نظرية التقارب المسيطر

في نظرية القياس ، تُقدّم نظرية التقارب المُهيمن لليبيغ شرطًا كافيًا بسيطًا يسمح بتبديل النهايات والتكاملات لمتتالية من الدوال. وبعبارة أدق، تنصّ هذه النظرية على أنه إذا كانت متتالية من الدوال محدودة بالقيمة المطلقة بواسطة دالة قابلة للتكامل، ومتقاربة نقطيًا تقريبًا في كل مكان إلى دالة ، فإن المتتالية تتقارب في${\displaystyle L_{1}}$إلى نهايتها النقطية، وعلى وجه الخصوص، فإن تكامل النهاية هو نهاية التكاملات. وتُعدّ قوتها وفائدتها من أهم المزايا النظرية لتكامل لوبيغ مقارنةً بتكامل ريمان .

بالإضافة إلى ظهورها المتكرر في التحليل الرياضي والمعادلات التفاضلية الجزئية، فإنها تستخدم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات ، لأنها تعطي شرطًا كافيًا لتقارب القيم المتوقعة للمتغيرات العشوائية .

نظرية التقارب المسيطر لليبيغ. ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle (f_{n})}$لتكن سلسلة من الدوال القابلة للقياس ذات القيم المركبة على فضاء قياس${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$لنفترض أن المتتالية تتقارب نقطيًا إلى دالة${\displaystyle f}$أي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

موجود لكل${\displaystyle x\in S}$افترض كذلك أن المتتالية${\displaystyle f_{n}}$تهيمن عليها دالة قابلة للتكامل${\displaystyle g}$بمعنى أن

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$

لجميع النقاط${\displaystyle x\in S}$وكل شيء${\displaystyle n}$في مجموعة الفهرس. ثم${\displaystyle f_{n},f}$قابلة للتكامل ( بالمعنى الذي وضعه لوبيغ ) و

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}\lim _{n\to \infty }f_{n}d\mu =\int _{S}f\,d\mu }$.

في الواقع، لدينا تصريح أقوى

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0.}$

ملاحظة 1. البيان "${\displaystyle g}$تعني عبارة "قابلة للتكامل" أن الدالة قابلة للقياس${\displaystyle g}$هل هي قابلة للتكامل وفقًا لمعيار لوبيغ؟ أي بما أن${\displaystyle g\geq 0}$.

${\displaystyle \int _{S}g\,d\mu <\infty .}$

ملاحظة 2. تقارب التسلسل وهيمنة${\displaystyle g}$يمكن الاسترخاء للاحتفاظ فقط${\displaystyle \mu }$- في كل مكان تقريبًا، أي باستثناء ربما مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle \mu }$-يقيس${\displaystyle 0}$في الواقع، يمكننا تعديل الوظائف${\displaystyle f_{n}}$(ومن هنا حدها النقطي)${\displaystyle f}$) ليكون 0 على${\displaystyle Z}$دون تغيير قيمة التكاملات. (إذا أصررنا على سبيل المثال على تعريف${\displaystyle f}$باعتبارها الحد أينما وجدت، قد ينتهي بنا الأمر بمجموعة فرعية غير قابلة للقياس ضمن${\displaystyle Z}$حيث يتم انتهاك التقارب إذا كانت مساحة القياس غير كاملة ، وبالتالي${\displaystyle f}$قد لا يكون قابلاً للقياس. ومع ذلك، لا ضرر من تجاهل الحد داخل المجموعة الفارغة.${\displaystyle Z}$وبالتالي يمكننا اعتبار${\displaystyle f_{n}}$و${\displaystyle f}$كما هو محدد باستثناء مجموعة من${\displaystyle \mu }$-القياس 0.

ملاحظة 3. إذا${\displaystyle \mu (S)<\infty }$، الشرط الذي ينص على وجود دالة قابلة للتكامل مهيمنة${\displaystyle g}$يمكن تخفيفها إلى قابلية التكامل المنتظمة للمتتالية ( f _n )، انظر نظرية تقارب فيتالي .

ملاحظة 4. بينما${\displaystyle f}$إذا كانت قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، فهي ليست قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ريمان بشكل عام . على سبيل المثال، رتب الأعداد النسبية في${\displaystyle [0,1]}$ودع${\displaystyle f_{n}}$يتم تعريفها على${\displaystyle [0,1]}$تأخذ القيمة 1 على أول n عدد نسبي و 0 فيما عدا ذلك. ثم${\displaystyle f}$دالة ديريشليه على${\displaystyle [0,1]}$، وهو ليس قابلاً للتكامل وفقًا لريمان ولكنه قابل للتكامل وفقًا لليبيغ.

ملاحظة 5: يمكن إعادة صياغة الصيغة الأقوى لنظرية التقارب المسيطر على النحو التالي: إذا كانت متتالية من الدوال المركبة القابلة للقياس${\displaystyle f_{n}}$تتقارب تقريبًا في كل مكان نقطيًا إلى دالة${\displaystyle f}$وفي كل مكان تقريبًا تكون القيمة المطلقة محدودة بدالة قابلة للتكامل.${\displaystyle f_{n}\to f}$في فضاء باناش${\displaystyle L_{1}(S,\mu )}$

دون فقدان للعمومية ، يمكن للمرء أن يفترض أن f حقيقي، لأنه يمكن للمرء أن يقسم f إلى أجزائه الحقيقية والتخيلية (تذكر أن سلسلة الأعداد المركبة تتقارب إذا وفقط إذا تقاربت نظائرها الحقيقية والتخيلية) وتطبيق متباينة المثلث في النهاية.

تُعدّ نظرية التقارب المُهيمن لليبيغ حالة خاصة من نظرية فاتو-ليبيغ . ومع ذلك، فيما يلي برهان مباشر يستخدم ليمّة فاتو كأداة أساسية.

بما أن f هي النهاية النقطية للمتتالية ( fⁿ ₎ من الدوال القابلة للقياس التي تهيمن عليها g ، فهي أيضًا قابلة للقياس ومهيمنة عليها g ، وبالتالي فهي قابلة للتكامل. علاوة على ذلك (سنحتاج إلى هذه لاحقًا)،

${\displaystyle |f-f_{n}|\leq |f|+|f_{n}|\leq 2g}$

لكل n و

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|=0}$

أين${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$هل الحد الأعلى هو الأفضل ؟

أما الثانية من هذه العبارات فهي صحيحة بشكل بديهي (بحسب تعريف f نفسه ). باستخدام خطية ورتابة تكامل لوبيغ ،

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.}$

باستخدام ليمّة فاتو العكسية (وهنا نستخدم حقيقة أن | f − f _n | محدودة من الأعلى بواسطة دالة قابلة للتكامل)

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

وهذا يعني أن النهاية موجودة وتتلاشى، أي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

وأخيراً، بما أن

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

لدينا ذلك

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

والنتيجة هي النظرية.

إذا تحققت الافتراضات في كل مكان تقريبًا من النوع μ ، فإنه يوجد مجموعة μ-صفرية N ∈ Σ بحيث تحقق الدوال f_{_n} 1 _{S \ N} الافتراضات في كل مكان على S. عندئذٍ، تكون الدالة f ( x ) المعرفة على أنها النهاية النقطية لـ f _{_n} ( x ) لـ x ∈ S \ N ، و f ( x ) = 0 لـ x ∈ N ، قابلة للقياس، وهي النهاية النقطية لمتتالية الدوال المعدلة هذه. لا تتأثر قيم هذه التكاملات بهذه التغييرات التي تطرأ على الدوال المراد تكاملها على مجموعة μ-صفرية N ، وبالتالي تبقى النظرية صحيحة.  

يتحقق تحويل جيب التمام المنفصل حتى لو تقاربت f _n إلى f في القياس (قياس محدود) وكانت الدالة المهيمنة غير سالبة في كل مكان تقريبًا.

لا يمكن الاستغناء عن افتراض أن المتتالية تهيمن عليها دالة قابلة للتكامل g . ويمكن توضيح ذلك كما يلي: نُعرّف f _{_n} ( x ) = n لـ x في الفترة (0, 1/ n ] و f _{_n} ( x ) = 0 فيما عدا ذلك. أي دالة g تهيمن على المتتالية يجب أن تهيمن أيضًا على القيمة العليا النقطية h = sup_{_n}f_n . لاحظ أن

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

بسبب تباعد المتسلسلة التوافقية . ومن ثم، فإن رتابة تكامل لوبيغ تدل على عدم وجود دالة قابلة للتكامل تهيمن على المتتالية على الفترة [0,1]. ويُظهر حساب مباشر أن التكامل والنهاية النقطية لا يتبادلان لهذه المتتالية.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

لأن النهاية النقطية للمتتالية هي الدالة الصفرية . لاحظ أن المتتالية ( f _n ) ليست قابلة للتكامل بانتظام ، وبالتالي فإن نظرية فيتالي للتقارب غير قابلة للتطبيق.

إحدى نتائج نظرية التقارب المسيطر هي نظرية التقارب المحدود ، والتي تنص على أنه إذا كانت ( f _{_n} ) متتالية من الدوال القابلة للقياس ذات القيم المركبة والمحدودة بشكل منتظم والتي تتقارب نقطيًا على فضاء قياس محدود ( S ، Σ، μ) (أي فضاء تكون فيه μ( S ) محدودة) إلى دالة f ، فإن النهاية f هي دالة قابلة للتكامل.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.}$

ملاحظة: يمكن تخفيف التقارب النقطي والحدود المنتظمة للمتتالية بحيث تنطبق فقط على μ- تقريبًا في كل مكان ، بشرط أن تكون مساحة القياس ( S ، Σ، μ) كاملة أو يتم اختيار f كدالة قابلة للقياس تتفق تقريبًا في كل مكان مع الحد النقطي الموجود تقريبًا في كل مكان.

يترك${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$كن مساحة قياس ،${\displaystyle 1\leq p<\infty }$عدد حقيقي و${\displaystyle (f_{n})}$سلسلة من${\displaystyle {\mathcal {A}}}$- وظائف قابلة للقياس${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$.

افترض التسلسل${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب${\displaystyle \mu }$-في كل مكان تقريبًا إلى${\displaystyle {\mathcal {A}}}$- دالة قابلة للقياس${\displaystyle f}$وتهيمن عليها${\displaystyle g\in L^{p}}$(انظر فضاء Lp )، أي لكل عدد طبيعي${\displaystyle n}$لدينا:${\displaystyle |f_{n}|\leq g}$، μ- في كل مكان تقريبًا.

ثم الجميع${\displaystyle f_{n}}$إلى جانب${\displaystyle f}$في${\displaystyle L^{p}}$والتسلسل${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$بمعنى​${\displaystyle L^{p}}$، أي:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

فكرة البرهان: تطبيق النظرية الأصلية على متتالية الدوال${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$مع الوظيفة المهيمنة${\displaystyle (2g)^{p}}$.

تنطبق نظرية التقارب المسيطر أيضًا على الدوال القابلة للقياس ذات القيم في فضاء باناخ ، مع بقاء الدالة المسيطرة غير سالبة وقابلة للتكامل كما سبق. ويمكن تخفيف افتراض التقارب في كل مكان تقريبًا ليقتصر على اشتراط التقارب في القياس فقط .

تنطبق نظرية التقارب المسيطر أيضًا على التوقعات الشرطية. ^{[ 2 ]}

• تقارب المتغيرات العشوائية ، التقارب في المتوسط
• نظرية التقارب الرتيب (لا تتطلب سيطرة دالة قابلة للتكامل ولكنها تفترض رتابة المتتالية بدلاً من ذلك)
• معضلة شيفيه
• قابلية التكامل الموحدة
• نظرية فيتالي للتقارب (تعميم لنظرية لوبيغ للتقارب المسيطر)

• بارتل، آر جي (1995). عناصر التكامل ومقياس لوبيغ . وايلي إنترساينس. ISBN 9780471042228.
• رويدن، إتش إل (1988). التحليل الحقيقي . برنتيس هول. رقم ISBN 9780024041517.
• وير، آلان ج. (1973). "نظريات التقارب". تكامل لوبيغ والقياس . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 93-118 . ISBN  0-521-08728-7.
• ويليامز، د. (1991). الاحتمالات مع المارتينجالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-40605-6.
• زيتكوفيتش، جوردان (خريف 2013). "المحاضرة 10: التوقع الشرطي" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 ديسمبر 2020 .