نظرية براون للتمثيل

في الرياضيات، تعطي نظرية براون للتمثيل في نظرية التماثل ^{[ 1 ]} شروطًا ضرورية وكافية لكي يكون المؤثر المتغير F على فئة التماثل Hotc للمركبات المتصلة CW المدببة ، إلى فئة المجموعات Set ، مؤثرًا قابلاً للتمثيل .

وبشكل أكثر تحديدًا، تم إعطاؤنا

F : Hotc ^op → Set ,

وهناك شروط ضرورية واضحة لكي يكون F من النوع Hom ( — , C )، حيث C عبارة عن مُركّب CW متصل مُؤشّر، ويمكن استنتاج هذه الشروط من نظرية الفئات وحدها. ينصّ الجزء الجوهري من النظرية على أن هذه الشروط الضرورية كافية. ولأسباب تقنية، تُصاغ النظرية غالبًا للدوال التي تُشير إلى فئة المجموعات المُؤشّرة ؛ أي أن المجموعات تُعطى أيضًا نقطة أساسية.

يعود الفضل في هذه النظرية إلى إدغار إتش براون الذي نشرها في عام 1962. ^{[ 2 ]}

لنفترض أن:

1. الدالة F: Hotc ^op → Set تربط المنتجات المشتركة (أي مجاميع الأوتاد ) في Hotc بالمنتجات في Set :${\displaystyle F(\vee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \prod _{\alpha }F(X_{\alpha }),}$
2. تقوم الدالة F بتحويل عمليات الدفع المتماثلة في Hotc إلى عمليات سحب ضعيفة . وغالبًا ما يُصاغ هذا على أنه بديهية ماير-فيتوريس : لأي مركب CW W مغطى بمركبين فرعيين U و V ، وأي عنصرين u ∈ F ( U )، v ∈ F ( V ) بحيث يقتصر u و v على نفس العنصر من F ( U ∩ V )، يوجد عنصر w ∈ F ( W ) يقتصر على u و v ، على التوالي.

إذن ، يمكن تمثيل F بواسطة مركب CW ما ، أي أن هناك تماثلًا.

و ( ض ) ≅ هوم _هوتك ( ض ، ج )

لأي مركب CW Z ، وهو أمر طبيعي في Z بمعنى أنه بالنسبة لأي تشاكل من Z إلى مركب CW آخر Y ، فإن الخرائط المستحثة F ( Y ) → F ( Z ) و Hom _Hot ( Y , C ) → Hom _Hot ( Z , C ) متوافقة مع هذه التشاكلات.

وينطبق العكس أيضاً: أي دالة ممثلة بمركب CW تحقق الخاصيتين المذكورتين أعلاه. هذا الاتجاه هو نتيجة مباشرة لنظرية الفئات الأساسية، لذا فإن الجزء الأعمق والأكثر إثارة للاهتمام من التكافؤ هو الاستلزام الآخر.

يمكن إثبات أن الكائن المُمثِّل C المذكور أعلاه يعتمد داليًا على F : أي تحويل طبيعي من F إلى دالة أخرى تُحقق شروط النظرية يُؤدي بالضرورة إلى إنشاء خريطة للكائنات المُمثِّلة. هذه نتيجة لفرضية يونيدا .

باعتبار F ( X ) مجموعة التماثل المفردة Hᵢ ( X , A ⁾ بمعاملات تنتمي إلى مجموعة أبيلية معطاة A ، لـ i > 0 ثابت ؛ فإن الفضاء المُمثِّل لـ F هو فضاء إيلنبرغ-ماكلين K ( A , i ). وهذا يُتيح وسيلة لإثبات وجود فضاءات إيلنبرغ-ماكلين.

بما أن فئة التماثل لمركبات CW تعادل تحديد موضع فئة جميع الفضاءات الطوبولوجية عند تكافؤات التماثل الضعيفة ، يمكن صياغة النظرية بشكل مكافئ للدوال على فئة معرفة بهذه الطريقة.

ومع ذلك، فإن النظرية خاطئة بدون تقييدها بالفضاءات المتصلة ذات النقاط، كما أن العبارة المماثلة للفضاءات غير ذات النقاط خاطئة أيضاً. ^{[ 3 ]}

ينطبق بيان مماثل على الأطياف بدلاً من مركبات CW. كما أثبت براون نسخة عامة فئوية من نظرية التمثيل، ^{[ 4 ]} والتي تشمل كلاً من النسخة الخاصة بمركبات CW المتصلة ذات النقاط والنسخة الخاصة بالأطياف.

A version of the representability theorem in the case of triangulated categories is due to Amnon Neeman.^[5] Together with the preceding remark, it gives a criterion for a (covariant) functor F: C → D between triangulated categories satisfying certain technical conditions to have a right adjoint functor. Namely, if C and D are triangulated categories with C compactly generated and F a triangulated functor commuting with arbitrary direct sums, then F has a right adjoint. Neeman has applied this to proving the Grothendieck duality theorem in algebraic geometry.

Jacob Lurie has proved a version of the Brown representability theorem^[6] for the homotopy category of a pointed quasicategory with a compact set of generators which are cogroup objects in the homotopy category. For instance, this applies to the homotopy category of pointed connected CW complexes, as well as to the unbounded derived category of a Grothendieck abelian category (in view of Lurie's higher-categorical refinement of the derived category).