فئة المجموعات

في مجال نظرية الفئات الرياضية ، تُعرف فئة المجموعات ، التي يُرمز لها بـ Set ، بأنها الفئة التي تكون عناصرها مجموعات . وتُمثل الأسهم أو التشاكلات بين المجموعتين A و B الدوال من A إلى B ، وتركيب التشاكلات هو تركيب الدوال .

تضيف العديد من الفئات الأخرى (مثل فئة المجموعات ، مع تماثل المجموعات كأسهم) بنية إلى كائنات فئة المجموعات أو تقيد الأسهم بوظائف من نوع معين (أو كليهما).

يتم استيفاء بديهيات الفئة بواسطة المجموعة لأن تركيب الدوال هو تجميعي ، ولأن كل مجموعة X لها دالة هوية id _X  : X → X والتي تعمل كعنصر هوية لتركيب الدوال.

التشاكلات الشاملة في المجموعة هي الخرائط الشاملة ، والتشاكلات الأحادية هي الخرائط الحقنية ، والتشاكلات المتماثلة هي الخرائط التقابلية .

تُعدّ المجموعة الفارغة الكائن الأولي في مجموعة Set ، حيث تمثل الدوال الفارغة عمليات تحويل. كل عنصر أحادي هو كائن نهائي ، حيث تربط الدوال جميع عناصر مجموعات المصدر بالعنصر الهدف الوحيد كعمليات تحويل. وبالتالي، لا توجد كائنات صفرية في مجموعة Set .

تُعتبر فئة المجموعات كاملة ومكتملة جزئيًا . يُعطى حاصل الضرب في هذه الفئة بالضرب الديكارتي للمجموعات. أما حاصل الضرب الجزئي فيُعطى بالاتحاد المنفصل : إذا كانت لدينا مجموعات Aᵢ حيث _i تنتمي إلى مجموعة فهارس I ، فإننا نبني حاصل الضرب الجزئي كاتحاد Aᵢ _× { i } ( يضمن الضرب الديكارتي مع i بقاء جميع المكونات منفصلة).

المجموعة هي النموذج الأولي لفئة ملموسة ؛ الفئات الأخرى تكون ملموسة إذا تم "بناؤها على" المجموعة بطريقة محددة جيدًا.

تُعدّ كل مجموعة ثنائية العناصر بمثابة مُصنِّف فرعي في المجموعة . يُعطى الكائن الأسي للمجموعة A بمجموعة قواها ، ويُعطى الكائن الأسي للمجموعتين A و B بمجموعة جميع الدوال من A إلى B. بالتالي، تُعتبر المجموعة فضاءً طوبولوجيًا أوليًا (وخاصةً فضاءً مغلقًا ودقيقًا ديكارتيًا بالمعنى الذي قصده بار ). وهي في الواقع المثال الأبرز لفضاء غروتينديك الطوبولوجي ، كونها فئة الحزم على الفضاء الطوبولوجي أحادي النقطة.

المجموعة ليست تبديلية ، ولا جمعية ، ولا ما قبل الجمعية .

كل مجموعة غير فارغة هي كائن أحادي في المجموعة . كل مجموعة هي كائن إسقاطي في المجموعة (بافتراض بديهية الاختيار ).

الكائنات القابلة للتمثيل المحدود في فئة Set هي المجموعات المنتهية. وبما أن كل مجموعة هي نهاية مباشرة لمجموعاتها الجزئية المنتهية، فإن فئة Set هي فئة قابلة للتمثيل المحدود محليًا .

إذا كانت C فئةً اختيارية، فإن الدوال المتغيرة من C إلى Set تُعدّ غالبًا موضوعًا مهمًا للدراسة. إذا كان A عنصرًا من C ، فإن الدالة من C إلى Set التي تُرسل X إلى Hom _C ( X , A ) (مجموعة التشكلات في C من X إلى A ) تُعدّ مثالًا على هذه الدالة. إذا كانت C فئةً صغيرة (أي أن مجموعة عناصرها تُشكّل مجموعةً)، فإن الدوال المتغيرة من C إلى Set ، بالإضافة إلى التحويلات الطبيعية كتشكلات، تُشكّل فئةً جديدة، وهي فئة الدوال المعروفة باسم فئة الحزم المسبقة على C.

في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، لا تُعدّ مجموعة جميع المجموعات مجموعةً؛ وهذا ما يستنتج من بديهية التأسيس . يُشار إلى المجموعات التي ليست مجموعات باسم " الفئات الفعلية" . لا يمكن التعامل مع الفئات الفعلية كما يُتعامل مع المجموعات؛ على وجه الخصوص، لا يمكن القول بأن هذه الفئات الفعلية تنتمي إلى مجموعة (سواء كانت مجموعة أو فئة فعلية). تُشكّل هذه مشكلة لأنها تعني أنه لا يمكن صياغة فئة المجموعات بشكل مباشر في هذا السياق. تُعرف الفئات، مثل فئة المجموعة التي تُشكّل مجموعتها فئة فعلية، باسم " الفئات الكبيرة" ، وذلك لتمييزها عن الفئات الصغيرة التي تُشكّل عناصرها مجموعة.

إحدى طرق حل هذه المشكلة هي العمل ضمن نظام يمنح صفة رسمية للفئات المناسبة، مثل نظرية المجموعات NBG . في هذا السياق، تُسمى الفئات المُشكَّلة من المجموعات بالفئات الصغيرة ، بينما تُسمى تلك المُشكَّلة من الفئات المناسبة (مثل Set ) بالفئات الكبيرة .

حل آخر هو افتراض وجود أكوان غروتينديك . وبشكل تقريبي، كون غروتينديك هو مجموعة تُعدّ نموذجًا لـ ZF(C) (على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة ما تنتمي إلى كون، فإن عناصرها ومجموعة قواها ستنتمي إلى ذلك الكون). وجود أكوان غروتينديك (بخلاف المجموعة الفارغة والمجموعة${\displaystyle V_{\omega }}$إنّ وجود جميع المجموعات المنتهية وراثيًا ليس مُضمَّنًا في بديهيات ZF المعتادة؛ بل هو بديهية إضافية مستقلة، تُعادل تقريبًا وجود الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول بقوة . بافتراض هذه البديهية الإضافية، يُمكن حصر عناصر المجموعة في عناصر كون مُحدد. (لا توجد "مجموعة جميع المجموعات" ضمن النموذج، ولكن يُمكن مع ذلك التفكير في فئة U لجميع المجموعات الداخلية، أي عناصر U ).

في أحد أشكال هذا المخطط، تُعرَّف فئة المجموعات بأنها اتحاد جميع عوالم غروتينديك. (وهي بالضرورة فئة فعلية ، لكن كل عالم غروتينديك هو مجموعة لأنه عنصر من عالم غروتينديك أكبر). مع ذلك، لا يتم التعامل مباشرةً مع "فئة جميع المجموعات". بدلاً من ذلك، تُصاغ النظريات بدلالة الفئة Set _U التي عناصرها هي عناصر عالم غروتينديك كبير بما فيه الكفاية U ، ثم يُبين أنها لا تعتمد على الاختيار المحدد لـ U. يُعد هذا النهج، كأساس لنظرية الفئات ، مناسبًا تمامًا لنظام مثل نظرية مجموعات تارسكي-غروتينديك، حيث لا يمكن الاستدلال مباشرةً على الفئات الفعلية؛ وعيبه الرئيسي هو أن النظرية قد تكون صحيحة لجميع عناصر Set _U ولكنها ليست صحيحة لـ Set U.

تم اقتراح حلول أخرى متنوعة، بالإضافة إلى اختلافات على ما سبق. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

وتنشأ نفس المشكلات مع فئات ملموسة أخرى، مثل فئة المجموعات أو فئة الفضاءات الطوبولوجية .

• فئة الفضاءات الطوبولوجية
• نظرية المجموعات
• المجموعات الصغيرة (نظرية الفئات)
• فئة المساحات القابلة للقياس
• النظرية الأولية لفئة المجموعات

• A231344 عدد التشكلات في الفئات الفرعية الكاملة للمجموعة الممتدة بواسطة {{}, {1}, {1, 2}, ..., {1, 2, ..., n}}     في OEIS .