نظرية تحليل العوامل لـ Weierstrass

في الرياضيات ، وتحديدًا في مجال التحليل المركب ، تنص نظرية فايرشتراس للتحليل إلى عوامل على أن كل دالة كاملة يمكن تمثيلها كحاصل ضرب (قد يكون لانهائيًا) يتضمن أصفارها . ويمكن اعتبار هذه النظرية امتدادًا للنظرية الأساسية في الجبر ، التي تنص على أن كل متعددة حدود يمكن تحليلها إلى عوامل خطية، عامل لكل جذر.

إن النظرية، التي سميت على اسم كارل فايرشتراس ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنتيجة ثانية مفادها أن كل متتالية تتجه إلى اللانهاية لها دالة كاملة مرتبطة بها مع أصفار عند نقاط تلك المتتالية تحديدًا.

إن تعميم النظرية يوسعها لتشمل الدوال الميرومورفية ويسمح للمرء بالنظر إلى دالة ميرومورفية معينة على أنها ناتج ثلاثة عوامل: حدود تعتمد على أصفار وأقطاب الدالة، ودالة هولومورفية غير صفرية مرتبطة بها .

من الواضح أن أي مجموعة منتهية${\displaystyle \{c_{n}\}}$لكل نقطة في المستوى المركب متعددة حدود مرتبطة بها${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$والتي تقع أصفارها تحديدًا عند نقاط تلك المجموعة. والعكس هو نتيجة لنظرية الجبر الأساسية : أي دالة متعددة الحدود${\displaystyle p(z)}$في المستوى المركب له تحليل${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ حيث a ثابت غير صفري و${\displaystyle \{c_{n}\}}$هي مجموعة أصفار${\displaystyle p(z)}$[ ^{1 ]​}

يمكن اعتبار شكلي نظرية تحليل فايرشتراس بمثابة امتداد لما سبق ليشمل الدوال الكاملة. وتتضح ضرورة وجود حدود إضافية في حاصل الضرب عند النظر في${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$حيث التسلسل${\displaystyle \{c_{n}\}}$ليست مجموعة منتهية . لا يمكنها أبدًا تعريف دالة كاملة، لأن حاصل الضرب اللانهائي لا يتقارب. وبالتالي، لا يمكن، بشكل عام، تعريف دالة كاملة من سلسلة من الأصفار المحددة، أو تمثيل دالة كاملة بأصفارها باستخدام التعبيرات الناتجة عن النظرية الأساسية للجبر. بدلًا من ذلك، تستبدل النظرية هذه الأصفار بعوامل أخرى.

الشرط الضروري لتقارب الجداء اللانهائي المذكور هو أنه لكل${\displaystyle z}$العوامل التي تحل محل${\displaystyle (z-c_{n})}$يجب أن يقترب من 1 عندما${\displaystyle n\to \infty }$لذا، من المنطقي البحث عن دوال عاملية يمكن أن تساوي صفرًا عند نقطة محددة، وتبقى قريبة من الواحد عند نقاط أخرى، ولا تُدخل أصفارًا أكثر من تلك المحددة. تتمتع عوامل فايرشتراس الأولية بهذه الخصائص، وتؤدي الغرض نفسه الذي تؤديه العوامل.${\displaystyle (z-c_{n})}$فوق.

لننظر في الدوال من الشكل${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$ل${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. في${\displaystyle z=0}$، يقومون بتقييمها${\displaystyle 1}$ويكون له ميل مسطح عند الطلب حتى${\displaystyle n}$مباشرة بعد ذلك${\displaystyle z=1}$، فإنها تهبط بشكل حاد إلى قيمة موجبة صغيرة. في المقابل، انظر إلى الدالة${\displaystyle 1-z}$الذي لا يحتوي على منحدر مسطح، ولكن عند${\displaystyle z=1}$، تُقيّم إلى الصفر تمامًا. لاحظ أيضًا أنه بالنسبة لـ | z | < 1 ،

${\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).}$

العوامل الأولية ، ^{[ 2 ]} والتي يشار إليها أيضًا بالعوامل الأساسية ، ^{[ 3 ]} هي دوال تجمع بين خصائص الميل الصفري والقيمة الصفرية (انظر الرسم البياني):

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{إذا كان }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$

لـ | z | < 1 و${\displaystyle n>0}$ويمكن التعبير عنها على النحو التالي: ${\textstyle \displaystyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$ويمكن للمرء أن يقرأ كيف يتم تطبيق هذه الخصائص.

فائدة العوامل الأولية${\textstyle E_{n}(z)}$يكمن في اللمة التالية: ^{[ 2 ]}

اللمة (15.8، رودين) لـ | z | ≤ 1 ،${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.}$

لتكن ƒ دالة كاملة، ولتكن${\displaystyle \{a_{n}\}}$لتكن z هي الأصفار غير الصفرية للدالة ƒ مكررة وفقًا للتعددية؛ ولنفترض أيضًا أن للدالة ƒ صفرًا عند z = 0 من الرتبة m ≥ 0. [ ^{أ ] عندئذٍ} توجد دالة كاملة g ومتتالية من الأعداد الصحيحة.${\displaystyle \{p_{n}\}}$بحيث

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}$^{[ 4 ]}

تم تضمين الحالة التي حددتها النظرية الأساسية للجبر هنا. إذا كانت المتتالية${\displaystyle \{a_{n}\}}$إذا كانت محدودة، فيمكننا أن نأخذ${\displaystyle p_{n}=0}$،${\displaystyle m=0}$و${\displaystyle e^{g(z)}=c}$للحصول على${\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}$.

تظهر حالة خاصة من نظرية تحليل فايرشتراس للدوال الكاملة ذات الرتبة المحدودة . في هذه الحالة${\displaystyle p_{n}}$يمكن تناولها بشكل مستقل عن${\displaystyle n}$والوظيفة${\displaystyle g(z)}$هي كثيرة حدود. وبالتالي $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$أين${\displaystyle a_{k}}$تلك هي جذور${\displaystyle f}$التي لا تساوي صفرًا (${\displaystyle a_{k}\neq 0}$)${\displaystyle m}$هو رتبة الصفر لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle z=0}$(الحالة)${\displaystyle m=0}$يُفهم على أنه يعني${\displaystyle f(0)\neq 0}$)${\displaystyle P}$متعددة الحدود (التي سنسمي درجتها${\displaystyle q}$)، و${\displaystyle p}$هو أصغر عدد صحيح غير سالب بحيث تكون المتسلسلة$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$يتقارب. يُطلق على هذا اسم التمثيل الكنسي لهادامارد. [ ^{4 ] العدد} الصحيح غير السالب${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$يُطلق عليه اسم جنس الوظيفة بأكملها${\displaystyle f}$الطلب${\displaystyle \rho }$ل${\displaystyle f}$يرضي$${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$ بمعنى آخر: إذا كان الطلب${\displaystyle \rho }$إذا لم يكن عددًا صحيحًا،${\displaystyle g=[\rho ]}$هو الجزء الصحيح من${\displaystyle \rho }$إذا كان الترتيب عددًا صحيحًا موجبًا، فهناك احتمالان:${\displaystyle g=\rho -1}$أو${\displaystyle g=\rho }$.

على سبيل المثال،${\displaystyle \sin }$،${\displaystyle \cos }$و${\displaystyle \exp }$هي وظائف كاملة للجنس${\displaystyle g=\rho =1}$.

• نظرية ميتاج-ليفلر
• جداء واليس ، الذي يمكن اشتقاقه من هذه النظرية المطبقة على دالة الجيب
• منتج بلاشكي

• "نظرية فايرشتراس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

• تصور لتحليل وييرشتراس لدالة الجيب من قبل أويلر في آلة Wayback (تمت أرشفته في 30 نوفمبر 2018)