صيغة براهماجوبتا

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الإقليدية ، تُستخدم صيغة براهمغوبتا ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الهندي الذي عاش في القرن السابع الميلادي ، لحساب مساحة أي شكل رباعي محدب دائري (أي شكل يمكن رسمه داخل دائرة) بمعرفة أطوال أضلاعه. ويمكن استخدام صيغة بريتشنايدر ، وهي الصيغة العامة لهذه الصيغة ، مع الأشكال الرباعية غير الدائرية. أما صيغة هيرون، فيمكن اعتبارها حالة خاصة من صيغة براهمغوبتا للمثلثات.

التركيبة

تُعطي صيغة براهماغوبتا مساحة K لشكل رباعي محدب دائري أطوال أضلاعه a و b و c و d على النحو التالي:

ك=(s-أ)(s-ب)(s-ج)(s-د){\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}

حيث يُعرَّف s ، وهو نصف المحيط ، على أنه

s=أ+ب+ج+د2.{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}

تُعمّم هذه الصيغة صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث . يُمكن اعتبار المثلث شكلاً رباعياً طول أحد أضلاعه صفر. من هذا المنظور، عندما يقترب طول الضلع (أو أي ضلع) من الصفر، يتقارب الشكل الرباعي الدائري إلى مثلث دائري (جميع المثلثات دائرية)، وتُختزل صيغة براهمغوبتا إلى صيغة هيرون.

إذا لم يُستخدم نصف المحيط، فإن صيغة براهمغوبتا هي

ك=14(-أ+ب+ج+د)(أ-ب+ج+د)(أ+ب-ج+د)(أ+ب+ج-د).{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+cd)}}.}

وهناك نسخة مكافئة أخرى هي

ك=(أ2+ب2+ج2+د2)2+8أبجد-2(أ4+ب4+ج4+د4)4⋅{\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }

دليل

رسم توضيحي للرجوع إليه

برهان مثلثي

هنا تُستخدم الرموز الموضحة في الشكل على اليمين. مساحة الشكل الرباعي الدائري المحدب K تساوي مجموع مساحتي المثلثين △ ADB و △ BDC :

ك=12صqالخطيئة⁡أ+12رsالخطيئة⁡ج.{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}

لكن بما أن الشكل الرباعي ABCD دائري، فإن ∠DAB = 180° − ∠DCB . ومن ثم فإن sin A = sin C. لذلك،

ك=12صqالخطيئة⁡أ+12رsالخطيئة⁡أ{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
ك2=14(صq+رs)2الخطيئة2⁡أ{\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}
4ك2=(صq+رs)2(1-كوس2⁡أ)=(صq+رs)2-((صq+رs)كوس⁡أ)2{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-((pq+rs)\cos A)^{2}}

(باستخدام  المتطابقة المثلثية ).

بحل الضلع المشترك DB في المثلثين ADB و BDC ، يعطي قانون جيب التمام

ص2+q2-2صqكوس⁡أ=ر2+s2-2رsكوس⁡ج.{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.}

بالتعويض عن cos C = −cos A (لأن الزاويتين A و C متكاملتان ) وإعادة الترتيب ، نحصل على

(صq+رs)كوس⁡أ=12(ص2+q2-ر2-s2).{\displaystyle (pq+rs)\cos A={\frac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}).}

وبإدخال هذا في معادلة المساحة،

4ك2=(صq+رs)2-14(ص2+q2-ر2-s2)2{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
16ك2=4(صq+رs)2-(ص2+q2-ر2-s2)2.{\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}

الطرف الأيمن على الصورة a² - b² = ( a - b )( a + b ) ، وبالتالي يمكن كتابته على النحو التالي :

[2(صq+رs))-ص2-q2+ر2+s2][2(صq+رs)+ص2+q2-ر2-s2]{\displaystyle [2(pq+rs))-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]}

والذي، عند إعادة ترتيب الحدود الموجودة بين القوسين المربعين، ينتج عنه

16ك2=[(ر+s)2-(ص-q)2][(ص+q)2-(ر-s)2]{\displaystyle 16K^{2}=[(r+s)^{2}-(pq)^{2}][(p+q)^{2}-(rs)^{2}]}

يمكن أخذ ذلك في الاعتبار مرة أخرى

16ك2=(q+ر+s-ص)(ص+ر+s-q)(ص+q+s-ر)(ص+q+ر-s).{\displaystyle 16K^{2}=(q+r+sp)(p+r+sq)(p+q+sr)(p+q+rs).}

بإدخال نصف المحيط S = ⁠ p + q + r + s / 2 ⁠ ينتج ما يلي:

16ك2=16(S-ص)(S-q)(S-ر)(S-s).{\displaystyle 16K^{2}=16(Sp)(Sq)(Sr)(Ss).}

بأخذ الجذر التربيعي ، نحصل على

ك=(S-ص)(S-q)(S-ر)(S-s).{\displaystyle K={\sqrt {(Sp)(Sq)(Sr)(Ss)}}.}

برهان غير مثلثي

يستخدم برهان بديل غير مثلثي تطبيقين لصيغة هيرون لحساب مساحة المثلث على المثلثات المتشابهة . [ 1 ]

امتداد إلى الأشكال الرباعية غير الدورية

في حالة الأشكال الرباعية غير الدائرية، يمكن توسيع صيغة براهمغوبتا من خلال النظر في قياسات زاويتين متقابلتين من الشكل الرباعي:

ك=(s-أ)(s-ب)(s-ج)(s-د)-أبجدكوس2⁡θ{\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cos ^{2}\theta }}}

حيث θ هي نصف مجموع أي زاويتين متقابلتين. (لا يهم اختيار أي زوج من الزوايا المتقابلة: إذا أُخذت الزاويتان الأخريان، فإن نصف مجموعهما يساوي 180 ° − θ . وبما أن cos(180° − θ ) = −cos θ ، فإن cos² (180° − θ ) = cos²θ ) . تُعرف هذه الصيغة العامة بصيغة بريتشنايدر .

من خصائص الأشكال الرباعية الدائرية (وبالتالي الزوايا المحيطية ) أن مجموع الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي يساوي 180 درجة. وبالتالي، في حالة الشكل الرباعي المحيطي، تكون θ تساوي 90 درجة، ومن هنا جاء المصطلح

أبجدكوس2⁡θ=أبجدكوس2⁡(90∘)=أبجد⋅0=0،{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,}

يُعطي هذا الشكل الأساسي لصيغة براهمغوبتا. ويترتب على المعادلة الأخيرة أن مساحة الشكل الرباعي الدائري هي أكبر مساحة ممكنة لأي شكل رباعي بأطوال أضلاع مُعطاة.

وهناك صيغة مشابهة، أثبتها كوليدج ، تعطي أيضًا مساحة شكل رباعي محدب عام. وهي [ 2 ]

ك=(s-أ)(s-ب)(s-ج)(s-د)-14(أج+بد+صq)(أج+بد-صq){\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}

حيث يمثل p و q طولي قطري الشكل الرباعي. في الشكل الرباعي الدائري ، يكون pq = ac + bd وفقًا لنظرية بطليموس ، وتُختزل صيغة كوليدج إلى صيغة براهماجوبتا.

  • صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث هي الحالة الخاصة التي يتم الحصول عليها بأخذ d = 0 .
  • إن العلاقة بين الشكل العام والشكل الموسع لصيغة براهماجوبتا تشبه كيفية توسيع قانون جيب التمام لنظرية فيثاغورس .
  • توجد صيغ مغلقة أكثر تعقيدًا لحساب مساحة المضلعات العامة على الدوائر، كما وصفها مالي وآخرون [ 3 ] .

مراجع

تتضمن هذه المقالة مواد من برهان صيغة براهمغوبتا على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

  1. ↑ هيس، ألبريشت، "طريق سريع من هيرون إلى براهمغوبتا"، منتدى الهندسة 12 (2012)، 191-192.
  2. ↑ جيه إل كوليدج، "صيغة مثيرة للاهتمام تاريخيًا لمساحة الشكل الرباعي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 46 (1939) ص 345-347.
  3. ↑ مالي، ف. ميلر؛ روبنز، ديفيد ب.؛ روسكيز، جولي (2005). "حول مساحات المضلعات الدائرية وشبه الدائرية". التقدم في الرياضيات التطبيقية . 34 (4): 669-689 . arXiv : math/0407300 . doi : 10.1016/j.aam.2004.09.008 . S2CID 119565975 .