تكامل بورواين

في الرياضيات ، يُعرف تكامل بورواين بأنه تكاملٌ عُرضت خصائصه غير المألوفة لأول مرة من قِبل عالمي الرياضيات ديفيد بورواين وجوناثان بورواين في عام 2001. ^{[ 1 ]} تتضمن تكاملات بورواين جداءات${\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)}$حيث تُعطى دالة sinc بواسطة${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$ل${\displaystyle x}$لا يساوي صفرًا، و${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

تتميز هذه التكاملات بإظهارها أنماطًا واضحة تتلاشى في النهاية. فيما يلي مثال على ذلك.

$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}{\frac{\sin(x)}{x}}\,dx=\frac{\pi}{2}\\\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin(x)}{x}}{\frac{\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\frac{\pi}{2}\\\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin(x)}{x}}{\frac{\sin(x/3)}{x/3}}{\frac{\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\frac{\pi}{2}\end{aligned}$

يستمر هذا النمط حتى

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

في الخطوة التالية، يفشل النمط.

$\begin{aligned}\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin(x)}{x}}{\frac{\sin(x/3)}{x/3}}\cdots{\frac{\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx 0.499999999992646859~\pi \\[5pt]&\approx {\frac{\pi}{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

بشكل عام ، تكون قيمة التكاملات المماثلة π / 2 عندما يتم استبدال الأرقام 3 ، 5، 7... بأعداد حقيقية موجبة بحيث يكون مجموع مقلوباتها أقل من 1.

في المثال أعلاه ، 1 / ​​3 + 1 / 5 + … + 1 / 13 < 1 ، ولكن 1 / 3 + 1 / 5 + … + 1 / 15 > 1 .​

مع إضافة العامل الإضافي${\displaystyle 2\cos(x)}$^{[ 3 ]} يستمر هذا النمط على مدى سلسلة أطول.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

لكن

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.3324\times 10^{-138}.}$

في هذه الحالة، 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2 ، ولكن 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2. يمكن حساب الإجابة الدقيقة باستخدام الصيغة العامة الواردة في القسم التالي ، ويظهر تمثيلها أدناه. عند فك الكسر بالكامل، يتحول هذا المقدار إلى كسر يتكون من عددين صحيحين ، كل منهما مكون من 2736 رقمًا.

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {3\cdot 5\cdots 113\cdot (1/3+1/5+\dots +1/113-2)^{56}}{2^{55}\cdot 56!}}\right)}$

تم توضيح سبب انهيار السلسلة الأصلية والممتدة بتفسير رياضي بديهي. ^{[ 4 ] [ 5 ]} وعلى وجه الخصوص، فإن إعادة صياغة المشي العشوائي مع حجة السببية تسلط الضوء على كسر النمط وتفتح المجال لعدد من التعميمات. ^{[ 6 ]}

بفرض وجود سلسلة من الأعداد الحقيقية غير الصفرية،${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$، صيغة عامة للتكامل

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}$

يمكن تقديمها. ^{[ 1 ]} ولصياغة الصيغة، سيحتاج المرء إلى النظر في المجاميع التي تتضمن${\displaystyle a_{k}}$وخاصة إذا${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$هو${\displaystyle n}$- مجموعة حيث كل عنصر هو${\displaystyle \pm 1}$ثم نكتب${\displaystyle b_{\gamma}=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$، وهو نوع من المجموع المتناوب للأجزاء القليلة الأولى${\displaystyle a_{k}}$وحددنا${\displaystyle \varepsilon _{\gamma}=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$، وهو إما${\displaystyle \pm 1}$باستخدام هذه الصيغة، تكون قيمة التكامل أعلاه هي

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$

أين

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$

في حالة عندما${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$لدينا${\displaystyle C_{n}=1}$.

علاوة على ذلك، إذا كان هناك${\displaystyle n}$بحيث يكون لكل${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$لدينا${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$و${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$وهذا يعني أن${\displaystyle n}$هي القيمة الأولى عندما يكون المجموع الجزئي للأول${\displaystyle n}$تتجاوز عناصر التسلسل${\displaystyle a_{0}}$، ثم${\displaystyle C_{k}=1}$لكل${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$لكن

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$

المثال الأول هو الحالة التي${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$.

لاحظ أنه إذا${\displaystyle n=7}$ثم${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$و${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$لكن${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$لذلك لأن${\displaystyle a_{0}=1}$، فهمنا ذلك

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

وهذا يبقى صحيحاً حتى لو أزلنا أيًا من المنتجات، ولكن...

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}}$

وهو ما يساوي القيمة المعطاة سابقاً.

تُناقش هنا طريقة تكامل دقيقة وفعّالة لحساب التكاملات الشبيهة بتكاملات بورواين. ^{[ 7 ]} تعتمد هذه الطريقة على إعادة صياغة التكامل بدلالة سلسلة من التفاضلات، مما يُتيح فهمًا بديهيًا للسلوك غير المألوف لتكاملات بورواين. تُطبّق طريقة التكامل بالتفاضل على التكاملات العامة، بما في ذلك تحويلات فورييه ولابلاس. وهي مُستخدمة في مُحرك التكامل في برنامج مابل منذ عام 2019. وتُعدّ هذه الطريقة مُستقلة عن طريقة فاينمان التي تستخدم التفاضل أيضًا للتكامل.

بينما التكامل

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\end{aligned}}}$

يصبح أقل من${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$متى${\displaystyle n}$إذا تجاوزت القيمة 6، فإنها لا تصبح أقل من ذلك بكثير، وفي الواقع أظهر بورواين وبيلي ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-0.0000352\end{aligned}}}$

حيث يمكننا استخراج النهاية من التكامل بفضل نظرية التقارب المسيطر . وبالمثل، بينما

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx}$

يصبح أقل من${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$متى${\displaystyle n}$إذا تجاوزت 55، فسنحصل

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.9629\cdot 10^{-42}}$

علاوة على ذلك، باستخدام تحليلات فايرشتراس

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\qquad \cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right)}$

يمكن للمرء أن يُظهر

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(2x/(2n+1))}{2x/(2n+1)}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)}$

وبتغيير المتغيرات نحصل على ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{4}}-0.0000176}$

و ^{[ 8 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\cos(x)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}}$

قدّم شمولد ^{[ 11 ]} صياغات احتمالية جذابة لتكاملات بورواين ذات الجداء اللانهائي . على سبيل المثال، لننظر إلى المتسلسلة التوافقية العشوائية

${\displaystyle \pm 1\pm {\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{3}}\pm {\frac {1}{4}}\pm {\frac {1}{5}}\pm \cdots }$

where one flips independent fair coins to choose the signs. This series converges almost surely, that is, with probability 1. The probability density function of the result is a well-defined function, and the value of this function at 2 is close to 1/8. However, it is closer to

${\displaystyle 0.124999999999999999999999999999999999999999764\ldots }$

Schmuland's explanation is that this quantity is ${\displaystyle 1/\pi }$ times

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}}$

• وايسشتاين، إريك دبليو. "تكامل حاصل ضرب جيب التمام اللانهائي" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 10 يناير 2023 .