التحول الطبيعي

في نظرية الفئات ، أحد فروع الرياضيات ، يوفر التحويل الطبيعي طريقة لتحويل أحد المشتقات إلى آخر مع مراعاة البنية الداخلية (أي تكوين التشكلات ) للفئات المعنية. وبالتالي، يمكن اعتبار التحويل الطبيعي "تشكلًا للمشتقات". بشكل غير رسمي، تنص فكرة التحويل الطبيعي على أنه يمكن إجراء خريطة معينة بين المشتقات بشكل متسق على فئة بأكملها.

في الواقع، يمكن صياغة هذه الحدس رسميًا لتعريف ما يسمى بفئات المتجه . تعد التحويلات الطبيعية، بعد الفئات والمتجهات، واحدة من أكثر المفاهيم الأساسية في نظرية الفئات وبالتالي تظهر في غالبية تطبيقاتها.

إذا كانت و متجهات بين الفئات و (كلاهما من إلى )، فإن التحويل الطبيعي من إلى هو عائلة من التشكلات التي تلبي شرطين. ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

1. يجب أن يربط التحويل الطبيعي بين كل كائن في ، تماثل بين كائنات . ويسمى التماثل مكونًا في .${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \eta _{X}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle X}$
2. يجب أن تكون المكونات بحيث يكون لكل شكل في لدينا:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$

يمكن التعبير عن المعادلة الأخيرة بسهولة من خلال الرسم البياني التبادلي

إذا كان كل من و متضادًا ، فإن الأسهم الرأسية في الرسم البياني الأيمن تكون معكوسة. إذا كان تحويلًا طبيعيًا من إلى ، نكتب أيضًا أو . ويُعبر عن ذلك أيضًا بالقول إن عائلة التشكلات طبيعية في . ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta :F\to G}$${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$${\displaystyle X}$

إذا كان التماثل في كل كائن في ، تماثلًا في ، فإنه يُقال إنه${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{X}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \eta }$التماثل الطبيعي (أو أحيانًاالتكافؤ الطبيعيأوتماثل المتجهينيُطلق علىالمتجهينومتماثلين بشكل طبيعيمتماثلينببساطةإذا كان هناك تماثل طبيعي منإلى. ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

إن التحويل غير الطبيعي من إلى هو ببساطة عائلة من التشكلات ، لكل في . وبالتالي فإن التحويل الطبيعي هو تحويل غير طبيعي حيث لكل تماثل . إن المجنس لـ ، nat ، هو أكبر فئة فرعية من تحتوي على جميع كائنات على والتي تقتصر على التحويل الطبيعي. ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (\eta )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta }$

عبارات مثل

"كل مجموعة متماثلة بشكل طبيعي مع المجموعة المقابلة لها "

تكثر في الرياضيات الحديثة. سنقدم الآن المعنى الدقيق لهذه العبارة بالإضافة إلى إثباتها. ضع في اعتبارك فئة جميع المجموعات ذات التماثلات الجماعية باعتبارها تماثلات. إذا كانت مجموعة، فإننا نحدد مجموعتها المعاكسة على النحو التالي: هي نفس المجموعة مثل ، والعملية محددة بواسطة . وبالتالي يتم "عكس" جميع عمليات الضرب في . يصبح تكوين المجموعة المعاكسة عبارة عن مُستدِل (متغير مشترك) من إلى إذا حددنا لأي تماثل مجموعة . لاحظ أن هي في الواقع تماثل مجموعة من إلى : ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})}$${\displaystyle G^{\text{op}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle *^{\text{op}}}$${\displaystyle a*^{\text{op}}b=b*a}$${\displaystyle G^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle f^{\text{op}}}$${\displaystyle G^{\text{op}}}$${\displaystyle H^{\text{op}}}$

${\displaystyle f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).}$

محتوى البيان أعلاه هو:

"المتجه المتطابق متماثل بشكل طبيعي مع المتجه المعاكس "${\displaystyle {\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle {\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$

لإثبات ذلك، نحتاج إلى توفير تماثلات لكل مجموعة ، بحيث يتبادل الرسم البياني أعلاه. المجموعة . الصيغ و أظهر أن هو تماثل مجموعة مع معكوس . لإثبات الطبيعية، نبدأ بتماثل المجموعة و أظهر ، أي لكل في . هذا صحيح لأن و كل تماثل مجموعة له الخاصية . ${\displaystyle \eta _{G}:G\to G^{\text{op}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta _{G}(a)=a^{-1}}$${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}}$${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$${\displaystyle \eta _{G}}$${\displaystyle \eta _{G^{\text{op}}}}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle \eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}}$${\displaystyle (f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$${\displaystyle (f(a))^{-1}=f(a^{-1})}$

ليكن تماثل وحدات - للوحدات اليمنى. لكل وحدة يسرى يوجد خريطة طبيعية ، تشكل تحويلاً طبيعياً . لكل وحدة يمينية يوجد خريطة طبيعية محددة بواسطة ، تشكل تحويلاً طبيعياً . ${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow M^{\prime }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N}$${\displaystyle \eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)}$${\displaystyle \eta _{N}(f)=f\varphi }$${\displaystyle \eta :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)}$

بالنظر إلى مجموعة ، يمكننا تعريف تحويلها إلى أبيلية . لندل على خريطة الإسقاط على المجموعات الفرعية لـ . هذا التماثل "طبيعي في "، أي أنه يحدد تحويلًا طبيعيًا، والذي نتحقق منه الآن. لنفترض أن مجموعة. لأي تماثل ، لدينا أن موجود في نواة ، لأن أي تماثل في مجموعة أبيلية يقتل المجموعة الفرعية للمبدل. ثم حلل العوامل من خلال كما هو الحال بالنسبة للتماثل الفريد . هذا يجعل المتجه والتحويل الطبيعي، ولكن ليس التماثل الطبيعي، من المتجه المتطابق إلى . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\text{ab}}=G/}$ ${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle \pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}}$${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$${\displaystyle G^{\text{ab}}}$${\displaystyle f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f}$${\displaystyle f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}}$${\displaystyle {\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\text{ab}}}$

تتوافر الدوال والتحويلات الطبيعية بكثرة في الطوبولوجيا الجبرية ، مع استخدام تماثلات هوريويتش كأمثلة. بالنسبة لأي فضاء طوبولوجي مدبب وعدد صحيح موجب ، يوجد تماثل جماعي${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)}$

من المجموعة المتجانسة - من إلى المجموعة المتجانسة - من . كلاهما و هما متجهان من فئة Top ^* من المساحات الطوبولوجية المدببة إلى فئة Grp من المجموعات، و هو تحويل طبيعي من إلى . ${\displaystyle n}$${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle H_{n}}$

بالنظر إلى الحلقات التبادلية و مع تماثل حلقي ، فإن المجموعات المقابلة من المصفوفات القابلة للعكس و ترث تماثلًا نشير إليه بواسطة ، تم الحصول عليه من خلال التطبيق على كل مدخل مصفوفة. وبالمثل، يقتصر على تماثل المجموعة ، حيث يشير إلى مجموعة وحدات . في الواقع، و هي متجهات من فئة الحلقات التبادلية إلى . المحدد على المجموعة ، الذي يشار إليه بواسطة ، هو تماثل المجموعة ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(S)}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}:R^{*}\to S^{*}}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle {\textbf {CRing}}}$${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$${\displaystyle {\text{det}}_{R}}$

${\displaystyle {\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}}$

وهو أمر طبيعي في : لأن المحدد يتم تعريفه بنفس الصيغة لكل حلقة ، وهذا يجعل المحدد تحويلاً طبيعياً من إلى . ${\displaystyle R}$${\displaystyle f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle *}$

على سبيل المثال، إذا كان حقلًا ، فعندئذٍ لكل مساحة متجهة فوق لدينا خريطة خطية حقن "طبيعية" من مساحة المتجه إلى دالتها المزدوجة . هذه الخرائط "طبيعية" بالمعنى التالي: عملية الدالتين المزدوجة هي دالة، والخرائط هي مكونات التحويل الطبيعي من دالة الهوية إلى دالة الدالتين المزدوجة. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V\to V^{**}}$

لكل مجموعة أبيلية ، تشكل مجموعة الدوال من الأعداد الصحيحة إلى المجموعة الأساسية مجموعة أبيلية تحت إضافة نقطية. (هذا هو المتجه النسياني القياسي .) بالنظر إلى التشكل ، فإن الخريطة المعطاة بواسطة left التي تتكون من عناصر الأولى هي في حد ذاتها تماثل للمجموعات الأبلية؛ بهذه الطريقة نحصل على المتجه . عامل الفرق المحدود الذي يأخذ كل دالة إلى هو خريطة من إلى نفسها، وتعطي مجموعة مثل هذه الخرائط تحويلاً طبيعياً . ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle \varphi :G\to G'}$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle \Delta _{G}}$${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to U(G)}$${\displaystyle \Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)}$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }}$

ضع في اعتبارك فئة${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ المجموعات الإبيلية وتماثلات المجموعات. بالنسبة لجميع المجموعات الإبيلية ، لدينا تماثل المجموعة ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))}$.

هذه التماثلات "طبيعية" بمعنى أنها تحدد تحويلًا طبيعيًا بين المتجهين المعنيين . (هنا "op" هي الفئة المعاكسة لـ ، ولا ينبغي الخلط بينها وبين المتجه المعاكس البسيط للمجموعة على  !) ${\displaystyle {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

هذا هو رسميًا ملحق tensor-hom ، وهو مثال نموذجي لزوج من المتواليات المترافقة . تنشأ التحويلات الطبيعية بشكل متكرر بالتزامن مع المتواليات المترافقة، والواقع أن المتواليات المترافقة تُعرَّف من خلال تماثل طبيعي معين. بالإضافة إلى ذلك ، يأتي كل زوج من المتواليات المترافقة مزودًا بتحويلين طبيعيين (ليسا تماثلين بشكل عام) يُطلق عليهما الوحدة والكونيت .

إن مفهوم التحويل الطبيعي مفهوم قاطع، وينص (بشكل غير رسمي) على أنه يمكن إجراء خريطة معينة بين الدوال بشكل متسق على فئة بأكملها. وبشكل غير رسمي، يُشار إلى خريطة معينة (خاصة التماثل) بين كائنات فردية (وليس فئات كاملة) باسم "التماثل الطبيعي"، وهذا يعني ضمناً أنها محددة فعليًا على الفئة بأكملها، وتحدد تحويلًا طبيعيًا للدوال؛ وكان إضفاء الطابع الرسمي على هذه الحدس عاملاً محفزًا في تطوير نظرية الفئة.

على العكس من ذلك، يمكن تسمية خريطة معينة بين أشياء معينة بتماثل غير طبيعي (أو "تماثل غير طبيعي") إذا لم يكن من الممكن تمديد الخريطة إلى تحويل طبيعي على الفئة بأكملها. إذا كان لشيء ما دالة (مع الأخذ في الاعتبار التبسيط أن الدالة الأولى هي الهوية) وإثبات التماثل، يمكن إظهار عدم الطبيعية بسهولة عن طريق إعطاء تماثل تلقائي لا يتبادل مع هذا التماثل (لذا ). وبقوة أكبر، إذا رغب المرء في إثبات أن و ليسا متماثلين بشكل طبيعي، دون الرجوع إلى تماثل معين، فإن هذا يتطلب إظهار أنه لأي تماثل ، يوجد بعض التماثلات التي لا يتبادل معها؛ في بعض الحالات، يعمل تماثل تلقائي واحد لجميع التماثلات المرشحة بينما في حالات أخرى يجب على المرء أن يوضح كيفية إنشاء تماثل مختلف لكل تماثل. تلعب خرائط الفئة دورًا حاسمًا - أي تحويل دون طبيعي يكون طبيعيًا إذا كانت الخرائط الوحيدة هي خريطة الهوية، على سبيل المثال. ${\displaystyle X,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta \colon X\to G(X),}$${\displaystyle A\colon X\to X}$${\displaystyle \eta \circ A\neq G(A)\circ \eta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle A_{\eta }}$

هذا مشابه (ولكن أكثر تصنيفًا) للمفاهيم في نظرية المجموعة أو نظرية الوحدة، حيث يكون التحلل المعطى لكائن إلى مجموع مباشر "غير طبيعي"، أو بالأحرى "غير فريد"، حيث توجد تماثلات لا تحافظ على تحلل المجموع المباشر - راجع نظرية البنية للوحدات المولدة بشكل محدود على نطاق مثالي رئيسي § التفرد على سبيل المثال.

يقوم بعض المؤلفين بالتمييز تدوينيًا، باستخدام التماثل الطبيعي والتماثل غير الطبيعي، مع الاحتفاظ بالمساواة (عادةً مساواة الخرائط). ${\displaystyle \cong }$${\displaystyle \approx }$${\displaystyle =}$

كمثال على التمييز بين العبارة الوظيفية والأشياء الفردية، ضع في اعتبارك مجموعات التماثل في فضاء المنتج، وتحديدًا المجموعة الأساسية للطور.

إن مجموعات التماثل في فضاء المنتج هي بطبيعة الحال حاصل ضرب مجموعات التماثل للمكونات، مع التماثل الناتج عن الإسقاط على العاملين، وذلك أساسًا لأن الخرائط في فضاء المنتج هي بالضبط حاصل ضرب الخرائط في المكونات - وهذا بيان وظيفي. ${\displaystyle \pi _{n}((X,x_{0})\times (Y,y_{0}))\cong \pi _{n}((X,x_{0}))\times \pi _{n}((Y,y_{0})),}$

ومع ذلك، فإن الطارة (التي هي في الأساس حاصل ضرب دائرتين) لها مجموعة أساسية متماثلة مع ، لكن الانقسام ليس طبيعيًا. لاحظ استخدام ، ، و : ^[أ]${\displaystyle Z^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}(T,t_{0})\approx \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} }$${\displaystyle \approx }$${\displaystyle \cong }$${\displaystyle =}$

${\displaystyle \pi _{1}(T,t_{0})\approx \pi _{1}(S^{1},x_{0})\times \pi _{1}(S^{1},y_{0})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} =\mathbf {Z} ^{2}.}$

إن هذا التماثل المجرد مع حاصل ليس طبيعيًا، حيث إن بعض تماثلات لا تحافظ على الحاصل: إن التماثل الذاتي لـ (الذي يُنظر إليه على أنه فضاء الحاصل ) المعطى بواسطة (هندسة التواء ديهن حول أحد المنحنيات المولدة) يعمل كمصفوفة على (إنها في المجموعة الخطية العامة لمصفوفات الأعداد الصحيحة القابلة للعكس)، والتي لا تحافظ على التحلل كمنتج لأنها ليست قطرية. ومع ذلك، إذا تم إعطاء المرء الطارة كمنتج - على نحو مكافئ، مع إعطاء تحلل للمساحة - فإن تقسيم المجموعة يتبع من البيان العام السابق. من حيث التصنيف، فإن الفئة ذات الصلة (التي تحافظ على بنية فضاء الحاصل) هي "خرائط فضاءات الحاصل، أي زوج من الخرائط بين المكونات المعنية". ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle (T,t_{0})=(S^{1},x_{0})\times (S^{1},y_{0})}$

إن الطبيعية هي مفهوم فئوي، وتتطلب أن نكون دقيقين للغاية بشأن البيانات المعطاة بالضبط - فالطور كفضاء يكون بمثابة منتج (في فئة المساحات والخرائط المستمرة) يختلف عن الطارة المقدمة كمنتج (في فئة منتجات مساحتين وخرائط مستمرة بين المكونات المعنية).

كل فضاء متجه ذي أبعاد محدودة متماثل مع فضاءه المزدوج، ولكن قد يكون هناك العديد من التماثلات المختلفة بين الفضاءين. لا يوجد بشكل عام تماثل طبيعي بين فضاء متجه ذي أبعاد محدودة وفضائه المزدوج. ^[1] ومع ذلك، فإن الفئات ذات الصلة (مع البنية الإضافية والقيود على الخرائط) لها تماثل طبيعي، كما هو موضح أدناه.

إن الفضاء المزدوج لفضاء متجه ذي أبعاد محدودة هو مرة أخرى فضاء متجه ذي أبعاد محدودة من نفس البعد، وبالتالي فإن هذه الفضاءات متماثلة الشكل، لأن البعد هو الثابت الوحيد للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة على حقل معين. ومع ذلك، في غياب القيود الإضافية (مثل شرط أن تحافظ الخرائط على الأساس المختار)، فإن الخريطة من الفضاء إلى ثنائيها ليست فريدة، وبالتالي فإن مثل هذا التماثل يتطلب خيارًا، وهو "ليس طبيعيًا". في فئة فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة والخرائط الخطية، يمكن للمرء أن يحدد تماثلًا غير طبيعي من فضاءات المتجهات إلى ثنائيها عن طريق اختيار تماثل لكل فضاء (على سبيل المثال، عن طريق اختيار أساس لكل فضاء متجه وأخذ التماثل المقابل)، لكن هذا لن يحدد تحويلًا طبيعيًا. بديهيًا، هذا لأنه يتطلب خيارًا، وبصرامة لأن أي اختيار من هذا القبيل للتماثلات لن يتبادل، على سبيل المثال، مع الخريطة الصفرية؛ انظر (Mac Lane & Birkhoff 1999، §VI.4) لمناقشة مفصلة.

بدءًا من فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة (كأشياء) والمتجهات الثنائية والمتجهات الثنائية، يمكن للمرء أن يحدد تماثلًا طبيعيًا، لكن هذا يتطلب أولاً إضافة بنية إضافية، ثم تقييد الخرائط من "جميع الخرائط الخطية" إلى "الخرائط الخطية التي تحترم هذه البنية". صراحةً، لكل فضاء متجه، يجب أن يأتي مع بيانات تماثل ثنائي، . بعبارة أخرى، خذ كأشياء فضاءات متجهة ذات شكل خطي ثنائي غير متحلل . هذا يحدد تماثلًا غير طبيعي (تماثل لكل كائن). ثم يقيد المرء الخرائط على تلك الخرائط التي تتنقل مع التماثلات فقط: أو بعبارة أخرى، الحفاظ على الشكل الخطي الثنائي: . (تحدد هذه الخرائط مُحدِّد التماثلات الطبيعية ). والفئة الناتجة، التي تحتوي على فضاءات متجهية محدودة الأبعاد ذات شكل ثنائي خطي غير متحلل، وخرائط تحويلات خطية تحترم الشكل الثنائي الخطي، لها تماثل طبيعي من المتطابق إلى الثنائي (لكل فضاء تماثل مع ثنائيه، والخرائط في الفئة مطلوبة للتبديل). وإذا نظرنا إلى الأمر من هذا المنظور، فإن هذا البناء (إضافة تحويلات لكل كائن، وتقييد الخرائط للتبديل معها) عام تمامًا، ولا يعتمد على أي خصائص معينة للفضاءات المتجهة. ${\displaystyle \eta _{V}\colon V\to V^{*}}$ ${\displaystyle b_{V}\colon V\times V\to K}$${\displaystyle T\colon V\to U}$${\displaystyle T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)}$${\displaystyle b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)}$

في هذه الفئة (مساحات متجهية ذات أبعاد محدودة ذات شكل خطي ثنائي غير متحلل، وخرائط تحويلات خطية تحترم الشكل الخطي الثنائي)، يمكن تحديد ثنائي الخريطة بين مساحات المتجهات على أنه منقول . غالبًا لأسباب تتعلق بالاهتمام الهندسي، يتم تخصيص هذا لفئة فرعية، من خلال اشتراط أن تكون الأشكال الخطية الثنائية غير المتحللة ذات خصائص إضافية، مثل كونها متماثلة ( مصفوفات متعامدة )، ومتماثلة ومحددة موجبة ( مساحة حاصل ضرب داخلية )، ومتماثلة ونصف خطية ( مساحات هيرميتية )، ومتماثلة مائلة ومتساوية الخواص تمامًا ( مساحة متجهية سيمبلكتيكية )، إلخ - في كل هذه الفئات، يتم تحديد مساحة المتجه بشكل طبيعي مع ثنائيها، من خلال الشكل الخطي الثنائي غير المتحلل.

إذا كانت و تحويلات طبيعية بين المتجهين ، فيمكننا تكوينهما للحصول على تحويل طبيعي . يتم ذلك على أساس المكونات: ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \epsilon :G\Rightarrow H}$${\displaystyle F,G,H:C\to D}$${\displaystyle \epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H}$

${\displaystyle (\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}}$.

هذا التكوين الرأسي للتحويلات الطبيعية هو تجميعي وله هوية، ويسمح للمرء باعتبار مجموعة كل الدوال نفسها كفئة (انظر أدناه تحت فئات الدوال). التحويل الطبيعي المتماثل على الدوال له مكونات . ^[2]${\displaystyle C\to D}$${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}}$

ل ، .${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}}$

إذا كان تحويلًا طبيعيًا بين المتواليات وكان تحويلًا طبيعيًا بين المتواليات ، فإن تكوين المتواليات يسمح بتكوين تحويلات طبيعية مع مكونات ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle F,G:C\to D}$${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$${\displaystyle J,K:D\to E}$${\displaystyle \epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G}$

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}}$.

باستخدام الشعيرات (انظر أدناه)، يمكننا أن نكتب

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}}$,

لذلك

${\displaystyle \epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F}$.

هذا التكوين الأفقي للتحويلات الطبيعية يرتبط أيضًا بالهوية. هذه الهوية هي تحويل الهوية الطبيعي على دالة الهوية ، أي التحويل الطبيعي الذي يربط كل كائن بتماثل هويته : بالنسبة للكائن في الفئة ، . ${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}}$

بالنسبة إلى مع ، .${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle F,G:C\to D}$${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}}$

نظرًا لأن المتجهين المتماثلين والمتجهين المتماثلين هما متجهان متماثلان، فإن هوية التكوين الأفقي هي أيضًا هوية التكوين الرأسي، ولكن ليس العكس. ^[3]${\displaystyle \mathrm {id} _{C}}$${\displaystyle \mathrm {id} _{D}}$

التهجين هو عملية ثنائية خارجية بين المتجه والتحويل الطبيعي. ^{[4] [5]}

إذا كان تحويلًا طبيعيًا بين المتواليات ، وكان متواليًا آخر، فيمكننا تكوين التحويل الطبيعي عن طريق تعريف ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle F,G:C\to D}$${\displaystyle H:D\to E}$${\displaystyle H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G}$

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H(\eta _{X})}$.

من ناحية أخرى، إذا كان عبارة عن مُستدِل، يتم تعريف التحويل الطبيعي بواسطة${\displaystyle K:B\to C}$${\displaystyle \eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K}$

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}}$.

إنها أيضًا تركيبة أفقية حيث يكون أحد التحولات الطبيعية هو التحول الطبيعي للهوية:

${\displaystyle H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta }$و .${\displaystyle \eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}}$

لاحظ أن (resp. ) لا تكون بشكل عام هي الهوية اليسرى (resp.) للتكوين الأفقي ( وبشكل عام)، إلا إذا كان (resp. ) هو المتطابق للفئة (resp. ). ${\displaystyle \mathrm {id} _{H}}$${\displaystyle \mathrm {id} _{K}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle H\eta \neq \eta }$${\displaystyle \eta K\neq \eta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$

ترتبط العمليتان بهوية تتبادل التكوين الرأسي مع التكوين الأفقي: إذا كان لدينا أربعة تحولات طبيعية كما هو موضح في الصورة الموجودة على اليمين، فإن الهوية التالية تنطبق: ${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '}$

${\displaystyle (\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )}$.

ترتبط التركيبات الرأسية والأفقية أيضًا من خلال التحولات الطبيعية المتطابقة:

بالنسبة لـ و ، . ^[6]${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:D\to E}$${\displaystyle \mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}}$

نظرًا لأن الشعيرات عبارة عن تكوين أفقي له هوية، فإن قانون التبادل يعطي على الفور الصيغ المدمجة للتكوين الأفقي لـ ودون الحاجة إلى تحليل المكونات والمخطط التبادلي: ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}}$.

إذا كانت أي فئة وكانت فئة صغيرة ، فيمكننا تكوين فئة دالة تحتوي على جميع الدوال من إلى وكتحويلات طبيعية بين هذه الدوال. وهذا يشكل فئة لأنه بالنسبة لأي دالة يوجد تحويل طبيعي متطابق (يعين لكل كائن التحويل المتطابق على ) وتكوين تحويلين طبيعيين ("التكوين الرأسي" أعلاه) هو مرة أخرى تحويل طبيعي. ${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 1_{F}:F\to F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$

التماثلات في هي بالتحديد تماثلات طبيعية. أي أن التحويل الطبيعي يكون تماثلًا طبيعيًا إذا وفقط إذا كان هناك تحويل طبيعي بحيث و . ${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle \eta :F\to G}$${\displaystyle \epsilon :G\to F}$${\displaystyle \eta \epsilon =1_{G}}$${\displaystyle \epsilon \eta =1_{F}}$

تكون فئة المتغير مفيدة بشكل خاص إذا نشأت من رسم بياني موجه . على سبيل المثال، إذا كانت فئة الرسم البياني الموجه • → • ، فإنها تحتوي ككائنات على أشكال ، وشكل بين و في هو زوج من الأشكال و في بحيث "ينتقل المربع"، أي . ${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \phi :U\to V}$${\displaystyle \psi :X\to Y}$${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle g:V\to Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \psi \circ f=g\circ \phi }$

بشكل عام، يمكننا بناء فئتين من حيث: ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$

• الخلايا 0 (الكائنات) هي الفئات الصغيرة،
• 1- الخلايا (الأسهم) بين كائنين و هي المتجهان من إلى ،${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$
• خليتان بين خليتين من نوع 1 (متحولات) و هي التحولات الطبيعية من إلى .${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

التركيبات الأفقية والرأسية هي التركيبات بين التحويلات الطبيعية الموصوفة سابقًا. فئة المتجه هي ببساطة فئة متماثلة في هذه الفئة (بغض النظر عن مشكلات الصِغَر). ${\displaystyle C^{I}}$

يوفر كل حد وحد مشترك مثالاً للتحويل الطبيعي البسيط، حيث يعادل المخروط تحويلاً طبيعياً مع المتجه القطري كمجال. في الواقع، إذا تم تعريف الحدود والحدود المشتركة مباشرة من حيث خاصيتها العالمية ، فإنها تشكل تماثلات عالمية في فئة المتجه.

إذا كان كائنًا من فئة صغيرة محليًا ، فإن التعيين يحدد مُتتابعًا متغايرًا . يُطلق على هذا المُتتابع اسم قابل للتمثيل (بشكل عام، المُتتابع القابل للتمثيل هو أي مُتتابع متماثل بشكل طبيعي مع هذا المُتتابع لاختيار مناسب لـ ). التحويلات الطبيعية من مُتتابع قابل للتمثيل إلى مُتتابع عشوائي معروفة تمامًا ويسهل وصفها؛ هذا هو محتوى مبرهنة يونيدا . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle Y\mapsto {\text{Hom}}_{C}(X,Y)}$${\displaystyle F_{X}:C\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F:C\to {\textbf {Set}}}$

يقال إن سوندرز ماك لين ، أحد مؤسسي نظرية الفئات، قد قال: "لم أخترع الفئات لدراسة الدوال؛ بل اخترعتها لدراسة التحولات الطبيعية". ^[7] وكما أن دراسة المجموعات لا تكتمل بدون دراسة التماثلات ، فإن دراسة الفئات لا تكتمل بدون دراسة الدوال . والسبب وراء تعليق ماك لين هو أن دراسة الدوال نفسها لا تكتمل بدون دراسة التحولات الطبيعية.

كان سياق ملاحظة ماك لين هو النظرية البديهية للتماثل . يمكن إظهار أن الطرق المختلفة لبناء التماثل تتطابق: على سبيل المثال، في حالة المركب البسيط، ستكون المجموعات المحددة مباشرة متماثلة مع تلك الخاصة بنظرية المفرد. ما لا يمكن التعبير عنه بسهولة بدون لغة التحولات الطبيعية هو كيف تكون مجموعات التماثل متوافقة مع التماثلات بين الأشياء، وكيف أن نظريتي تماثل متكافئتين ليس لديهما نفس مجموعات التماثل فحسب، بل وأيضًا نفس التماثلات بين تلك المجموعات.

• التحول الخارق للطبيعة
• الملكية العالمية
• نظرية الفئة العليا

• nLab، مشروع ويكي حول الرياضيات والفيزياء والفلسفة مع التركيز على وجهة النظر n -categorical
• ج. أداميك، هـ. هيرليش، ج. ستريكر، الفئات المجردة والملموسة - متعة القطط
• موسوعة ستانفورد للفلسفة : "نظرية الفئات" - بقلم جان بيير ماركيز. قائمة مراجع موسعة.
• بايز، جون، 1996، "حكاية الفئات n". مقدمة غير رسمية للفئات العليا.