دالة سينك

في الرياضيات والفيزياء والهندسة ، تُعرَّف دالة sinc ( تُلفظ / ˈsɪŋk / SINK ) ، ويرمز لها بـ sinc( x ) ، على النحو التالي :$${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}$$ أو $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$$

يُشار إلى الأخير أحيانًا باسم دالة sinc المعيارية . والفرق الوحيد بين التعريفين هو تغيير مقياس المتغير المستقل ( محور السينات ) بمعامل π . في كلتا الحالتين، تُفهم قيمة الدالة عند نقطة التفرد القابلة للإزالة عند الصفر على أنها القيمة الحدية 1. وبالتالي، تكون دالة sinc تحليلية في كل مكان، ومن ثم فهي دالة كاملة .

دالة sinc المعيارية هي تحويل فورييه للدالة المستطيلة بدون تغيير في المقياس. تُستخدم في مفهوم إعادة بناء إشارة متصلة محدودة النطاق من عينات متباعدة بانتظام لتلك الإشارة. يُستخدم مرشح sinc في معالجة الإشارات.

تم اشتقاق الدالة نفسها رياضياً لأول مرة بهذا الشكل من قبل اللورد رايلي في تعبيره ( صيغة رايلي ) لدالة بيسل الكروية من الرتبة الصفرية من النوع الأول.

تُسمى دالة sinc أيضًا دالة الجيب الأساسية .

للدالة sinc شكلان، شكل معياري وشكل غير معياري. ^{[ 1 ]}

في الرياضيات، تُعرَّف دالة sinc غير المعيارية التاريخية لـ x ≠ 0 كما يلي: $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}$$

بدلاً من ذلك، تُسمى دالة sinc غير المعيارية غالبًا بدالة أخذ العينات ، ويُشار إليها بـ Sa( x ). ^{[ 2 ]}

في معالجة الإشارات الرقمية ونظرية المعلومات ، تُعرَّف دالة sinc المعيارية عادةً لـ x ≠ 0 بواسطة $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$$

في كلتا الحالتين، تُعرَّف القيمة عند x = 0 بأنها القيمة الحدية. $${\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$$لجميع الأعداد الحقيقية a ≠ 0 (يمكن إثبات النهاية باستخدام نظرية الضغط ).

يؤدي التوحيد إلى أن يصبح التكامل المحدد للدالة على الأعداد الحقيقية مساوياً لـ 1 (بينما يكون التكامل نفسه لدالة sinc غير الموحدة مساوياً لـ π ). ومن الخصائص المفيدة الأخرى، أن أصفار دالة sinc الموحدة هي القيم الصحيحة غير الصفرية لـ x .

تُعرف هذه الدالة أيضًا باسم دالة الجيب الأساسية أو دالة الجيب الأساسية . ^{[ 3 ] [ 4 ]} مصطلح "sinc" هو اختصار للاسم اللاتيني الكامل للدالة، sinus cardinalis ^{[ 5 ]} ، وقد قدمه فيليب م. وودوارد وآي إل ديفيز في مقالتهما عام 1952 بعنوان "نظرية المعلومات والاحتمال العكسي في الاتصالات السلكية واللاسلكية"، حيث قالا: "تظهر هذه الدالة بكثرة في تحليل فورييه وتطبيقاته، ما يجعلها تستحق رمزًا خاصًا بها". ^{[ 6 ]} كما استُخدمت في كتاب وودوارد الصادر عام 1953 بعنوان "الاحتمال ونظرية المعلومات، مع تطبيقات على الرادار" . ^{[ 5 ] [ 7 ]} 

تقع نقاط عبور الصفر لدالة sinc غير المعيارية عند مضاعفات صحيحة غير صفرية لـ π ، بينما تحدث نقاط عبور الصفر لدالة sinc المعيارية عند أعداد صحيحة غير صفرية.

تُقابل القيم القصوى المحلية لدالة sinc غير المُعَيَّرة نقاط تقاطعها مع دالة جيب التمام . أي أن sin ( ξ ) / ξ = cos( ξ ) لجميع النقاط ξ التي تكون عندها مشتقة sin ( x ) / x تساوي صفرًا، وبالتالي يتم الوصول إلى قيمة قصوى محلية. وينتج هذا من مشتقة دالة sinc. $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\begin{cases}{\dfrac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}.}$$

الحدود القليلة الأولى من المتسلسلة اللانهائية لإحداثي x للقيمة القصوى رقم n ذات إحداثي x موجب هي$${\displaystyle x_{n}=qq^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$$ أين $${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$$ حيث يؤدي العدد الفردي لـ n إلى قيمة صغرى محلية، بينما يؤدي العدد الزوجي لـ n إلى قيمة عظمى محلية. وبسبب التناظر حول المحور y ، توجد قيم قصوى عند إحداثيات x − x _n . بالإضافة إلى ذلك، توجد قيمة عظمى مطلقة عند ξ ₀ = (0, 1) .

دالة sinc المعيارية لها تمثيل بسيط كحاصل ضرب لانهائي : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$$

وهي مرتبطة بدالة جاما Γ( x ) ، وكذلك بدالة باي لغوس ، من خلال صيغة انعكاس أويلر : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{\Pi (x)\Pi (-x)}}.}$$

اكتشف أويلر ^{[ 8 ]} أن $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$$ وبسبب خاصية تحويل الضرب إلى مجموع ^{[ 9 ]}

$$\begin{displaystyle \prod_{n=1}^{k}\cos\left(\frac{x}{2^{n}}}\right)=\frac{1}{2^{k-1}}}\sum_{n=1}^{2^{k-1}}\cos\left(\frac{n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$$ يمكن إعادة صياغة حاصل ضرب أويلر كمجموع $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$$

التحويل المستمر لفورييه للدالة sinc المعيارية (إلى التردد العادي) هو rect ( f ) : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$$ حيث تكون دالة المستطيلة مساويةً لـ 1 عندما يكون الوسيط بين -1/2 و 1/2 ، وصفرًا فيما عدا ذلك . وهذا يتوافق مع حقيقة أن مرشح sinc هو مرشح تمرير منخفض مثالي ( ذو استجابة ترددية مستطيلة ) .

هذا التكامل الفورييه، بما في ذلك الحالة الخاصة $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$$ هو تكامل غير محدود (انظر تكامل ديريشليه ) وليس تكامل ليبيغ متقاربًا ، كما $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$$

تتمتع دالة sinc المعيارية بخصائص تجعلها مثالية فيما يتعلق باستيفاء الدوال ذات النطاق الترددي المحدود التي تم أخذ عينات منها :

• إنها دالة استيفاء، أي sinc(0) = 1 ، و sinc( k ) = 0 لعدد صحيح غير صفري k .
• تشكل الدوال x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k عدد صحيح) أساسًا متعامدًا للدوال محدودة النطاق في فضاء الدوال L ² ( R ) ، مع أعلى تردد زاوي ω _H = π (أي أعلى تردد دورة f _H = 1 / 2 ) .

تشمل الخصائص الأخرى لدالتي sinc ما يلي:

• دالة sinc غير المعيارية هي دالة بيسل الكروية من النوع الأول من الرتبة الصفرية، j ₀ ( x ) . أما دالة sinc المعيارية فهي j ₀ (π x ) .
• حيث Si( x ) هو التكامل الجيبي ،$${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$
• λ sinc( λx ) (غير مُعَيَّر) هو أحد حلين مستقلين خطيًا للمعادلة التفاضلية الخطية العادية$${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$أما الآخر فهو ⁠ cos( λx ) / x ⁠ ، وهو غير محدود عند x = 0 ، على عكس نظيره من دالة sinc.
• باستخدام دالة sinc المعيارية،$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• يتضمن التكامل غير المحدد التالي دالة sinc (غير المعيارية):$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$$

يمكن استخدام دالة sinc المعيارية كدالة دلتا ناشئة ، مما يعني أن النهاية الضعيفة التالية صحيحة:

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$$

هذه ليست نهاية عادية، لأن الطرف الأيسر لا يتقارب. بل تعني أن

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$$

لكل دالة شوارتز ، كما يتضح من نظرية انعكاس فورييه . في التعبير أعلاه، عندما يقترب a من الصفر ، يقترب عدد التذبذبات لكل وحدة طول لدالة sinc من اللانهاية. ومع ذلك، يتذبذب التعبير دائمًا داخل غلاف ± 1 / π x ، بغض النظر عن قيمة a .

يُعقّد هذا الأمر الصورة غير الرسمية لدالة دلتا ( δ ( x )) باعتبارها تساوي صفرًا لجميع قيم x باستثناء النقطة x = 0 ، ويُبيّن مشكلة اعتبار دالة دلتا دالةً مستقلةً بدلًا من كونها توزيعًا. ويُلاحظ وضعٌ مشابهٌ في ظاهرة جيبس .

يمكننا أيضًا إجراء اتصال مباشر مع تمثيل ديراك القياسي لـ${\displaystyle \delta (x)}$عن طريق الكتابة${\displaystyle b=1/a}$و

$${\displaystyle \lim _{b\to \infty }{\frac {\sin \left(b\pi x\right)}{\pi x}}=\lim _{b\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-b\pi }^{b\pi }e^{ikx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk=\delta (x),}$$

مما يوضح استعادة دلتا كحد لانهائي لعرض النطاق الترددي للتكامل.

جميع المجاميع في هذا القسم تشير إلى دالة sinc غير المعيارية.

مجموع دالة sinc( n ) على عدد صحيح n من 1 إلى ∞ يساوي π − 1 / 2 :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

مجموع المربعات يساوي ^أيضًا π − 1 / 2 : ^{[ 10 ]} [ ^{11 ]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

عندما تتبادل إشارات الأعداد المضافة وتبدأ بعلامة +، فإن المجموع يساوي 1 / 2 :$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

مجموع المربعات والمكعبات بالتناوب ^{يساوي أيضًا} 1 / 2 : [ ¹² ]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

يمكن الحصول على متسلسلة تايلور لدالة sinc غير المعيارية من متسلسلة تايلور لدالة الجيب (والتي تعطي أيضًا قيمتها 1 عند x = 0 ): $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

تتقارب المتسلسلة لجميع قيم x . ويمكن استنتاج الصيغة المعيارية بسهولة: $${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

وقد قارن أويلر هذه السلسلة بشكل مشهور بتوسيع شكل المنتج اللانهائي لحل مشكلة بازل .

يُتيح ضرب دوال sinc أحادية البُعد الحصول بسهولة على دالة sinc متعددة المتغيرات للشبكة المربعة الديكارتية : sinc _C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) ، حيث يُمثل تحويل فورييه الخاص بها دالة مؤشر للمربع في فضاء التردد (أي، الجدار المُعرّف في الفضاء ثنائي الأبعاد). أما دالة sinc للشبكة غير الديكارتية ( مثل الشبكة السداسية ) فهي دالة يُمثل تحويل فورييه الخاص بها دالة مؤشر لمنطقة بريلوين لتلك الشبكة. على سبيل المثال، دالة sinc للشبكة السداسية هي دالة يُمثل تحويل فورييه الخاص بها دالة مؤشر للسداسي الواحد في فضاء التردد. بالنسبة للشبكة غير الديكارتية، لا يُمكن الحصول على هذه الدالة باستخدام ضرب موتر بسيط . ومع ذلك، يمكن اشتقاق الصيغة الصريحة لدالة sinc للشبكات السداسية ، والمكعبة ذات المركز الجسمي ، والمكعبة ذات المركز الوجهي، وغيرها من الشبكات ذات الأبعاد الأعلى بشكل صريح ^{[ 13 ]} باستخدام الخصائص الهندسية لمناطق بريلوين وارتباطها بالزونوتوبس .

على سبيل المثال، يمكن توليد شبكة سداسية من خلال الامتداد الخطي (الصحيح) للمتجهات $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$$

يدل على $${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$ يمكن اشتقاق دالة sinc لهذه الشبكة السداسية ^{[ 13 ] على النحو التالي}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام هذا البناء لتصميم نافذة لانكزوس للشبكات متعددة الأبعاد العامة. ^{[ 13 ]}

يقوم بعض المؤلفين، على سبيل القياس، بتعريف الدالة الأصلية للجيب الزائدي . ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle \mathrm {sinhc} (x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {\sinh(x)}{x}},}&{\text{if }}x\neq 0\\{\displaystyle 1,}&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

• مرشح مضاد للتشويش – تحويل رياضي يقلل الضرر الناتج عن التشويش 
• تكامل بورفين – نوع من التكاملات الرياضية 
• تكامل ديريشليه – تكامل sin(x)/x من 0 إلى ما لا نهاية 
• إعادة التشكيل لانكزوس - تقنية في معالجة الإشارات 
• قائمة الدوال الرياضية
• موجة شانون
• مرشح سينك – مرشح تمرير منخفض مثالي أو مرشح متوسط 
• الطرق العددية
• الدوال المثلثية للمصفوفات – دوال مهمة في حل المعادلات التفاضلية 
• التكامل المثلثي – دالة خاصة تُعرَّف بواسطة تكامل 
• صيغة ويتاكر-شانون للاستيفاء – خوارزمية (إعادة) بناء الإشارة 
• إسقاط وينكل الثلاثي – إسقاط الخرائط التوافقي شبه السمتي (علم الخرائط) 

• ستينجر، فرانك (1993). الطرق العددية القائمة على دالة الجيب والدوال التحليلية . سلسلة سبرينغر في الرياضيات الحاسوبية. المجلد  20. سبرينغر-فيرلاغ نيويورك، المحدودة. doi : 10.1007/978-1-4612-2706-9 . ISBN 9781461276371.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة سينك" . عالم الرياضيات .