء والعلاقات. في الهندسة، الأشياء هي نقاط وخطوط ومستويات ،بينما العلاقة الأساسية هي علاقة التلاقي - أي التقاء شيء بآخر أو اتصاله به. هذه المصطلحات نفسها غير مُعرَّفة. وقد أشار هيلبرت ذات مرة إلى أنه بدلًا من النقاط والخطوط والمستويات ، يُمكننا ببساطة الحديث عن الطاولات والكراسي وأكواب البيرة. [ 3 ] مُشيرًا إلى أن المصطلحات الأولية مجرد هياكل فارغة، أو عناصر نائبة إن صح التعبير، ولا تمتلك خصائص جوهرية.
  2. البديهيات (أو المسلّمات) هي عبارات تُحدد خصائص العناصر الهندسية الأساسية؛ على سبيل المثال، أي نقطتين تقعان على خط مستقيم واحد فقط (أي أنه لأي نقطتين، يوجد خط مستقيم واحد يمر بهما). تُفترض البديهيات صحيحة، ولا تُثبت. وهي اللبنات الأساسية للمفاهيم الهندسية، لأنها تُحدد خصائص العناصر الهندسية الأساسية.
  3. قوانين المنطق .
  4. إن النظريات [ 4 ] هي النتائج المنطقية للبديهيات، أي العبارات التي يمكن الحصول عليها من البديهيات باستخدام قوانين المنطق الاستنتاجي.

تفسير النظام البديهي هو طريقة محددة لإضفاء معنى ملموس على بديهيات ذلك النظام. إذا جعل هذا الربط بين المعاني بديهيات النظام عبارات صحيحة، يُطلق على التفسير حينها اسم نموذج للنظام . [ 5 ] في النموذج، تكون جميع نظريات النظام عبارات صحيحة تلقائيًا.

خصائص الأنظمة البديهية

عند مناقشة الأنظمة البديهية، يتم التركيز غالبًا على العديد من الخصائص: [ 6 ]

  • تُعتبر بديهيات النظام البديهي متسقة إذا لم يكن بالإمكان استنتاج أي تناقض منطقي منها. باستثناء أبسط الأنظمة، يُعدّ إثبات الاتساق في النظام البديهي أمرًا صعبًا. من جهة أخرى، إذا وُجد نموذج للنظام البديهي، فإن أي تناقض يُمكن استنتاجه في النظام يُمكن استنتاجه أيضًا في النموذج، ويكون النظام البديهي متسقًا تمامًا كأي نظام ينتمي إليه النموذج. تُعرف هذه الخاصية (وجود نموذج) بالاتساق النسبي أو اتساق النموذج .
  • يُطلق على البديهية اسم "مستقلة" إذا لم يكن بالإمكان إثباتها أو دحضها من البديهيات الأخرى للنظام البديهي. ويُقال إن النظام البديهي مستقل إذا كانت كل بديهية من بديهياته مستقلة. إذا كانت عبارة صحيحة نتيجة منطقية لنظام بديهي، فإنها ستكون عبارة صحيحة في كل نموذج من نماذج ذلك النظام. ولإثبات أن بديهية ما مستقلة عن البديهيات المتبقية في النظام، يكفي إيجاد نموذجين للبديهيات المتبقية، بحيث تكون البديهية عبارة صحيحة في أحدهما وعبارة خاطئة في الآخر. ولا تُعد الاستقلالية دائمًا خاصية مرغوبة من وجهة نظر تربوية.
  • يُطلق على النظام البديهي اسم النظام الكامل إذا كانت كل عبارة قابلة للتعبير عنها بمصطلحات هذا النظام إما قابلة للإثبات أو لها نفي قابل للإثبات. وبعبارة أخرى، لا يمكن إضافة أي عبارة مستقلة إلى نظام بديهي كامل بحيث تكون متسقة مع بديهيات ذلك النظام.
  • يكون النظام البديهي تصنيفيًا إذا كان أي نموذجين منه متماثلين (أي أنه لا يوجد سوى نموذج واحد للنظام). النظام التصنيفي كامل بالضرورة، لكن الاكتمال لا يستلزم التصنيف. في بعض الحالات، لا يُعد التصنيف خاصية مرغوبة، لأن الأنظمة البديهية التصنيفية لا يمكن تعميمها. على سبيل المثال، تكمن قيمة النظام البديهي في نظرية الزمر في أنه ليس تصنيفيًا، لذا فإن إثبات نتيجة في نظرية الزمر يعني أن هذه النتيجة صحيحة في جميع نماذج نظرية الزمر المختلفة، ولا حاجة لإعادة إثباتها في كل نموذج من النماذج غير المتماثلة.

الهندسة الإقليدية

الهندسة الإقليدية نظام رياضي يُنسب إلى عالم الرياضيات اليوناني الإسكندري إقليدس ، والذي وصفه (وإن لم يكن بدقة متناهية وفقًا للمعايير الحديثة) في كتابه المدرسي في الهندسة : الأصول . تعتمد طريقة إقليدس على افتراض مجموعة صغيرة من البديهيات البديهية ، واستنباط العديد من القضايا ( النظريات ) الأخرى منها. مع أن العديد من نتائج إقليدس قد ذُكرت من قبل علماء رياضيات سابقين، [ 7 ] إلا أن إقليدس كان أول من بيّن كيف يمكن لهذه القضايا أن تتلاءم مع نظام استنتاجي ومنطقي شامل . [ 8 ] يبدأ كتاب الأصول بالهندسة المستوية، التي لا تزال تُدرّس في المدارس الثانوية باعتبارها أول نظام بديهي وأولى الأمثلة على البرهان الرسمي . ثم ينتقل إلى الهندسة الفراغية ثلاثية الأبعاد . ويُفصّل جزء كبير من كتاب الأصول نتائج ما يُعرف الآن بالجبر ونظرية الأعداد ، مُفسّرة بلغة هندسية. [ 7 ]

لأكثر من ألفي عام، لم تكن صفة "إقليدي" ضرورية لعدم وجود أي نوع آخر من الهندسة آنذاك. بدت بديهيات إقليدس واضحةً للغاية (باستثناء مسلمة التوازي ربما )، لدرجة أن أي نظرية تُثبت منها كانت تُعتبر صحيحةً بشكل مطلق، وغالبًا ما تكون ميتافيزيقية. أما اليوم، فقد باتت العديد من الهندسات الأخرى غير الإقليدية معروفة، وقد اكتُشفت أولى هذه الهندسات في أوائل القرن التاسع عشر.

عناصر إقليدس

كتاب الأصول لإقليدس هو أطروحة رياضية وهندسية تتألف من 13 كتابًا ، كتبها عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس في الإسكندرية حوالي عام 300 قبل الميلاد . وهو عبارة عن مجموعة من التعريفات والمسلمات ( البديهيات ) والقضايا ( النظريات والإنشاءات ) والبراهين الرياضية لهذه القضايا. تغطي الكتب الثلاثة عشر الهندسة الإقليدية والنسخة اليونانية القديمة من نظرية الأعداد الأولية . وباستثناء كتاب أوتوليكوس " في الكرة المتحركة " ، يُعد كتاب الأصول من أقدم الأطروحات الرياضية اليونانية الباقية، [ 9 ] وهو أقدم معالجة استنتاجية بديهية باقية في الرياضيات . وقد أثبت هذا الكتاب دوره المحوري في تطور المنطق والعلوم الحديثة .

يُعتبر كتاب " أصول إقليدس" أنجح [ 10 ] [ 11 ] وأكثر الكتب الدراسية تأثيرًا [ 12 ] على الإطلاق. وقد طُبع لأول مرة في البندقية عام 1482، وهو من أوائل الأعمال الرياضية التي طُبعت بعد اختراع الطباعة، وقدّر كارل بنيامين بوير أنه يأتي في المرتبة الثانية بعد الكتاب المقدس من حيث عدد الطبعات المنشورة [ 12 ] ، حيث تجاوز عددها الألف طبعة [ 13 ] . ولعدة قرون، عندما أُدرجت العلوم الرباعية في مناهج جميع طلاب الجامعات، كان يُشترط على جميع الطلاب الإلمام بجزء على الأقل من " أصول إقليدس ". ولم يتوقف اعتباره كتابًا قرأه جميع المتعلمين إلا في القرن العشرين، حين أصبح محتواه يُدرّس على نطاق واسع من خلال كتب مدرسية أخرى [ 14 ] .

تُعدّ العناصر في الأساس تنظيمًا للمعرفة السابقة في الهندسة. ويُفترض أن تفوقها على المعالجات السابقة كان مُعترفًا به، مما أدى إلى قلة الاهتمام بالحفاظ على المعالجات السابقة، والتي فُقدت جميعها تقريبًا الآن.

تتناول الكتب من الأول إلى الرابع والسادس الهندسة المستوية. وقد تم إثبات العديد من النتائج المتعلقة بالأشكال المستوية، على سبيل المثال، إذا كان للمثلث زاويتان متساويتان، فإن الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين متساويان. كما تم إثبات نظرية فيثاغورس . [ 15 ]

يتناول الكتابان الخامس والسابع إلى العاشر نظرية الأعداد، حيث تُعالج الأعداد هندسيًا من خلال تمثيلها كقطع مستقيمة بأطوال مختلفة. ويُقدّم الكتابان مفاهيم مثل الأعداد الأولية والأعداد النسبية وغير النسبية ، كما يُبرهن على لانهائيتها.

تتناول الكتب من الحادي عشر إلى الثالث عشر الهندسة الفراغية. ومن النتائج النموذجية نسبة 1:3 بين حجم المخروط وحجم الأسطوانة ذات الارتفاع والقاعدة نفسيهما.

مسلمة التوازي: إذا تقاطع خطان مع خط ثالث بطريقة يكون فيها مجموع الزوايا الداخلية على جانب واحد أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين يجب أن يتقاطعا حتماً على ذلك الجانب إذا امتدا لمسافة كافية.

في بداية الكتاب الأول من كتاب الأصول ، يقدم إقليدس خمسة مسلمات (بديهيات) للهندسة المستوية، مذكورة من حيث الإنشاءات (كما ترجمها توماس هيث): [ 16 ]

لنفترض ما يلي:

  1. لرسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى.
  2. لإنتاج [تمديد] خط مستقيم محدود بشكل مستمر في خط مستقيم.
  3. لوصف دائرة بأي مركز ومسافة [نصف القطر].
  4. أن جميع الزوايا القائمة متساوية.
  5. [ مسلمة التوازي :] أنه إذا قطع خط مستقيم خطين مستقيمين وجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين المستقيمين، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، يلتقيان على ذلك الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من الزاويتين القائمتين.

على الرغم من أن بيان إقليدس للمسلمات يؤكد صراحة وجود البنى فقط، إلا أنه من المفترض أيضًا أنها تنتج أشياء فريدة.

يعود نجاح كتاب "الأصول" بالدرجة الأولى إلى عرضه المنطقي لمعظم المعارف الرياضية التي كانت متاحة لإقليدس. معظم المادة ليست من تأليفه، مع أن العديد من البراهين تُنسب إليه. وقد شجع تطوير إقليدس المنهجي لموضوعه، من مجموعة صغيرة من البديهيات إلى نتائج عميقة، واتساق منهجه في جميع أجزاء "الأصول" ، على استخدامه ككتاب دراسي لنحو ألفي عام. ولا يزال كتاب "الأصول" يؤثر في كتب الهندسة الحديثة. علاوة على ذلك، يبقى منهجه المنطقي البديهي وبراهينه الدقيقة حجر الزاوية في الرياضيات.

نقد لإقليدس

لقد تغيرت معايير الدقة الرياضية منذ أن كتب إقليدس كتاب الأصول . [ 17 ] قد توحي المواقف والآراء الحديثة تجاه النظام البديهي بأن إقليدس كان مهملاً أو غير دقيق في تناوله للموضوع، لكن هذا وهمٌ لا أساس له من الصحة تاريخياً. فبعد أن خضعت الأسس لفحص دقيق استجابةً لظهور الهندسة غير الإقليدية، بدأت تظهر ما نعتبره اليوم عيوباً . وقد وضع عالم الرياضيات والمؤرخ دبليو دبليو راوس بول هذه الانتقادات في سياقها الصحيح، مشيراً إلى أن "كون كتاب الأصول ، على مدى ألفي عام، الكتاب المدرسي المعتاد في هذا الموضوع، يُرجّح بقوة أنه ليس غير مناسب لهذا الغرض". [ 18 ]

من أبرز المشكلات التي واجهها عرض إقليدس ما يلي:

  • عدم إدراك مفهوم المصطلحات والأشياء والمفاهيم الأولية التي يجب تركها غير محددة في تطوير نظام بديهي. [ 19 ]
  • استخدام مبدأ التراكب في بعض البراهين دون وجود تبرير بديهي لهذه الطريقة. [ 20 ]
  • [ 20 ] غياب مفهوم الاستمرارية، وهو أمر ضروري لإثبات وجود بعض النقاط والخطوط التي أنشأها إقليدس.
  • عدم وضوح ما إذا كان الخط المستقيم لانهائيًا أم بلا حدود في الفرضية الثانية. [ 21 ]
  • [ 22 ] غياب مفهوم الوساطة المستخدم، من بين أمور أخرى، للتمييز بين داخل وخارج الأشكال المختلفة.

لم تكن قائمة بديهيات إقليدس في كتاب الأصول شاملة، بل مثّلت المبادئ التي بدت الأكثر أهمية. وكثيرًا ما استندت براهينه إلى مفاهيم بديهية لم تكن واردة في قائمته الأصلية. [ 23 ] ولم يقع في خطأ إثبات أمور خاطئة بسبب ذلك، إذ كان يستخدم افتراضات ضمنية تبدو صحتها مُبرَّرة بالرسوم البيانية المصاحبة لبراهينه. وقد أدرج علماء الرياضيات اللاحقون افتراضات إقليدس البديهية الضمنية في قائمة البديهيات الرسمية، مما وسّع تلك القائمة بشكل كبير. [ 24 ]

على سبيل المثال، في البناء الأول من الكتاب الأول، استخدم إقليدس فرضية لم تُفترض ولم تُبرهن: وهي أن دائرتين مركزهما على مسافة تساوي نصف قطرهما تتقاطعان في نقطتين. [ 25 ] لاحقًا، في البناء الرابع، استخدم مبدأ التراكب (تحريك المثلثات فوق بعضها) لإثبات أنه إذا تساوى ضلعان وزاويتان، فإنهما متطابقان؛ وخلال هذه الاعتبارات، استخدم بعض خصائص التراكب، لكن هذه الخصائص لم تُشرح صراحةً في الرسالة. لو اعتُبر التراكب طريقةً صحيحةً للبرهان الهندسي، لكان علم الهندسة بأكمله مليئًا بمثل هذه البراهين. على سبيل المثال، يمكن إثبات القضايا من 1.1 إلى 1.3 بسهولة باستخدام التراكب. [ 26 ]

لمعالجة هذه القضايا في عمل إقليدس، حاول المؤلفون اللاحقون إما سد الثغرات في عرض إقليدس - وأبرز هذه المحاولات تعود إلى د. هيلبرت - أو تنظيم نظام البديهيات حول مفاهيم مختلفة ، كما فعل جي دي بيركوف .

باش وبيانو

كان عالم الرياضيات الألماني موريتز باش (1843-1930 ) أول من أنجز مهمة وضع الهندسة الإقليدية على أسس بديهية متينة. [ 27 ] في كتابه " محاضرات في الهندسة الحديثة" (Vorlesungen über neuere Geometrie) الذي نُشر عام 1882، وضع باش أسس المنهج البديهي الحديث. وقد ابتكر مفهوم المفهوم الأولي (الذي أطلق عليه اسم Kernbegriffe )، وبالتزامن مع البديهيات ( Kernsätzen )، بنى نظامًا رسميًا خاليًا من أي تأثيرات حدسية. ووفقًا لباش، فإن الموضع الوحيد الذي ينبغي أن يلعب فيه الحدس دورًا هو تحديد ماهية المفاهيم الأولية والبديهيات. وهكذا، بالنسبة لباش، تُعد النقطة مفهومًا أوليًا، بينما لا يُعد الخط (الخط المستقيم) كذلك، نظرًا لأن لدينا حدسًا جيدًا حول النقاط، بينما لم يرَ أحدٌ قط خطًا لانهائيًا أو يختبره. المفهوم الأولي الذي استخدمه باش بدلًا من ذلك هو القطعة المستقيمة .

لاحظ باش أن ترتيب النقاط على خط مستقيم (أو ما يعادله من خصائص احتواء القطع المستقيمة) لا يُحل بشكل صحيح بواسطة بديهيات إقليدس؛ وبالتالي، لا يمكن إثبات نظرية باش ، التي تنص على أنه إذا تحققت علاقتان لاحتواء القطع المستقيمة، فإن علاقة ثالثة تتحقق أيضًا، باستخدام بديهيات إقليدس. وتتعلق بديهية باش ذات الصلة بخصائص تقاطع الخطوط والمثلثات.

أرست أعمال باش في مجال الأسس معيارًا للدقة، ليس فقط في الهندسة، بل في سياق الرياضيات الأوسع. أصبحت أفكاره الرائدة شائعة لدرجة يصعب معها تذكر أنها كانت من ابتكار شخص واحد. أثرت أعمال باش بشكل مباشر على العديد من علماء الرياضيات الآخرين، ولا سيما د. هيلبرت وعالم الرياضيات الإيطالي جوزيبي بيانو (1858-1932 ) . يستخدم بيانو في عمله الهندسي عام 1889، والذي يُعدّ ترجمةً لأطروحة باش إلى تدوين المنطق الرمزي (الذي ابتكره بيانو)، المفاهيم الأولية للنقطة والوساطة . [ 28 ] يكسر بيانو الارتباط التجريبي في اختيار المفاهيم الأولية والمسلمات التي اشترطها باش. بالنسبة لبيانو، النظام بأكمله شكلي بحت، منفصل عن أي مدخلات تجريبية. [ 29 ]

بييري والمدرسة الإيطالية لعلماء الهندسة

اتخذ عالم الرياضيات الإيطالي ماريو بييري ( 1860-1913 ) نهجًا مختلفًا، إذ اعتبر نظامًا لا يحتوي إلا على مفهومين أساسيين: مفهوم النقطة ومفهوم الحركة . [ 30 ] كان باش قد استخدم أربعة مفاهيم أساسية، واختزلها بيانو إلى ثلاثة، لكن كلا النهجين اعتمد على مفهوم ما يُعرف بالوساطة، والذي استبدله بييري بصياغته الخاصة للحركة . في عام 1905، قدّم بييري أول معالجة بديهية للهندسة الإسقاطية المركبة ، والتي لم تبدأ ببناء الهندسة الإسقاطية الحقيقية .

كان بييري عضوًا في مجموعة من علماء الهندسة والمنطق الإيطاليين الذين جمعهم بيانو حوله في تورينو. كرّست هذه المجموعة، المؤلفة من مساعدين وزملاء مبتدئين وغيرهم، جهودها لتنفيذ برنامج بيانو المنطقي الهندسي الذي يهدف إلى ترسيخ أسس الهندسة على قواعد بديهية راسخة، استنادًا إلى الرمزية المنطقية لبيانو. إلى جانب بييري، ضمت هذه المجموعة كلًا من بورالي فورتي ، وبادوا ، وفانو . في عام 1900، عُقد مؤتمران دوليان متتاليان في باريس، هما المؤتمر الدولي للفلسفة والمؤتمر الدولي الثاني للرياضيات . وقد برزت هذه المجموعة من علماء الرياضيات الإيطاليين بقوة في هذين المؤتمرين، حيث روّجوا لأجندتهم البديهية. [ 31 ] ألقى بادوا محاضرة لاقت استحسانًا كبيرًا، وفي جلسة الأسئلة التي أعقبت خطاب ديفيد هيلبرت الشهير حول المسائل غير المحلولة ، أشار بيانو إلى أن زملاءه قد حلّوا بالفعل المسألة الثانية لهيلبرت.

بديهيات هيلبرت

ديفيد هيلبرت

في جامعة غوتنغن ، خلال الفصل الشتوي 1898-1899 ، قدّم عالم الرياضيات الألماني البارز ديفيد هيلبرت (1862-1943 ) سلسلة محاضرات حول أسس الهندسة. وبناءً على طلب فيليكس كلاين ، طُلب من البروفيسور هيلبرت تدوين ملاحظات المحاضرات لهذه السلسلة في الوقت المناسب لحفل تدشين نصب تذكاري لـ سي إف غاوس وويلهلم فيبر في صيف 1899 ، والذي كان من المقرر إقامته في الجامعة. نُشرت المحاضرات المُعاد ترتيبها في يونيو 1899 تحت عنوان " أسس الهندسة" (Grundlagen der Geometrie). وكان تأثير الكتاب فوريًا. وفقًا لإيفز (1963 ، ص 384-385 ) :

من خلال تطوير مجموعة مسلمات للهندسة الإقليدية لا تختلف جوهريًا عن مسلمات إقليدس، وباستخدام الحد الأدنى من الرموز، نجح هيلبرت في إقناع علماء الرياضيات، بدرجة أكبر بكثير مما نجح فيه باش وبيانو، بالطبيعة الاستدلالية الفرضية البحتة للهندسة. لكن تأثير عمل هيلبرت تجاوز ذلك بكثير، فبفضل مكانته الرياضية المرموقة، رسّخ المنهج الفرضي بقوة، ليس فقط في مجال الهندسة، بل في كل فرع من فروع الرياضيات تقريبًا. يصعب المبالغة في تقدير الحافز الذي حفّز به كتاب هيلبرت الصغير تطوير أسس الرياضيات. وبفضل خلوّه من الرموز المعقدة في أعمال باش وبيانو، يمكن لأي طالب ذكي في الهندسة بالمرحلة الثانوية قراءة معظم أعمال هيلبرت.

يصعب تحديد البديهيات التي استخدمها هيلبرت دون الرجوع إلى تاريخ نشر كتاب " الأسس" (Grundlagen) ، إذ قام هيلبرت بتغييرها وتعديلها عدة مرات. أعقبت الدراسة الأصلية ترجمة فرنسية، أضاف إليها هيلبرت البند الخامس، البند الثاني، وهو بديهية الاكتمال. أُجريت ترجمة إنجليزية، بتفويض من هيلبرت، على يد إي. جيه. تاونسند، وسُجّلت حقوق النشر عام ١٩٠٢. [ ٣٢ ] تضمنت هذه الترجمة التغييرات التي أُدخلت على الترجمة الفرنسية، ولذا تُعتبر ترجمة للطبعة الثانية. واصل هيلبرت إدخال تغييرات على النص، وصدرت عدة طبعات باللغة الألمانية. كانت الطبعة السابعة هي الأخيرة التي صدرت في حياة هيلبرت. تلت الطبعة السابعة طبعات جديدة، لكن النص الرئيسي لم يُنقّح بشكل جوهري. تظهر التعديلات في هذه الطبعات في الملاحق والإضافات. كانت التغييرات في النص كبيرة مقارنةً بالأصل، ولذا كلّفت دار نشر "أوبن كورت"، التي كانت قد نشرت ترجمة تاونسند، بترجمة إنجليزية جديدة. إذن، تُرجمت الطبعة الإنجليزية الثانية بواسطة ليو أونغر من الطبعة الألمانية العاشرة عام ١٩٧١. [ ٣٣ ] تتضمن هذه الترجمة العديد من التنقيحات والتوسعات التي أُجريت على الطبعات الألمانية اللاحقة بواسطة بول بيرنايز . لا تعود الاختلافات بين الترجمتين الإنجليزيتين إلى هيلبرت فحسب، بل أيضًا إلى اختلاف الخيارات التي اتخذها المترجمان. وسيعتمد ما يلي على ترجمة أونغر.

تم بناء نظام بديهيات هيلبرت بستة مفاهيم أولية : النقطة ، والخط ، والمستوى ، والوساطة ، والوقوع على (الاحتواء) ، والتطابق .

جميع النقاط والخطوط والمستويات في البديهيات التالية متميزة ما لم يُذكر خلاف ذلك.

أولاً: الحدوث
  1. لكل نقطتين A و B، يوجد خط مستقيم a يمر بهما معًا. نكتب AB = a أو BA = a . بدلًا من "يمر بهما"، يمكننا استخدام صيغ أخرى؛ على سبيل المثال، نقول " A تقع على a "، " A نقطة من a "، " a يمر بـ A و B "، " a يصل A بـ B "، إلخ. إذا كانت A تقع على a وفي الوقت نفسه على خط مستقيم آخر b ، نستخدم أيضًا العبارة: "الخطان a و b يشتركان في النقطة A "، إلخ.
  2. لكل نقطتين لا يوجد أكثر من خط واحد يمر بهما معًا؛ وبالتالي، إذا كان AB = a و AC = a ، حيث B ≠ C ، فإن BC = a أيضًا .
  3. يوجد على الأقل نقطتان على خط مستقيم. ويوجد على الأقل ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم.
  4. لكل ثلاث نقاط A و B و C لا تقع على خط مستقيم واحد، يوجد مستوى α يحتويها جميعًا. ولكل مستوى توجد نقطة تقع عليه. نكتب ABC = α . ونستخدم أيضًا العبارات التالية: " A و B و C تقع في α"؛ "A وB وC نقاط من α"، إلخ.
  5. لكل ثلاث نقاط A و B و C لا تقع على نفس الخط، لا يوجد أكثر من مستوى واحد يحتوي عليها جميعًا.
  6. إذا كانت نقطتان A و B على خط مستقيم a تقعان في مستوى α، فإن كل نقطة من a تقع في α. في هذه الحالة نقول: "الخط a يقع في المستوى α"، وهكذا.
  7. إذا كان للمستويين α و β نقطة مشتركة A ، فإنهما يشتركان على الأقل في نقطة ثانية B.
  8. توجد أربع نقاط على الأقل لا تقع في مستوى واحد.
ثانياً: الترتيب
  1. إذا كانت النقطة B تقع بين النقطتين A و C ، فإن B تقع أيضًا بين C و A ، ويوجد خط يحتوي على النقاط المتميزة A و B و C.
  2. إذا كانت A و C نقطتين على خط مستقيم، فإنه يوجد على الأقل نقطة واحدة B تقع بين A و C.
  3. من بين أي ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم، لا توجد أكثر من نقطة واحدة تقع بين النقطتين الأخريين.
  4. بديهية باش : لتكن A و B و C ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد، وليكن a خطًا مستقيمًا يقع في المستوى ABC ولا يمر بأي من النقاط A أو B أو C. عندئذٍ، إذا مر الخط a بنقطة من القطعة المستقيمة AB ، فإنه سيمر أيضًا إما بنقطة من القطعة المستقيمة BC أو بنقطة من القطعة المستقيمة AC .
ثالثًا: التطابق
  1. إذا كانت A و B نقطتين على الخط المستقيم a ، وإذا كانت A′ نقطة على نفس الخط أو على خط مستقيم آخر a′ ، فإنه على أي ضلع من A′ على الخط المستقيم a′ ، يمكننا دائمًا إيجاد نقطة B′ بحيث يكون القطعة المستقيمة AB مطابقة للقطعة المستقيمة A′B′ . نشير إلى هذه العلاقة بكتابة AB ≅ A′B ′ . كل قطعة مستقيمة مطابقة لنفسها؛ أي أن AB ≅ AB دائمًا . يمكننا تلخيص البديهية السابقة بالقول إنه يمكن وضع أي قطعة مستقيمة على أي ضلع من أي نقطة على خط مستقيم معين بطريقة واحدة على الأقل.
  2. إذا كانت القطعة المستقيمة AB متطابقة مع القطعة المستقيمة A′B′ وأيضًا مع القطعة المستقيمة A″B″ ، فإن القطعة المستقيمة A′B′ متطابقة مع القطعة المستقيمة A″B″ ؛ أي، إذا كانت AB ≅ A′B′ و AB ≅ A″B″ ، فإن A′B′ ≅ A″B″ .
  3. ليكن AB و BC قطعتين مستقيمتين من الخط a لا تشتركان في أي نقطة سوى النقطة B ، وليكن A′B′ و B′C′ قطعتين مستقيمتين من نفس الخط أو من خط آخر a′ لا تشتركان في أي نقطة أخرى غير B′ . إذا كان AB ≅ A′B′ و BC ≅ B′C′ ، فإن AC ≅ A′C′ .
  4. لنفترض أن لدينا زاوية ∠  ( h , k ) في المستوى α، ولنفترض أن لدينا خطًا مستقيمًا a′ في المستوى α′. ولنفترض أيضًا أنه في المستوى α′، لدينا ضلع محدد من الخط المستقيم a′ . ولنرمز بـ h′ إلى شعاع من الخط المستقيم a′ ينطلق من النقطة O′ على هذا الخط. عندئذٍ، يوجد في المستوى α′ شعاع واحد فقط k′ بحيث تكون الزاوية ∠  ( h , k )، أو ∠  ( k , h )، متطابقة مع الزاوية ∠  ( h′ , k′ )، وفي الوقت نفسه تقع جميع النقاط الداخلية للزاوية ∠  ( h′ , k′ ) على الضلع المحدد من a′ . نعبر عن هذه العلاقة بالرمز ∠  ( h , k ) ≅ ∠  ( h′ , k′ ).
  5. إذا كانت الزاوية ∠  ( h , k ) متطابقة مع الزاوية ∠  ( h′ , k′ ) ومع الزاوية ∠  ( h″ , k″ )، فإن الزاوية ∠  ( h′ , k′ ) متطابقة مع الزاوية ∠  ( h″ , k″ )؛ أي، إذا كانت ∠  ( h , k ) ≅ ∠  ( h′ , k′ ) و ∠  ( h , k ) ≅ ∠  ( h″ , k″ )، فإن ∠  ( h′ , k′ ) ≅ ∠  ( h″ , k″ ).
رابعاً: أوجه التشابه
  1. (مبدأ إقليدس): [ 34 ] ليكن a أي خط مستقيم و A نقطة لا تقع عليه. عندئذٍ يوجد على الأكثر خط مستقيم واحد في المستوى، محدد بواسطة a و A ، يمر بالنقطة A ولا يتقاطع مع a .
خامساً: الاستمرارية
  1. بديهية أرخميدس . إذا كان AB و CD أي قطعتين مستقيمتين ، فإنه يوجد عدد n بحيث أن n قطعة مستقيمة CD تم إنشاؤها بشكل متجاور من A ، على طول الشعاع من A عبر B ، ستمر بعد النقطة B.
  2. بديهية اكتمال الخط . إن امتداد مجموعة من النقاط على خط مع ترتيبها وعلاقات التطابق الخاصة بها من شأنه أن يحافظ على العلاقات الموجودة بين العناصر الأصلية بالإضافة إلى الخصائص الأساسية لترتيب الخط وتطابقه التي تتبع من البديهيات من الأول إلى الثالث ومن الخامس-1 أمر مستحيل.

تغييرات في بديهيات هيلبرت

عندما تُرجمت الدراسة التي صدرت عام 1899 إلى الفرنسية، أضاف هيلبرت:

خامساً: بديهية الاكتمال . يستحيل إضافة عناصر أخرى إلى نظام من النقاط والخطوط المستقيمة والمستويات بحيث يُشكّل النظام المُعمّم هندسةً جديدةً تُحقق جميع مجموعات البديهيات الخمس. بعبارة أخرى، تُشكّل عناصر الهندسة نظامًا غير قابل للتوسيع، إذا اعتبرنا مجموعات البديهيات الخمس صحيحة.

لا تُعدّ هذه البديهية ضرورية لتطوير الهندسة الإقليدية، ولكنها ضرورية لإثبات وجود تقابل بين الأعداد الحقيقية والنقاط على خط مستقيم. [ 35 ] وقد شكّل هذا عنصرًا أساسيًا في برهان هيلبرت على اتساق نظام بديهياته.

بحلول الطبعة السابعة من Grundlagen ، تم استبدال هذه البديهية ببديهية اكتمال الخط المذكورة أعلاه وأصبحت البديهية القديمة V.2 هي النظرية 32.

كما ورد في الدراسة المنشورة عام 1899 (والتي ظهرت في ترجمة تاونسند):

II.4. يمكن دائمًا تسمية أي أربع نقاط A و B و C و D على خط بحيث تقع B بين A و C وأيضًا بين A و D ، وعلاوة على ذلك، تقع C بين A و D وأيضًا بين B و D.

ومع ذلك، أثبت كل من إي إتش مور وآر إل مور بشكل مستقل أن هذه البديهية زائدة عن الحاجة، ونشر الأول هذه النتيجة في مقال ظهر في معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية في عام 1902. [ 36 ] نقل هيلبرت البديهية إلى النظرية 5 وأعاد ترقيم البديهيات وفقًا لذلك (أصبحت البديهية القديمة II-5 (بديهية باش) الآن II-4).

على الرغم من أنها لم تكن تغييرات جذرية مثل هذه التغييرات، إلا أن معظم البديهيات المتبقية قد تم تعديلها أيضًا في الشكل و/أو الوظيفة على مدار الطبعات السبع الأولى.

الاتساق والاستقلالية

لم يكتفِ هيلبرت بوضع مجموعة مُرضية من البديهيات، بل أثبت أيضًا اتساق نظامه بالنسبة لنظرية الأعداد الحقيقية، وذلك ببناء نموذج لنظام بديهياته انطلاقًا من الأعداد الحقيقية. كما أثبت استقلال بعض بديهياته من خلال بناء نماذج هندسية تُحقق جميع البديهيات باستثناء البديهية قيد الدراسة. وهكذا، توجد أمثلة على هندسات تُحقق جميع البديهيات باستثناء بديهية أرخميدس V.1 (الهندسات غير الأرخميدية)، وجميع البديهيات باستثناء بديهية التوازي IV.1 (الهندسات غير الإقليدية)، وهكذا. وباستخدام الأسلوب نفسه، بيّن أيضًا كيف تعتمد بعض النظريات المهمة على بديهيات معينة، وكيف أنها مستقلة عن غيرها. كانت بعض نماذجه بالغة التعقيد، فحاول رياضيون آخرون تبسيطها. فعلى سبيل المثال، أدى نموذج هيلبرت لإثبات استقلال نظرية ديزارغ عن بعض البديهيات في نهاية المطاف إلى اكتشاف راي مولتون لمستوى مولتون غير الديزارغي . لقد دشنت هذه التحقيقات التي أجراها هيلبرت فعلياً الدراسة الحديثة للهندسة المجردة في القرن العشرين. [ 37 ]

بديهيات بيركوف

جورج ديفيد بيركوف

في عام ١٩٣٢، وضع جي. دي. بيركوف مجموعة من أربع مسلمات في الهندسة الإقليدية، تُعرف أحيانًا باسم بديهيات بيركوف . [ ٣٨ ] تستند هذه المسلمات جميعها إلى مبادئ هندسية أساسية يمكن التحقق منها تجريبيًا باستخدام المسطرة والمنقلة . وفي تحول جذري عن النهج التركيبي لهيلبرت ، كان بيركوف أول من بنى أسس الهندسة على نظام الأعداد الحقيقية . [ ٣٩ ] هذا الافتراض القوي هو ما يسمح بقلة عدد البديهيات في هذا النظام.

المسلمات

يستخدم بيركوف أربعة مصطلحات غير محددة: النقطة ، والخط ، والمسافة ، والزاوية . مسلماته هي: [ 40 ]

المسلّمة الأولى: مسلّمة قياس الخط . يمكن وضع النقاط A و B و ... لأي خط في تناظر واحد لواحد مع الأعداد الحقيقية x بحيث يكون | x B − x A | = d( A, B ) لجميع النقاط A و B.     

المسلّمة الثانية: مسلّمة النقطة والخط . يوجد خط مستقيم واحد فقط، ℓ ، يحتوي على أي نقطتين مختلفتين معطيتين P و Q. 

المسلّمة الثالثة: مسلّمة قياس الزاوية . يمكن وضع الأشعة { ℓ,  m,  n ,  ...} المارة بأي نقطة O في تناظر واحد لواحد مع الأعداد الحقيقية a  (mod  2π ) بحيث إذا كانت A و B نقطتين (لا تساويان O ) على ℓ و m على التوالي، فإن الفرق a m − a ℓ (mod 2π) للأعداد المرتبطة بالخطين ℓ و m هو    ∠{\displaystyle \angle }AOB . علاوة على ذلك، إذا كانت النقطة B على m تتغير باستمرار في خط r لا يحتوي على الرأس O ، فإن العدد a m يتغير باستمرار أيضًا.

الفرضية الرابعة: فرضية التشابه . إذا كان في مثلثين ABC و A'B'C'  ، ولثابت ما k  >  0، فإن d ( A',  B' ) = kd ( A, B )، و d ( A', C' ) = kd ( A, C ).      ∠{\displaystyle \angle }B'A'C'   =  ±∠{\displaystyle \angle }BAC ، إذن d ( B',  C'  )  = kd ( B, C )،  ∠{\displaystyle \angle } C'B'A'   =  ±∠{\displaystyle \angle }اتفاقية المفاوضة الجماعية ، و∠{\displaystyle \angle }A'C'B'   =  ±∠{\displaystyle \angle }ACB .

هندسة المدرسة

جورج بروس هالستيد

لطالما كان تدريس الهندسة الإقليدية من منظور بديهي في المرحلة الثانوية موضع نقاش. وقد بُذلت محاولات عديدة في هذا الصدد، لم تكن جميعها ناجحة. ففي عام ١٩٠٤، نشر جورج بروس هالستيد كتابًا في الهندسة للمرحلة الثانوية، مستندًا إلى مجموعة بديهيات هيلبرت. [ ٤١ ] وأدت الانتقادات المنطقية لهذا الكتاب إلى إصدار طبعة ثانية منقحة بشكل كبير. [ ٤٢ ] واستجابةً لإطلاق القمر الصناعي الروسي سبوتنيك، دُعيت الولايات المتحدة إلى مراجعة مناهج الرياضيات المدرسية. ومن هذا المسعى انبثق برنامج الرياضيات الجديدة في ستينيات القرن العشرين. وانطلاقًا من هذه الخلفية، شرع العديد من الأفراد والجماعات في توفير مواد نصية لصفوف الهندسة، معتمدةً على المنهج البديهي.

بديهيات ماك لين

ساوندرز ماك لين

كتب عالم الرياضيات سوندرز ماك لين (1909-2005 ) [ 43 ] بحثًا عام 1959 اقترح فيه مجموعة من البديهيات للهندسة الإقليدية على غرار معالجة بيركوف، مستخدمًا دالة المسافة لربط الأعداد الحقيقية بالقطع المستقيمة. [ 44 ] لم تكن هذه المحاولة الأولى لتأسيس معالجة مدرسية على نظام بيركوف، فقد سبق أن كتب بيركوف ورالف بياتلي كتابًا للمرحلة الثانوية عام 1940 [ 45 ] طوّر الهندسة الإقليدية انطلاقًا من خمس بديهيات وإمكانية قياس القطع المستقيمة والزوايا. مع ذلك، ولجعل المعالجة مناسبة لطلاب المرحلة الثانوية، تم تجاهل بعض الحجج الرياضية والمنطقية أو التغاضي عنها. [ 42 ]

يحتوي نظام ماك لين على أربعة مفاهيم أساسية (مصطلحات غير مُعرَّفة): النقطة ، والمسافة ، والخط ، وقياس الزاوية . كما يحتوي على 14 بديهية، أربع منها تُحدد خصائص دالة المسافة، وأربع تصف خصائص الخطوط، وأربع تتناول الزوايا (وهي زوايا موجهة في هذا السياق)، وبديهية تشابه (مماثلة لبديهية بيركوف)، وبديهية استمرارية يُمكن استخدامها لاستنتاج نظرية كروسبار وعكسها. [ 46 ] يُتيح العدد المتزايد من البديهيات ميزة تعليمية تتمثل في تسهيل متابعة البراهين الأولية في عملية التطوير، كما أن استخدام مقياس مألوف يسمح بالتقدم السريع في المادة الأساسية، مما يُتيح الوصول إلى الجوانب الأكثر "إثارة للاهتمام" في الموضوع في وقت أقرب.

بديهيات مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية (SMSG)

في ستينيات القرن العشرين، قدمت مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية (SMSG) مجموعة جديدة من البديهيات للهندسة الإقليدية، مناسبة لمناهج الهندسة في المدارس الثانوية الأمريكية، كجزء من مناهج الرياضيات الحديثة . تتبع هذه المجموعة من البديهيات نموذج بيركوف في استخدام الأعداد الحقيقية للوصول السريع إلى أساسيات الهندسة. ومع ذلك، فبينما سعى بيركوف إلى تقليل عدد البديهيات المستخدمة، واهتم معظم المؤلفين باستقلالية البديهيات في معالجاتهم، فقد تم تعمد جعل قائمة بديهيات مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية طويلة ومتكررة لأسباب تربوية. [ 47 ] لم تُنتج مجموعة SMSG سوى نص مطبوع باستخدام هذه البديهيات، [ 48 ] لكن إدوين إي. مويس ، وهو عضو في مجموعة SMSG، كتب كتابًا للمرحلة الثانوية بناءً على هذا النظام، [ 49 ] وكتابًا جامعيًا بعنوان مويس (1974) ، مع حذف بعض التكرار وإجراء تعديلات على البديهيات لتناسب جمهورًا أكثر تخصصًا. [ 50 ]

هناك ثمانية مصطلحات غير مُعرَّفة: نقطة ، خط ، مستوى ، يقع على ، قياس زاوية ، مسافة ، مساحة ، وحجم . وقد أُعطيت البديهيات الـ 22 لهذا النظام أسماءً فردية لتسهيل الرجوع إليها. ومن بينها: مسلمة المسطرة، مسلمة وضع المسطرة، مسلمة فصل المستويين، مسلمة جمع الزوايا، مسلمة ضلع- ضلع-ضلع (SAS)، مسلمة التوازي ( بصيغة بلايفير )، ومبدأ كافالييري . [ 51 ]

بديهيات مشروع الرياضيات المدرسية بجامعة شيكاغو (UCSMP)

على الرغم من تعديل أو إلغاء جزء كبير من مناهج الرياضيات الحديثة ، إلا أن قسم الهندسة ظل مستقرًا نسبيًا في الولايات المتحدة. تستخدم كتب المدارس الثانوية الأمريكية الحديثة أنظمة بديهيات مشابهة جدًا لتلك الخاصة بمنهج الرياضيات الحديثة. على سبيل المثال، تستخدم النصوص الصادرة عن مشروع الرياضيات المدرسية بجامعة شيكاغو (UCSMP) نظامًا يختلف، إلى جانب بعض التحديثات اللغوية، عن نظام منهج الرياضيات الحديثة في تضمينه بعض مفاهيم التحويل ضمن "مسلمة الانعكاس". [ 47 ]

لا يوجد سوى ثلاثة مصطلحات غير مُعرَّفة: النقطة ، والخط ، والمستوى . يوجد ثمانية "مسلمات"، لكن معظمها يتألف من عدة أجزاء (تُسمى عمومًا افتراضات في هذا النظام). وبحساب هذه الأجزاء، يصبح عدد البديهيات في هذا النظام 32. ومن بين هذه المسلمات: مسلمة النقطة-الخط-المستوى ، ومسلمة متباينة المثلث ، ومسلمات المسافة، وقياس الزوايا، والزوايا المتناظرة، والمساحة، والحجم، ومسلمة الانعكاس. تُستخدم مسلمة الانعكاس كبديل لمسلمة ضلع-زاوية-ضلع في نظام SMSG. [ 52 ]

أنظمة أخرى

قدّم أوزوالد فيبلين (1880-1960 ) نظامًا بديهيًا جديدًا في عام 1904 عندما استبدل مفهوم "الوساطة"، كما استخدمه هيلبرت وباش، بمفهوم أولي جديد هو " النظام" . وقد سمح هذا بتحويل العديد من المصطلحات الأولية التي استخدمها هيلبرت إلى كيانات محددة، مما قلل عدد المفاهيم الأولية إلى مفهومين فقط، وهما " النقطة" و "النظام" . [ 37 ]

طُرحت على مر السنين العديد من الأنظمة البديهية الأخرى للهندسة الإقليدية. ويمكن الاطلاع على مقارنة بين العديد منها في دراسةٍ منشورة عام ١٩٢٧ بقلم هنري جورج فوردر. [ ٥٣ ] كما يقدم فوردر، من خلال الجمع بين بديهيات من أنظمة مختلفة، معالجته الخاصة القائمة على المفهومين الأساسيين للنقطة والترتيب . ويقدم أيضًا معالجةً أكثر تجريدًا لأحد أنظمة بييري (من عام ١٩٠٩) استنادًا إلى المفهومين الأساسيين للنقطة والتطابق . [ ٤٢ ]

بدءًا من بيانو، برز اهتمامٌ متوازيٌ بين علماء المنطق بالأسس البديهية للهندسة الإقليدية. ويتجلى هذا الاهتمام، جزئيًا، في الرموز المستخدمة لوصف البديهيات. فقد ادعى بييري أنه على الرغم من كتابته باللغة الهندسية التقليدية، إلا أنه كان يفكر دائمًا من منظور الرموز المنطقية التي قدمها بيانو، واستخدم هذا الشكل الرسمي لإثبات الأمور. ومن الأمثلة النموذجية على هذا النوع من الرموز أعمال إي. في. هنتنغتون (1874-1952 ) الذي قدم، في عام 1913، [ 54 ] معالجةً بديهيةً للهندسة الإقليدية ثلاثية الأبعاد استنادًا إلى المفاهيم الأولية للكرة والاحتواء ( كرة تقع داخل أخرى). [ 42 ] وإلى جانب الرموز، ثمة اهتمامٌ أيضًا بالبنية المنطقية لنظرية الهندسة. أثبت ألفريد تارسكي أن جزءًا من الهندسة، والذي أطلق عليه اسم الهندسة الأولية ، هو نظرية منطقية من الدرجة الأولى (انظر بديهيات تارسكي ).

تتبع المعالجات النصية الحديثة للأسس البديهية للهندسة الإقليدية نمط إتش جي فوردر وجيلبرت دي بي روبنسون [ 55 ] اللذين يمزجان بين البديهيات من أنظمة مختلفة لإنتاج تركيزات مختلفة. ويُعد فينيما (2006) مثالًا حديثًا على هذا النهج.

الهندسة غير الإقليدية

بالنظر إلى الدور الذي تلعبه الرياضيات في العلوم وتأثير المعرفة العلمية على جميع معتقداتنا، فإن التغييرات الجذرية في فهم الإنسان لطبيعة الرياضيات لا يمكن إلا أن تعني تغييرات جذرية في فهمه للعلوم، ومذاهب الفلسفة، والمعتقدات الدينية والأخلاقية، وفي الواقع، جميع التخصصات الفكرية. [ 56 ]

في النصف الأول من القرن التاسع عشر، شهد مجال الهندسة ثورةً علميةً لا تقل أهميةً عن ثورة كوبرنيكوس في علم الفلك، وفلسفيةً عميقةً كنظرية داروين في التطور، لما أحدثته من تأثيرٍ بالغٍ على طريقة تفكيرنا. كانت هذه الثورة نتيجةً لاكتشاف الهندسة غير الإقليدية. [ 57 ] فعلى مدى أكثر من ألفي عام، بدءًا من زمن إقليدس، اعتُبرت المسلّمات التي قامت عليها الهندسة حقائقَ بديهيةً عن الفضاء الفيزيائي. وظنّ علماء الهندسة أنهم يستنتجون منها حقائقَ أخرى أكثر غموضًا، دون أدنى احتمالٍ للخطأ. إلا أن هذا الرأي لم يعد مقبولًا مع ظهور الهندسة الزائدية. فقد أصبح هناك نظامان هندسيان متناقضان (وظهرت أنظمةٌ أخرى لاحقًا) متسقان مع ذاتهما ومتوافقان مع العالم الفيزيائي المرئي. "منذ هذه اللحظة، دار النقاش حول العلاقة بين الهندسة والفضاء الفيزيائي بصيغةٍ مختلفةٍ تمامًا." ( مويس، 1974 ، ص 388)

للحصول على هندسة غير إقليدية، يجب استبدال مسلمة التوازي (أو ما يكافئها) بنفيها . يمكن نفي صيغة بديهية بلايفير ، كونها عبارة مركبة (... يوجد واحد فقط ...)، بطريقتين. إما أن يوجد أكثر من خط يمر بالنقطة موازٍ للخط المعطى، أو لا توجد خطوط تمر بالنقطة موازية للخط المعطى. في الحالة الأولى، يؤدي استبدال مسلمة التوازي (أو ما يكافئها) بالعبارة "في مستوى، إذا كانت لدينا نقطة P وخط ℓ لا يمر بالنقطة P، يوجد خطان يمران بالنقطة P ولا يتقاطعان مع ℓ "، مع الإبقاء على جميع البديهيات الأخرى، إلى هندسة زائدية . [ 58 ] أما الحالة الثانية، فليست بهذه السهولة. فمجرد استبدال مسلمة التوازي بالعبارة "في مستوى، إذا كانت لدينا نقطة P وخط ℓ لا يمر بالنقطة P، فإن جميع الخطوط المارة بالنقطة P تتقاطع مع ℓ "، لا يُعطي مجموعة بديهيات متسقة. يستنتج هذا من وجود الخطوط المتوازية في الهندسة المطلقة، [ 59 ] لكن هذا البيان يعني عدم وجود خطوط متوازية. كانت هذه المشكلة معروفة (بصورة مختلفة) لدى الخيام، وساكيري، ولامبرت، وكانت أساس رفضهم لما يُعرف بـ"حالة الزاوية المنفرجة". وللحصول على مجموعة متسقة من البديهيات التي تتضمن هذه البديهية المتعلقة بعدم وجود خطوط متوازية، يجب تعديل بعض البديهيات الأخرى. وتعتمد التعديلات المطلوبة على نظام البديهيات المستخدم. ومن بين أمور أخرى، ستؤدي هذه التعديلات إلى تغيير مسلمة إقليدس الثانية من نصها على إمكانية تمديد القطع المستقيمة إلى ما لا نهاية إلى نصها على أن الخطوط غير محدودة. وتبرز هندسة ريمان الإهليلجية باعتبارها الهندسة الأكثر طبيعية التي تُحقق هذه البديهية.

كان غاوس هو من صاغ مصطلح "الهندسة غير الإقليدية". [ 60 ] وكان يشير إلى عمله غير المنشور، والذي يُعرف اليوم بالهندسة الزائدية . ولا يزال العديد من المؤلفين يعتبرون "الهندسة غير الإقليدية" و"الهندسة الزائدية" مترادفين. في عام 1871، تمكن فيليكس كلاين ، من خلال تكييف مقياس ناقشه آرثر كايلي عام 1852، من إدخال الخصائص المترية في إطار إسقاطي، وبالتالي تمكن من توحيد معالجات الهندسة الزائدية والإقليدية والقطع الناقص تحت مظلة الهندسة الإسقاطية . [ 61 ] كلاين مسؤول عن مصطلحي "الزائدي" و"الإهليلجي" (في نظامه أطلق على الهندسة الإقليدية اسم "القطع المكافئ"، وهو مصطلح لم يصمد أمام اختبار الزمن ويستخدم اليوم فقط في عدد قليل من التخصصات). وقد أدى تأثيره إلى الاستخدام الشائع لمصطلح "الهندسة غير الإقليدية" ليعني إما الهندسة "الزائدية" أو "الإهليلجية".

هناك بعض علماء الرياضيات الذين يرغبون في توسيع قائمة الأشكال الهندسية التي ينبغي تسميتها "غير إقليدية" بطرق مختلفة. في تخصصات أخرى، ولا سيما الفيزياء الرياضية ، حيث لم يكن تأثير كلاين قويًا، يُفهم مصطلح "غير إقليدي" غالبًا على أنه ليس إقليديًا.

مسلمة إقليدس الموازية

على مدى ألفي عام، بُذلت محاولات عديدة لإثبات مسلمة التوازي باستخدام مسلمات إقليدس الأربع الأولى. ولعل أحد أسباب الإقبال الكبير على هذا البرهان هو أن مسلمة التوازي، على عكس المسلمات الأربع الأولى، ليست بديهية. فلو كان لترتيب المسلمات الواردة في كتاب الأصول دلالة، لكان ذلك يشير إلى أن إقليدس لم يُدرج هذه المسلمة إلا عندما أدرك استحالة إثباتها أو المضي قدمًا بدونها. [ 62 ] كما بُذلت محاولات عديدة لإثبات المسلمة الخامسة انطلاقًا من المسلمات الأربع الأخرى، وقُبل الكثير منها كبرهان لفترات طويلة إلى أن اكتُشف الخطأ. وكان الخطأ دائمًا هو افتراض خاصية "بديهية" تبين أنها مكافئة للمسلمة الخامسة. وفي النهاية، أُدرك أن هذه المسلمة قد لا تكون قابلة للإثبات من المسلمات الأربع الأخرى. ووفقًا لترودو (1987 ، ص 154)، فإن هذا الرأي حول مسلمة التوازي (المسلمة 5) منشور بالفعل.

يبدو أن أول من فعل ذلك كان جي إس كلوغل (1739-1812 ) ، وهو طالب دكتوراه في جامعة غوتنغن، بدعم من أستاذه إيه جي كاستنر، في أطروحته عام 1763 بعنوان " Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio" (مراجعة لأشهر المحاولات لإثبات نظرية التوازي). في هذا العمل، فحص كلوغل 28 محاولة لإثبات المسلّمة الخامسة (بما في ذلك محاولة ساكيري)، ووجدها جميعًا قاصرة، وقدّم رأيًا مفاده أن المسلّمة الخامسة غير قابلة للإثبات وأنها تستند فقط إلى حكم حواسنا.

شهدت بداية القرن التاسع عشر خطوات حاسمة في نشأة الهندسة اللاإقليدية. ففي حوالي عام ١٨١٣، وضع كارل فريدريش غاوس ، وبشكل مستقل في حوالي عام ١٨١٨، أستاذ القانون الألماني فرديناند كارل شفايكارت [ ٦٣ ]، الأفكار الأولية للهندسة اللاإقليدية، لكن لم ينشر أي منهما نتائج. ثم، في حوالي عام ١٨٣٠، نشر عالم الرياضيات المجري يانوس بولياي وعالم الرياضيات الروسي نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي، كلٌ على حدة، أطروحات حول ما نسميه اليوم الهندسة الزائدية . ونتيجة لذلك، سُميت الهندسة الزائدية بهندسة بولياي-لوباتشيفسكي، حيث يُعتبر كلا العالمين، بشكل مستقل، من المؤلفين الأساسيين للهندسة اللاإقليدية. وقد ذكر غاوس لوالد بولياي، عندما اطلع على عمل ابنه، أنه كان قد طور هندسة مماثلة قبل عدة سنوات، [ ٦٤ ] على الرغم من أنه لم ينشرها. بينما ابتكر لوباتشيفسكي هندسةً غير إقليدية بنفيه مسلمة التوازي، وضع بولياي هندسةً تسمح بوجود كلٍّ من الهندسة الإقليدية والهندسة الزائدية، وذلك تبعًا للمعامل k . ويختتم بولياي عمله بالإشارة إلى أنه لا يمكن تحديد ما إذا كانت هندسة الكون المادي إقليدية أم غير إقليدية بالاستدلال الرياضي وحده؛ فهذه مهمةٌ للعلوم الفيزيائية. وقد برهن يوجينيو بلترامي أخيرًا على استقلال مسلمة التوازي عن بديهيات إقليدس الأخرى عام ١٨٦٨. [ ٦٥ ]

أسفرت المحاولات المتعددة لإثبات مسلمة التوازي عن قائمة طويلة من النظريات المكافئة لها. ويعني التكافؤ هنا أنه في ظل وجود بديهيات الهندسة الأخرى، يمكن افتراض صحة كل نظرية من هذه النظريات، ومن ثم إثبات مسلمة التوازي انطلاقًا من هذه المجموعة المعدلة من البديهيات. وهذا يختلف عن التكافؤ المنطقي . [ 66 ] في مجموعات بديهيات الهندسة الإقليدية المختلفة، يمكن لأي من هذه النظريات أن تحل محل مسلمة التوازي الإقليدية. [ 67 ] تشير القائمة الجزئية التالية إلى بعض هذه النظريات ذات الأهمية التاريخية. [ 68 ]

  1. الخطوط المستقيمة المتوازية متساوية البعد. (بوسيدونيوس، القرن الأول قبل الميلاد)
  2. جميع النقاط التي تبعد مسافة متساوية عن خط مستقيم معين، على جانب معين منه، تشكل خطاً مستقيماً. (كريستوف كلافيوس، 1574)
  3. مبدأ بلايفير : في المستوى، يوجد على الأكثر خط واحد يمكن رسمه موازياً لخط آخر يمر بنقطة خارجية. (بروكلس، القرن الخامس الميلادي، ولكن جون بلايفير هو من نشره على نطاق واسع في أواخر القرن الثامن عشر الميلادي)
  4. مجموع الزوايا في كل مثلث يساوي 180 درجة (جيرولامو ساكيري، 1733؛ أدريان ماري ليجندر، أوائل القرن التاسع عشر)
  5. يوجد مثلث مجموع زواياه 180 درجة. (جيرولامو ساكيري، 1733؛ أدريان ماري ليجندر، أوائل القرن التاسع عشر)
  6. يوجد زوج من المثلثات المتشابهة ، ولكنها غير متطابقة . (جيرولامو ساكيري، 1733)
  7. يمكن إحاطة كل مثلث بدائرة . (أدريان ماري ليجندر، فاركاس بولياي، أوائل القرن التاسع عشر)
  8. إذا كانت ثلاث زوايا من زوايا الشكل الرباعي قائمة ، فإن الزاوية الرابعة تكون أيضاً قائمة. (ألكسيس كلود كليروت، 1741؛ يوهان هاينريش لامبرت، 1766)
  9. يوجد شكل رباعي جميع زواياه قائمة. (جيرالامو ساكيري، 1733)
  10. مسلمة واليس . على خط مستقيم محدود مُعطى، من الممكن دائمًا إنشاء مثلث مشابه لمثلث مُعطى. (جون واليس، 1663؛ لازار-نيكولا-مارغريت كارنو، 1803؛ أدريان-ماري ليجندر، 1824)
  11. لا يوجد حد أقصى لمساحة المثلث . (كارل فريدريش جاوس، 1799)
  12. تبلغ زوايا قمة رباعي ساتشيري 90 درجة. (جيرالامو ساتشيري، 1733)
  13. بديهية بروكلس : إذا تقاطع خط مستقيم مع أحد خطين متوازيين، وكلاهما يقعان في نفس المستوى مع الخط الأصلي، فإنه يتقاطع أيضاً مع الخط الآخر. (بروكلس، القرن الخامس الميلادي)

الهندسة المحايدة (أو المطلقة)

الهندسة المطلقة هي هندسة قائمة على نظام بديهيات يتألف من جميع البديهيات التي تُعطي الهندسة الإقليدية باستثناء مسلمة التوازي أو أي من بدائلها. [ 69 ] وقد صاغ هذا المصطلح يانوش بولياي عام 1832. [ 70 ] ويُشار إليها أحيانًا بالهندسة المحايدة ، [ 71 ] لأنها محايدة فيما يتعلق بمسلمة التوازي.

العلاقة بالأشكال الهندسية الأخرى

في كتاب الأصول لإقليدس ، تتجنب القضايا الثماني والعشرون الأولى والقضية 1.31 استخدام مسلمة التوازي، ولذلك فهي نظريات صحيحة في الهندسة المطلقة. [ 72 ] تثبت القضية 1.31 وجود خطوط متوازية (بحسب الإنشاء). كما يمكن إثبات نظرية ساكيري-ليجندر ، التي تنص على أن مجموع زوايا المثلث لا يتجاوز 180 درجة.

تنطبق نظريات الهندسة المطلقة في الهندسة الزائدية وكذلك في الهندسة الإقليدية . [ 73 ]

الهندسة المطلقة لا تتوافق مع الهندسة الإهليلجية : ففي الهندسة الإهليلجية لا توجد خطوط متوازية على الإطلاق، بينما توجد في الهندسة المطلقة. كذلك، في الهندسة الإهليلجية، يكون مجموع زوايا أي مثلث أكبر من 180 درجة.

عدم الاكتمال

منطقيًا، لا تُشكّل البديهيات نظريةً كاملة، إذ يُمكن إضافة بديهيات مستقلة أخرى دون أن يُصبح نظام البديهيات غير متسق. يُمكن توسيع الهندسة المطلقة بإضافة بديهيات مختلفة حول التوازي، ما يُؤدي إلى أنظمة بديهيات غير متوافقة ولكنها متسقة، مُؤديةً إلى الهندسة الإقليدية والزائدية. بالتالي، فإن كل نظرية في الهندسة المطلقة هي نظرية في الهندسة الزائدة والهندسة الإقليدية. مع ذلك، فإن العكس غير صحيح. كما أن الهندسة المطلقة ليست نظريةً فئوية ، لأنها تحتوي على نماذج غير متماثلة. [ 74 ]

الهندسة الزائدية

في المنهج البديهي للهندسة الزائدية (المعروف أيضًا باسم هندسة لوباتشيفسكي أو هندسة بولياي-لوباتشيفسكي)، تُضاف بديهية إضافية إلى البديهيات التي تُعطي الهندسة المطلقة . هذه البديهية الجديدة هي مسلمة لوباتشيفسكي للتوازي (المعروفة أيضًا باسم المسلمة المميزة للهندسة الزائدية ): [ 75 ]

من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يوجد (في المستوى المحدد بهذه النقطة والخط) خطان على الأقل لا يتقاطعان مع الخط المعطى.

وبهذا الإضافة، اكتمل نظام البديهيات الآن.

على الرغم من أن البديهية الجديدة تؤكد وجود خطين فقط، فمن السهل إثبات وجود عدد لا نهائي من الخطوط التي تمر بالنقطة المعطاة ولا تتقاطع معها. ونظرًا لهذا العدد الهائل، يجب توخي الحذر في استخدام المصطلحات في هذا السياق، إذ لم يعد مصطلح " الخط الموازي" يحمل المعنى الفريد الذي يحمله في الهندسة الإقليدية. تحديدًا، لنفترض أن P نقطة لا تقع على خط معين.ℓ{\displaystyle \ell }ليكن PA هو العمود المرسوم من النقطة P إلىℓ{\displaystyle \ell }(التقاء عند النقطة أ ). تنقسم الخطوط المارة بالنقطة ب إلى فئتين، تلك التي تلتقيℓ{\displaystyle \ell }وتلك التي لا تلتقي. تنص الفرضية المميزة للهندسة الزائدية على وجود خطين على الأقل من النوع الأخير. من بين الخطوط التي لا تلتقيℓ{\displaystyle \ell }سيكون هناك (على كل جانب من جوانب النقطة PA ) خط يشكل أصغر زاوية مع PA . أحيانًا يُشار إلى هذه الخطوط بأنها الخطوط الأولى المارة بالنقطة P والتي لا تتقاطع معها.ℓ{\displaystyle \ell }وتُسمى هذه الخطوط بأسماء مختلفة، منها الخطوط الحدية، والخطوط التقاربية ، والخطوط المتوازية (عند استخدام المصطلح الأخير، تكون هذه هي الخطوط المتوازية الوحيدة). أما جميع الخطوط الأخرى المارة بالنقطة P والتي لا تتقاطع معها، فتُسمى خطوطًا حدية ، أو مقاربة ، أو متوازية (عند استخدام المصطلح الأخير، تكون هذه هي الخطوط المتوازية الوحيدة ).ℓ{\displaystyle \ell }تُسمى هذه الخطوط بالخطوط غير المتقاطعة أو الخطوط المتوازية للغاية .

بما أن الهندسة الزائدية والهندسة الإقليدية مبنيتان على بديهيات الهندسة المطلقة، فإنهما تشتركان في العديد من الخصائص والمسلمات. مع ذلك، فإن استبدال مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية بالمسلمة المميزة للهندسة الزائدية قد يؤدي إلى نتائج وخيمة. نذكر منها على سبيل المثال:

شكل لامبرت الرباعي في الهندسة الزائدية
  • الشكل الرباعي لامبرت هو شكل رباعي يحتوي على ثلاث زوايا قائمة. الزاوية الرابعة في الشكل الرباعي لامبرت حادة إذا كانت الهندسة زائدية، وقائمة إذا كانت الهندسة إقليدية. علاوة على ذلك، لا يمكن أن توجد المستطيلات (وهو ما يعادل مسلمة التوازي) إلا في الهندسة الإقليدية.
  • الشكل الرباعي ساكيري هو شكل رباعي له ضلعان متساويان في الطول، وكلاهما عمودي على ضلع يُسمى القاعدة . أما الزاويتان الأخريان في الشكل الرباعي ساكيري فتُسميان زاويتي القمة ، وهما متساويتان في القياس. وتكون زاويتا القمة حادتين إذا كان الشكل هندسيًا زائديًا، وقائمة إذا كان الشكل هندسيًا إقليديًا.
  • يكون مجموع قياسات زوايا أي مثلث أقل من 180° إذا كان الشكل الهندسي زائديًا، ويساوي 180° إذا كان الشكل الهندسي إقليديًا. ويُعرف نقص المثلث بأنه القيمة العددية (180° - مجموع قياسات زوايا المثلث). ويمكن التعبير عن هذه النتيجة أيضًا كما يلي: نقص المثلثات في الهندسة الزائدية موجب، ونقص المثلثات في الهندسة الإقليدية يساوي صفرًا.
  • مساحة المثلث في الهندسة الزائدية محدودة، بينما توجد مثلثات بمساحات كبيرة بشكل تعسفي في الهندسة الإقليدية.
  • تشكل مجموعة النقاط الموجودة على نفس الجانب والمتساوية البعد عن خط مستقيم معين خطًا في الهندسة الإقليدية، ولكنها لا تشكل خطًا في الهندسة الزائدية (إنها تشكل دورة زائدة ).

تلقى أنصار الرأي القائل بأن الهندسة الإقليدية هي الهندسة "الحقيقية" الوحيدة انتكاسةً عندما قدّم يوجينيو بلترامي ، في مذكراته المنشورة عام 1868 بعنوان "النظرية الأساسية للفضاءات ذات الانحناء الثابت"، [ 76 ] برهانًا مجردًا على تكافؤ الهندسة الزائدية والإقليدية لأي بُعد. وقد حقق ذلك من خلال تقديم عدة نماذج للهندسة غير الإقليدية، تُعرف الآن بنموذج بلترامي-كلاين ، ونموذج قرص بوانكاريه ، ونموذج نصف المستوى لبوانكاريه ، بالإضافة إلى التحويلات التي تربط بينها. وفيما يخص نموذج نصف المستوى، استشهد بلترامي بملاحظة لليوفيل في رسالة مونج حول الهندسة التفاضلية . أظهر بلترامي أيضًا أن الهندسة الإقليدية ذات الأبعاد n تتحقق على سطح الكرة الأرضية للفضاء الزائدي ذي الأبعاد ( n + 1) ، لذا فإن العلاقة المنطقية بين اتساق الهندسة الإقليدية والهندسة غير الإقليدية متناظرة.  

الهندسة الإهليلجية

ثمة طريقة أخرى لتعديل مسلمة التوازي الإقليدية، وهي افتراض عدم وجود خطوط متوازية في المستوى. على عكس الهندسة الزائدية ، حيث نضيف مسلمة جديدة واحدة فقط، لا يمكننا الحصول على نظام متسق بإضافة هذه العبارة كمسلمة جديدة إلى مسلمات الهندسة المطلقة . ويترتب على ذلك أن الخطوط المتوازية موجودة بشكل مثبت في الهندسة المطلقة، مما يستلزم تغيير مسلمات أخرى.

انطلاقاً من بديهيات هيلبرت، تتضمن التغييرات الضرورية إزالة بديهيات هيلبرت الأربع الخاصة بالترتيب واستبدالها بهذه البديهيات السبع الخاصة بالفصل والمتعلقة بعلاقة جديدة غير محددة. [ 77 ]

توجد علاقة غير محددة ( أولية ) بين أربع نقاط، A و B و C و D ، ويرمز لها بـ ( A , C | B , D ) وتقرأ على النحو التالي: " A و C يفصلان B و D "، [ 78 ] وتفي بهذه البديهيات:

  1. إذا كان ( A , B | C , D )، فإن النقاط A و B و C و D تقع على خط مستقيم واحد ومختلفة.
  2. إذا كان ( أ ، ب | ج ، د )، فإن ( ج ، د | أ ، ب ) و ( ب ، أ | د ، ج ).
  3. إذا كان ( أ ، ب | ج ، د )، فإن ( أ ، ج | ب ، د ) ليس (أ، ج ).
  4. إذا كانت النقاط A و B و C و D تقع على خط مستقيم واحد ومختلفة، فإن ( A , B | C , D ) أو ( A , C | B , D ) أو ( A , D | B , C ).
  5. إذا كانت النقاط A و B و C متوازية ومختلفة، فإنه توجد نقطة D بحيث ( A , B | C , D ).
  6. لأي خمس نقاط متوازية مميزة A و B و C و D و E ، إذا كان ( A ، B | D ، E )، فإن إما ( A ، B | C ، D ) أو ( A ، B | C ، E ).
  7. تحافظ وجهات النظر على الفصل.

بما أن مفهوم "الوقوع بين نقطتين" في هيلبرت قد أُلغي، فإن المصطلحات التي عُرِّفت باستخدام هذا المفهوم تحتاج إلى إعادة تعريف. [ 79 ] وبالتالي، فإن القطعة المستقيمة AB، المُعرَّفة في الهندسة المطلقة بأنها النقطتان A و B وجميع النقاط الواقعة بينهما ، تحتاج إلى إعادة صياغة. في هذه الهندسة الجديدة، تُحدَّد القطعة المستقيمة بثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة ، وهي A و B و C ، وتتكون من هذه النقاط الثلاث وجميع النقاط التي لا تفصلها عن B النقطتان A و C. وهناك تبعات أخرى، فبما أن نقطتين لا تُحدِّدان قطعة مستقيمة بشكل فريد، فإن ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة لا تُحدِّد مثلثًا فريدًا، وبالتالي يجب إعادة صياغة تعريف المثلث.

بمجرد إعادة تعريف هذه المفاهيم، تصبح بديهيات الهندسة المطلقة الأخرى (الوقوع، والتطابق، والاستمرارية) منطقية تمامًا، فلا داعي لتغييرها. وبإضافة البديهية الجديدة المتعلقة بعدم وجود خطوط متوازية، نحصل على نظام بديهيات متسق يُنتج هندسة جديدة. تُسمى هذه الهندسة بالهندسة الإهليلجية (المستوية) .

الأشكال الرباعية لساكيري في الهندسة الإقليدية والقطع الناقص والقطع الزائد

على الرغم من أن الهندسة الإهليلجية ليست امتدادًا للهندسة المطلقة (كما هو الحال في الهندسة الإقليدية والزائدية)، إلا أن هناك نوعًا من "التناظر" في قضايا هذه الهندسات الثلاث، مما يعكس صلة أعمق لاحظها فيليكس كلاين. ومن بين القضايا التي تُظهر هذه الخاصية:

  • الزاوية الرابعة في شكل لامبرت الرباعي هي زاوية منفرجة في الهندسة الإهليلجية.
  • تكون زوايا قمة الشكل الرباعي ساكيري منفرجة في الهندسة الإهليلجية.
  • يكون مجموع قياسات زوايا أي مثلث أكبر من 180 درجة إذا كان الشكل الهندسي إهليلجيًا. أي أن نقص المثلث يكون سالبًا. [ 80 ]
  • في الهندسة الإهليلجية، تلتقي جميع الخطوط العمودية على خط معين في نقطة مشتركة تُسمى قطب الخط. أما في الهندسة الزائدية، فلا تتقاطع هذه الخطوط، بينما في الهندسة الإقليدية، تكون متوازية.

وتؤكد نتائج أخرى، مثل نظرية الزاوية الخارجية ، بوضوح على الفرق بين الهندسة الإهليلجية والهندسة التي تعد امتدادات للهندسة المطلقة.

الهندسة الكروية

أشكال هندسية أخرى

الهندسة الإسقاطية

الهندسة الأفينية

الهندسة المنظمة

الهندسة المطلقة هي امتداد للهندسة المرتبة ، وبالتالي، فإن جميع النظريات في الهندسة المرتبة تنطبق على الهندسة المطلقة. أما العكس فليس صحيحًا. تفترض الهندسة المطلقة صحة البديهيات الأربع الأولى لإقليدس (أو ما يعادلها)، على عكس الهندسة الأفينية التي لا تفترض صحة البديهيتين الثالثة والرابعة لإقليدس. وتُعد الهندسة المرتبة أساسًا مشتركًا لكل من الهندسة المطلقة والأفينية. [ 81 ]

الهندسة المحدودة

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فينيما 2006 ، ص 17
  2. ↑ وايلي 1964 ، ص 8
  3. ↑ غرينبيرغ 2007 ، ص 59
  4. ↑ في هذا السياق، لا يتم التمييز بين فئات النظريات المختلفة. يتم التعامل مع القضايا واللمات والنتائج وما إلى ذلك بنفس الطريقة.
  5. ↑ فينيما 2006 ، ص 19
  6. ↑ فابر 1983 ، الصفحات 105-108
  7. 1 2 حواء 1963 ، ص. 19
  8. ↑ إيفز 1963 ، ص 10
  9. ↑ بوير (1991)، "إقليدس الإسكندري"، تاريخ الرياضيات ، ص  101، باستثناء كتاب " كرة أوتوليكوس"، فإن الأعمال الباقية لإقليدس هي أقدم الرسائل الرياضية اليونانية الموجودة؛ ومع ذلك فقد فُقد أكثر من نصف ما كتبه إقليدس.
  10. ↑ موسوعة اليونان القديمة (2006) بقلم نايجل جاي ويلسون، صفحة 278. منشورات روتليدج تايلور وفرانسيس جروب. اقتباس: "أصبحت عناصر إقليدس فيما بعد أساسًا لجميع مناهج تعليم الرياضيات، ليس فقط في العصرين الروماندي والبيزنطي، بل وحتى منتصف القرن العشرين، ويمكن القول إنها أنجح كتاب مدرسي كُتب على الإطلاق."
  11. ↑ بوير (1991)، "إقليدس الإسكندري"، تاريخ الرياضيات ، ص 100، كمعلمين في المدرسة، دعا مجموعة من كبار العلماء، من بينهم مؤلف كتاب الرياضيات الأكثر نجاحًا على الإطلاق - العناصر ( Stoichia ) لإقليدس. 
  12. ١ ٢ بوير (١٩٩١)، "إقليدس الإسكندري"، تاريخ الرياضيات ، ص ١١٩، لم تكن أصول إقليدس أقدم عمل رياضي يوناني رئيسي وصل إلينا فحسب، بل كانت أيضًا الكتاب المدرسي الأكثر تأثيرًا على مر العصور. [...] ظهرت النسخ المطبوعة الأولى من الأصول في البندقية عام ١٤٨٢، وهي من أوائل الكتب الرياضية التي طُبعت بالحروف؛ وتشير التقديرات إلى أنه منذ ذلك الحين نُشر ما لا يقل عن ألف طبعة. ربما لا يوجد كتاب آخر غير الكتاب المقدس يمكنه أن يتباهى بهذا العدد الكبير من الطبعات، وبالتأكيد لم يكن لأي عمل رياضي تأثير يُضاهي تأثير أصول إقليدس . 
  13. ↑ الجذور التاريخية للرياضيات الابتدائية، تأليف لوكاس نيكولاس هندريك بونت، وفيليب س. جونز، وجاك د. بيدينت (1988)، صفحة 142. منشورات دوفر. اقتباس: " انتشر كتاب الأصول في أوروبا الغربية عن طريق العرب والمسلمين. وهناك أصبح أساسًا للتعليم الرياضي. يوجد أكثر من 1000 طبعةمعروفة من كتاب الأصول . وعلى الأرجح، يُعدّ، بعد الكتاب المقدس ، الكتاب الأكثر انتشارًا في حضارة العالم الغربي."
  14. ↑ من مقدمة أميت هاجر لكتاب إقليدس ومنافسيه المعاصرين للويس كارول (2009، بارنز أند نوبل) صفحة 28:
    برزت الهندسة كجزء لا غنى عنه من التعليم الأساسي للرجل الإنجليزي النبيل في القرن الثامن عشر؛ وبحلول العصر الفيكتوري، أصبحت أيضًا جزءًا مهمًا من تعليم الحرفيين، وأطفال المدارس الحكومية، ورعايا المستعمرات، وبدرجة أقل، النساء. ... وكان كتاب " الأصول" لإقليدس هو الكتاب المدرسي القياسي لهذا الغرض .
  15. ↑ إقليدس، الكتاب الأول، القضية 47
  16. ↑ هيث 1956 ، الصفحات 195-202 (المجلد 1)
  17. ↑ فينيما 2006 ، ص 11
  18. ↑ بول 1960 ، ص 55
  19. ↑ وايلي 1964 ، ص 39
  20. 1 2 فابر 1983 ، ص 109
  21. ↑ فابر 1983 ، ص 113
  22. ↑ فابر 1983 ، ص 115
  23. ↑ هيث 1956 ، ص 62 (المجلد الأول)
  24. ↑ غرينبيرغ 2007 ، ص 57
  25. ↑ هيث 1956 ، ص 242 (المجلد الأول)
  26. ↑ هيث 1956 ، ص 249 (المجلد الأول)
  27. ↑ إيفز 1963 ، ص 380
  28. ↑ بيانو 1889
  29. ↑ إيفز 1963 ، ص 382
  30. ↑ إيفز 1963 ، ص 383
  31. ↑ لم يحضر بييري لأنه انتقل مؤخرًا إلى صقلية، لكنه ألقى ورقة بحثية له في مؤتمر الفلسفة.
  32. ↑ هيلبرت 1950
  33. ↑ هيلبرت 1990
  34. ↑ هذا مصطلح هيلبرت. هذه العبارة تُعرف بشكل أكثر شيوعًا باسم بديهية بلايفير .
  35. ↑ إيفز 1963 ، ص 386
  36. ↑ مور، إي إتش (1902)، "حول بديهيات الإسقاط في الهندسة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 3 (1): 142-158 ، doi : 10.2307/1986321 ، JSTOR 1986321 
  37. 1 2 حواء 1963 ، ص 387
  38. ↑ بيركوف، جورج ديفيد (1932)، "مجموعة من المسلمات للهندسة المستوية"، حوليات الرياضيات ، 33 (2): 329-345 ، doi : 10.2307/1968336 ، hdl : 10338.dmlcz/147209 ، JSTOR 1968336 
  39. ↑ فينيما 2006 ، ص 400
  40. ^ فينيما 2006 ، ص 400 – 1
  41. ↑ هالستيد، جي بي (1904)، الهندسة العقلانية ، نيويورك: جون وايلي وأولاده، المحدودة.
  42. 1 2 3 4 إيفز 1963 ، ص 388
  43. ↑ من بين إنجازاته العديدة، هو المؤسس المشارك (مع صموئيل إيلنبرغ ) لنظرية الفئات .
  44. ↑ ماك لين، سوندرز (1959)، "مسلمات القياس للهندسة المستوية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 66 (7): 543-555 ، doi : 10.2307/2309851 ، JSTOR 2309851 
  45. ↑ بيركوف، جي دي؛ بياتلي، آر. (1940)، الهندسة الأساسية ، شيكاغو: سكوت، فورسمان وشركاه[إعادة طبع الطبعة الثالثة: الجمعية الأمريكية للرياضيات، 2000. ISBN 978-0-8218-2101-5]
  46. ^ فينيما 2006 ، ص 401 – 2
  47. 1 2 فينيما 2006 ، ص 55
  48. ↑ مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية (SMSG) (1961)، الهندسة، الجزءان 1 و2 (نص الطالب) ، نيو هيفن ولندن: مطبعة جامعة ييل
  49. ↑ مويس، إدوين إي.؛ داونز، فلويد إل. (1991)، الهندسة ، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي
  50. ↑ فينيما 2006 ، ص 403
  51. ^ فينيما 2006 ، ص 403 – 4
  52. ^ فينيما 2006 ، ص 405 – 7
  53. ↑ فوردر، إتش جي (1927)، "أسس الهندسة الإقليدية"، مجلة نيتشر ، 123 (3089)، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج: 44، رمز Bibcode : 1928Natur.123...44 ، doi : 10.1038/123044a0 ، S2CID 4093478 (أعيد طبعه بواسطة دوفر، 1958)
  54. ↑ هانتينغتون، إي. في. (1913)، "مجموعة من المسلمات للهندسة المجردة، معبر عنها بدلالة علاقة التضمين البسيطة" ، حوليات الرياضيات ، 73 (4): 522-559 ، doi : 10.1007/bf01455955 ، S2CID 119440414 
  55. ↑ روبنسون، جي. دي بي. (1946)، أسس الهندسة ، العروض الرياضية رقم 1 ( الطبعة الثانية)، تورنتو: مطبعة جامعة تورنتو 
  56. ↑ كلاين، موريس (1967)، الرياضيات لغير المتخصصين في الرياضيات ، نيويورك: دوفر، ص 474 ، رقم ISBN  0-486-24823-2
  57. ↑ غرينبيرغ 2007 ، ص. 1
  58. ↑ بينما تم افتراض وجود خطين فقط، فمن السهل إثبات أنه يجب أن يكون هناك عدد لا نهائي من هذه الخطوط.
  59. ↑ الكتاب الأول، القضية 27 من كتاب أصول إقليدس
  60. ↑ فيليكس كلاين، الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة ، دوفر، 1948 (إعادة طبع للترجمة الإنجليزية للطبعة الثالثة، 1940. الطبعة الأولى بالألمانية، 1908) صفحة 176
  61. ^ ف. كلاين، Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie، Mathematische Annalen ، 4 (1871).
  62. ↑ فلورنس ب. لويس (يناير 1920)، "تاريخ مسلمة التوازي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 27 (1)، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية، المجلد 27، العدد 1: 16-23 ، doi : 10.2307/2973238 ، JSTOR 2973238 . 
  63. في رسالة مؤرخة في ديسمبر 1818، قدّم فرديناند كارل شفايكارت (1780-1859) لمحةً عن بعض الأفكار المتعلقة بالهندسة اللاإقليدية. أُحيلت الرسالة إلى غاوس عام 1819 من قِبل تلميذه السابق جيرلينغ. وفي رده على جيرلينغ، أشاد غاوس بشفايكارت، وذكر بحثه السابق في الهندسة اللاإقليدية.
  64. في رسالته إلى فولفغانغ (فاركاس) بولياي بتاريخ 6 مارس 1832، يدّعي غاوس أنه عمل على هذه المسألة لمدة ثلاثين أو خمسة وثلاثين عامًا ( فابر 1983 ، ص 162) . وفي رسالته إلى تورينوس عام 1824 ( فابر 1983 ، ص 158)، ادّعى أنه كان يعمل على المسألة لأكثر من ثلاثين عامًا، وقدّم تفاصيل كافية تُثبت أنه قد توصل بالفعل إلى تفاصيلها. ووفقًا لفابر (1983 ، ص 156)، لم يتقبّل غاوس وجود هندسة جديدة إلا في حوالي عام 1813.
  65. ^ بلترامي، أوجينيو (1868) “Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante”، Annali di Matematica Pura et Applicata ، السلسلة الثانية 2 :232 – 255.
  66. ↑ مثال مناسب للتكافؤ المنطقي هو بديهية بلايفير وإقليدس I.30 (انظر بديهية بلايفير#تعدية التوازي ).
  67. ↑ على سبيل المثال، يستخدم هيلبرت بديهية بلايفير بينما يستخدم بيركوف النظرية المتعلقة بالمثلثات المتشابهة ولكن غير المتطابقة.
  68. ↑ تُنسب هذه المعلومات إلى ترودو 1987 ، الصفحات 128-129
  69. ↑ استخدم مجموعة كاملة من البديهيات للهندسة الإقليدية، مثل بديهيات هيلبرت أو ما يعادلها من البديهيات الحديثة ( فابر، 1983 ، ص 131) . إن مجموعة بديهيات إقليدس الأصلية غامضة وغير كاملة، ولا تُشكّل أساسًا للهندسة الإقليدية.
  70. ↑ في " الملحق الذي يعرض العلم المطلق للفضاء: مستقل عن صحة أو خطأ بديهية إقليدس الحادية عشرة (التي لم يتم البت فيها مسبقًا بأي حال من الأحوال) " ( فابر 1983 ، ص 161)
  71. يستشهد غرينبيرغ بـ و. برينويتز وم. جوردان (غرينبيرغ، ص. 16) لاستخدامهما مصطلح الهندسة المحايدة للإشارة إلى ذلك الجزء من الهندسة الإقليدية الذي لا يعتمد على مسلمة التوازي لإقليدس. ويقول إن كلمة "مطلق" في الهندسة المطلقة توحي بشكل مضلل بأن جميع الهندسات الأخرى تعتمد عليها.
  72. ↑ ترودو 1987 ، ص 44
  73. ↑ الهندسة المطلقة هي في الواقع تقاطع الهندسة الزائدية والهندسة الإقليدية عندما يتم اعتبارها مجموعات من القضايا.
  74. ↑ شيمر، جورج (2012)، "كارناب حول البديهيات المتطرفة، و" اكتمال النماذج "، و"التصنيفية"، مجلة مراجعة المنطق الرمزي ، 5 (4): 613-641 ، doi : 10.1017/S1755020312000172 ، MR 2998930 
  75. ↑ فابر 1983 ، ص 167
  76. ^ بلترامي ، أوجينيو (1868) ، “Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante” ، Annali di Matematica Pura ed Applicata ، السلسلة الثانية، 2 : 232–255 ، دوى : 10.1007 / BF02419615 ، S2CID 120773141 
  77. ↑ غرينبيرغ 2007 ، الصفحات 541-544
  78. ↑ تخيل أربع نقاط على دائرة ،وهي بالترتيب عكس اتجاه عقارب الساعة A و B و C و D.
  79. ↑ يؤكد هذا على عبثية محاولة "إصلاح" بديهيات إقليدس للحصول على هذه الهندسة. يجب إجراء تغييرات على الافتراضات الضمنية لإقليدس.
  80. ↑ يُطلق على النقص السلبي اسم الزيادة ، لذلك يمكن صياغة هذا أيضًا على النحو التالي: المثلثات لها زيادة موجبة في الهندسة الإهليلجية.
  81. ↑ كوكسيتر، الصفحات 175-176

مراجع

(3 مجلدات): ISBN 0-486-60088-2(المجلد 1)، رقم ISBN 0-486-60089-0(المجلد 2)، رقم ISBN 0-486-60090-4(المجلد 3).
  • هيلبرت، ديفيد (1950) [نُشر لأول مرة عام 1902]، أسس الهندسة [ Grundlagen der Geometrie ] (ملف PDF) ، ترجمة إنجليزية بقلم إي جيه تاونسند (  الطبعة الثانية)، لاسال، إلينوي: دار نشر أوبن كورت
  • هيلبرت، ديفيد (1990) [1971]، أسس الهندسة [Grundlagen der Geometrie] ، ترجمة ليو أونغر من الطبعة الألمانية العاشرة (  الطبعة الإنجليزية الثانية)، لاسال، إلينوي: دار نشر أوبن كورت، رقم ISBN 0-87548-164-7
  • مويس، إدوين إي. (1974)، الهندسة الابتدائية من منظور متقدم (الطبعة الثانية  )، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، رقم ISBN 0-201-04793-4
  • بيانو، جوزيبي (1889)، مبادئ الهندسة: المنطق ، تورينو: فراتريس بوكا
  • راسل، برتراند (1897) مقال في أسس الهندسة ، عبر أرشيف الإنترنت
  • ترودو، ريتشارد ج. (1987)، الثورة اللاإقليدية ، بوسطن: بيركهاوزر، رقم ISBN 0-8176-3311-1
  • فينيما، جيرارد أ. (2006)، أسس الهندسة ، أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: بيرسون برنتيس هول، رقم ISBN 0-13-143700-3
  • وايلي، سي آر الابن (1964)، أسس الهندسة ، نيويورك: ماكجرو هيل