الطيف (الطوبولوجيا)

في الطوبولوجيا الجبرية ، وهو فرع من الرياضيات ، الطيف هو كائن يمثل نظرية التماثل المعممة . كل نظرية تماثل قابلة للتمثيل، كما هو موضح في نظرية براون للتمثيل . وهذا يعني أنه في حالة وجود نظرية تماثل

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\text{CW}}^{op}\to {\text{Ab}}}$,

توجد مساحات بحيث يكون تقييم نظرية التماثل في الدرجة على مساحة ما معادلاً لحساب فئات التماثل للخرائط إلى المساحة ، أي${\displaystyle E^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]}$.

لاحظ أن هناك عدة فئات مختلفة من الأطياف تؤدي إلى العديد من الصعوبات الفنية، ^[1] ولكنها جميعًا تحدد نفس فئة التماثل ، والمعروفة باسم فئة التماثل المستقر . هذه واحدة من النقاط الرئيسية لتقديم الأطياف لأنها تشكل موطنًا طبيعيًا لنظرية التماثل المستقر.

هناك العديد من الاختلافات في التعريف: بشكل عام، الطيف هو أي تسلسل من المساحات الطوبولوجية المدببة أو المجموعات التبسيطية المدببة مع خرائط البنية ، حيث هو حاصل الضرب السحقي . حاصل الضرب السحقي لمساحة مدببة مع دائرة متماثل مع التعليق المختزل لـ ، والذي يُشار إليه بـ . ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \سيجما اكس}$

يرجع ما يلي إلى فرانك آدامز ( 1974): الطيف (أو طيف CW) هو عبارة عن سلسلة من معقدات CW مع تضمينات التعليق كمعقد فرعي لـ . ${\displaystyle E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}}$${\displaystyle E_{n+1}}$

للحصول على تعريفات أخرى، انظر الطيف المتماثل والطيف البسيط.

أحد أهم الثوابت الطيفية هي مجموعات التماثل للطيف. تعكس هذه المجموعات تعريف مجموعات التماثل المستقرة للمساحات نظرًا لأن بنية خرائط التعليق متكاملة في تعريفها. بالنظر إلى الطيف، حدد مجموعة التماثل على أنها الحد المشترك${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi _{n}(E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}}$

حيث يتم استنباط الخرائط من تركيب الخريطة (أي المعطاة بواسطة دالة ) وخريطة البنية . ويقال إن الطيف متصل إذا كان يساوي صفرًا لـ k السالبة . ${\displaystyle \Sigma :\pi _{n+k}(E_{n})\to \pi _{n+k+1}(\Sigma E_{n})}$${\displaystyle [S^{n+k},E_{n}]\إلى [S^{n+k+1},\Sigma E_{n}]}$${\displaystyle \سيجما }$${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$${\displaystyle \pi _{k}}$

فكر في التماثل المفرد مع المعاملات في مجموعة أبيلية . بالنسبة لمركب CW ، يمكن تحديد المجموعة بمجموعة فئات التماثل للخرائط من إلى ، فضاء إيلينبرج-ماكلين مع التماثل المركز في الدرجة . نكتب هذا على النحو التالي${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{n}(X;A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K(A,n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)}$

ثم يكون الطيف المقابل له مساحة -th ؛ ويسمى طيف إيلينبرج-ماكلين لـ . لاحظ أنه يمكن استخدام هذا البناء لتضمين أي حلقة في فئة الأطياف. يشكل هذا التضمين أساس الهندسة الطيفية، وهو نموذج للهندسة الجبرية المشتقة . إحدى الخصائص المهمة لهذا التضمين هي التماثلات${\displaystyle HA}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K(A,n)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}}$

إن إظهار فئة الأطياف يتتبع المعلومات المشتقة من الحلقات التبادلية، حيث يعمل حاصل الضرب السحقي كمنتج موتر مشتق . علاوة على ذلك، يمكن استخدام أطياف إيلينبرج-ماكلين لتحديد نظريات مثل تشابه هوشيلد الطوبولوجي للحلقات التبادلية، وهي نظرية أكثر دقة من تشابه هوشيلد الكلاسيكي.

كمثال مهم ثانٍ، ضع في اعتبارك نظرية K الطوبولوجية . على الأقل بالنسبة لـ X compact، يتم تعريفها على أنها مجموعة Grothendieck لمونويد حزم المتجهات المعقدة على X. أيضًا، هي المجموعة المقابلة لحزم المتجهات على تعليق X. نظرية K الطوبولوجية هي نظرية تجانس معممة، لذا فهي تعطي طيفًا. الفضاء الصفري هو بينما الفضاء الأول هو . هنا المجموعة الوحدوية اللانهائية و هي فضاء تصنيفها . من خلال دورية بوت نحصل على و لجميع n ، لذا فإن جميع المساحات في طيف نظرية K الطوبولوجية تُعطى بواسطة إما أو . يوجد بناء مماثل باستخدام حزم متجهات حقيقية بدلاً من حزم متجهات معقدة، مما يعطي طيفًا دوريًا من 8. ${\displaystyle K^{0}(X)}$${\displaystyle K^{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle BU}$${\displaystyle K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)}$${\displaystyle K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$${\displaystyle U}$

أحد الأمثلة الجوهرية للطيف هو طيف الكرة . هذا هو طيف يتم تحديد مجموعات التماثل فيه بواسطة مجموعات التماثل المستقرة للكرات، لذا${\displaystyle \mathbb {S} }$

${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }}$

يمكننا كتابة هذا الطيف صراحةً على النحو التالي حيث . لاحظ أن حاصل الضرب السحقي يعطي بنية حاصل الضرب على هذا الطيف${\displaystyle \mathbb {S} _{i}=S^{i}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{0}=\{0,1\}}$

${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}}$

يحث على تكوين بنية حلقية على . علاوة على ذلك، إذا أخذنا في الاعتبار فئة الأطياف المتماثلة ، فإن هذا يشكل الكائن الأولي، على غرار ما هو موجود في فئة الحلقات التبادلية. ${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

يأتي مثال آخر من الأطياف التقليدية من أطياف توم التي تمثل نظريات الكوبوردية المختلفة. وهذا يشمل الكوبوردية الحقيقية ، والكوبوردية المعقدة ، والكوبوردية المؤطرة، والكوبوردية الدورانية ، والكوبوردية الوترية ، وما إلى ذلك . في الواقع، لأي مجموعة طوبولوجية يوجد طيف توم . ${\displaystyle MO}$${\displaystyle MU}$${\displaystyle MSpin}$${\displaystyle MString}$${\displaystyle G}$${\displaystyle MG}$

يمكن إنشاء طيف من الفضاء. طيف التعليق للفضاء ، المشار إليه هو طيف (خرائط البنية هي الهوية). على سبيل المثال، طيف التعليق للكرة 0 هو طيف الكرة الذي تمت مناقشته أعلاه. مجموعات التماثل لهذا الطيف هي مجموعات التماثل المستقرة لـ ، لذا${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$${\displaystyle X_{n}=S^{n}\wedge X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)}$

إن بناء طيف التعليق يعني أن كل مساحة يمكن اعتبارها نظرية تجانس. في الواقع، يحدد هذا الطيف عاملًا

${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}}$

من فئة التماثل المتماثل لمجمعات CW إلى فئة التماثل المتماثل للأطياف. يتم إعطاء الأشكال بواسطة

${\displaystyle [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]}$

والتي تستقر في النهاية وفقًا لنظرية التعليق الفرودنتالية . ونعني بهذا

${\displaystyle \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots }$و${\displaystyle \left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]}$

لبعض الأعداد الصحيحة المحدودة . بالنسبة لمركب CW، يوجد بناء عكسي يأخذ طيفًا ويشكل مساحة${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}}$

تسمى مساحة الحلقة اللانهائية للطيف. بالنسبة لمجمع CW${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

ويأتي هذا البناء مع تضمين لكل ، وبالتالي يعطي خريطة${\displaystyle X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X}$

وهو حقن. ومن المؤسف أن هذين البنيتين، مع إضافة حاصل الضرب، يؤديان إلى تعقيد كبير في نظرية الأطياف لأنه لا يمكن أن توجد فئة واحدة من الأطياف تلبي قائمة من خمس بديهيات تربط بين هذه البنيات. ^[1] إن الإضافة المذكورة أعلاه صالحة فقط في فئات التماثل المكاني للمساحات والأطياف، ولكن ليس دائمًا مع فئة محددة من الأطياف (ليس فئة التماثل المكاني).

طيف Ω هو طيف يكون فيه المرافق لخريطة البنية (أي الخريطة ) عبارة عن تكافؤ ضعيف. طيف نظرية K للحلقة هو مثال على طيف Ω. ${\displaystyle X_{n}\to \Omega X_{n+1}}$

طيف الحلقة هو طيف X بحيث تنتقل المخططات التي تصف بديهيات الحلقة من حيث حاصل الضرب الهامشي "حتى تصل إلى التماثل" ( يتوافق مع الهوية). على سبيل المثال، طيف نظرية الطوبولوجيا K هو طيف حلقي. يمكن تعريف طيف الوحدة على نحو مماثل.${\displaystyle S^{0}\to X}$

لمزيد من الأمثلة، راجع قائمة نظريات التجانس .

هناك ثلاث فئات طبيعية تكون كائناتها عبارة عن أطياف، وتكون أشكالها عبارة عن وظائف، أو خرائط، أو فئات هوموتوبيا محددة أدناه.

الدالة بين طيفين E و F هي عبارة _عن سلسلة من الخرائط من E _n إلى F _n التي تتنقل مع الخرائط Σ E _n  →  E n ₊₁ و Σ F _n  →  F _{n +1} .

بالنظر إلى طيف ، فإن الطيف الفرعي هو سلسلة من المجمعات الفرعية التي هي أيضًا طيف. نظرًا لأن كل خلية i في معلقة بخلية ( i  + 1) في ، فإن الطيف الفرعي المشترك النهائي هو طيف فرعي حيث يتم احتواء كل خلية من الطيف الأصلي في النهاية في الطيف الفرعي بعد عدد محدود من المعلقات. يمكن بعد ذلك تحويل الأطياف إلى فئة من خلال تعريف خريطة الأطياف لتكون دالة من طيف فرعي مشترك نهائي إلى ، حيث تمثل دالتان من هذا القبيل نفس الخريطة إذا تطابقتا في بعض الأطياف الفرعية المشتركة النهائية. بديهيًا، لا يلزم تعريف مثل هذه الخريطة للأطياف في كل مكان، بل يجب تعريفها في النهاية ، ويقال إن الخريطتين اللتين تتطابقان في طيف فرعي مشترك نهائي متكافئتان. وهذا يعطي فئة الأطياف (والخرائط)، وهي أداة رئيسية. يوجد تضمين طبيعي لفئة مجمعات CW المدببة في هذه الفئة: فهي تأخذ إلى طيف التعليق حيث يكون المركب n هو . ${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle E_{j+1}}$${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Sigma ^{n}Y}$

حاصل ضرب الطيف في مركب مدبب هو طيف معطى بواسطة (يؤدي ارتباط حاصل الضرب على الفور إلى أن هذا طيف بالفعل). يتوافق التماثل بين الأطياف مع خريطة ، حيث يعتبر الاتحاد المنفصل مع نقطة الأساس. ${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X}$${\displaystyle (E\wedge I^{+})\to F}$${\displaystyle I^{+}}$${\displaystyle [0,1]\sqcup \{*\}}$${\displaystyle *}$

تُعرَّف فئة التماثل المستقر ، أو فئة التماثل للأطياف (CW)، بأنها الفئة التي تكون أطيافها هي الأشياء التي تتكون منها، وتكون أشكالها هي فئات التماثل المستقر للخرائط بين الأطياف. تؤدي العديد من التعريفات الأخرى للطيف، والتي يبدو بعضها مختلفًا جدًا، إلى فئات تماثل مستقر مكافئة.

أخيرًا، يمكننا تعريف تعليق الطيف بواسطة . تعليق الترجمة هذا قابل للعكس، حيث يمكننا إلغاء التعليق أيضًا، عن طريق تعيين . ${\displaystyle (\Sigma E)_{n}=E_{n+1}}$${\displaystyle (\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}}$

إن فئة التماثل المستقر هي فئة إضافية: يمكن إضافة الخرائط باستخدام متغير من إضافة المسار المستخدم لتحديد مجموعات التماثل. وبالتالي فإن فئات التماثل من طيف إلى آخر تشكل مجموعة أبيلية. وعلاوة على ذلك، فإن فئة التماثل المستقر هي فئة مثلثية (Vogt (1970))، حيث يتم إعطاء التحول عن طريق التعليق والمثلثات المميزة عن طريق تسلسلات المخروط لتعيين الأطياف

${\displaystyle X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow (Y\cup CX)\cup CY\cong \Sigma X}$.

يمتد حاصل الضرب السحقي للأطياف إلى حاصل الضرب السحقي لمجمعات CW. إنه يحول فئة التماثل المستقر إلى فئة أحادية الشكل ؛ بعبارة أخرى، يتصرف مثل حاصل الضرب الموتر (المشتق) للمجموعات الإبلية. تتمثل المشكلة الرئيسية في حاصل الضرب السحقي في أن الطرق الواضحة لتعريفه تجعله ارتباطيًا وتبديليًا فقط حتى التماثل. بعض التعريفات الأحدث للأطياف، مثل الأطياف المتماثلة ، تزيل هذه المشكلة، وتعطي بنية أحادية الشكل متماثلة على مستوى الخرائط، قبل الانتقال إلى فئات التماثل.

إن حاصل الضرب المحطم متوافق مع هيكل الفئة المثلثية. وعلى وجه الخصوص، فإن حاصل الضرب المحطم لمثلث مميز ذي طيف هو مثلث مميز.

يمكننا تعريف مجموعات التماثل (المستقرة) لطيف ما على أنها تلك المعطاة بواسطة

${\displaystyle \displaystyle \pi _{n}E=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E]}$,

أين هو طيف الكرة و هو مجموعة فئات التماثل للخرائط من إلى . نحدد نظرية التماثل المعممة لطيف E بواسطة ${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E\wedge X]}$

وتعريف نظرية التجانس المعممة من خلال

${\displaystyle \displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].}$

هنا يمكن أن يكون طيفًا أو (باستخدام طيف تعليقه) مساحة. ${\displaystyle X}$

أحد التعقيدات التقليدية أثناء العمل مع الأطياف وتحديد فئة من الأطياف يأتي من حقيقة أن كل فئة من هذه الفئات لا يمكنها تلبية خمس بديهيات واضحة فيما يتعلق بمساحة الحلقة اللانهائية للطيف${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q:{\text{Top}}_{*}\to {\text{Top}}_{*}}$

إرسال

${\displaystyle QX=\mathop {\text{colim}} _{\to n}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

زوج من الدوال المتجاورة ، و و حاصل الضرب التحطيمي في كل من فئة الفضاءات وفئة الأطياف. إذا دعونا نشير إلى فئة فضاءات هاوسدورف الضعيفة المولدة بشكل مضغوط، و نشير إلى فئة الأطياف، فإن المسلمات الخمس التالية لا يمكن إشباعها أبدًا بالنموذج المحدد للأطياف: ^[1]${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle {\text{Top}}_{*}}$${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$

1. ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$هي فئة أحادية متماثلة فيما يتعلق بضرب السحق${\displaystyle \wedge }$
2. المتجه هو المرافق الأيسر لـ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }}$${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$
3. وحدة حاصل الضرب هي طيف الكرة${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S} }$
4. إما أن يكون هناك تحويل طبيعي أو تحويل طبيعي يتبادل مع الكائن الوحدوي في كلتا الفئتين، والتماثلات التبادلية والترابطية في كلتا الفئتين.${\displaystyle \phi :\left(\Omega ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Omega ^{\infty }E'\right)\to \Omega ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$${\displaystyle \gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$
5. هناك تكافؤ ضعيف طبيعي حيث يوجد مخطط تنقل:${\displaystyle \theta :\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\to QX}$${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\text{Top}}_{*})}$

   ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta } &\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\\{\mathord {=}}\downarrow &&\downarrow \theta \\X&\xrightarrow {i} &QX\end{matrix}}}$

   أين توجد خريطة الوحدة في الملحق؟${\displaystyle \eta }$

وبسبب هذا، فإن دراسة الأطياف مجزأة بناءً على النموذج المستخدم. للحصول على نظرة عامة، راجع المقال المذكور أعلاه.

تم تقديم نسخة من مفهوم الطيف في أطروحة الدكتوراه لعام 1958 لإيلون لاجيس ليما . كتب مستشاره إدوين سبانير المزيد حول هذا الموضوع في عام 1959. تم تبني الأطياف من قبل مايكل عطية وجورج دبليو وايتهايد في عملهما على نظريات التماثل المعممة في أوائل الستينيات. أعطت أطروحة الدكتوراه لعام 1964 لجيه مايكل بوردمان تعريفًا عمليًا لفئة من الأطياف والخرائط (وليس فقط فئات التماثل) بينهما، وهي مفيدة في نظرية التماثل المستقرة مثل فئة معقدات CW في الحالة غير المستقرة. (هذه هي الفئة الموضحة أعلاه بشكل أساسي، ولا تزال تستخدم لأغراض عديدة: للحصول على حسابات أخرى، انظر Adams (1974) أو Rainer Vogt (1970).) ومع ذلك، تم تحقيق تقدم نظري مهم آخر منذ عام 1990، مما أدى إلى تحسين الخصائص الرسمية للأطياف بشكل كبير. وبالتالي، تستخدم العديد من الأدبيات الحديثة تعريفات معدلة للطيف : انظر مايكل مانديل وآخرون. (2001) من أجل معالجة موحدة لهذه الأساليب الجديدة.

• طيف الحلقة
• طيف متماثل
• طيف ج
• رسم خرائط الطيف
• التعليق (الطوبولوجيا)
• تسلسل أدامز الطيفي

• آدامز، ج. فرانك (1974). التماثل المستقر والتماثل المعمم. مطبعة جامعة شيكاغو . رقم ISBN 9780226005249.
• إلمندورف، أنتوني د.؛ كريز، إيغور؛ مانديل، مايكل أ.؛ ماي، جيه بيتر (1995)، "الأسس الحديثة لنظرية التماثل المستقر" (PDF) ، في جيمس، يوان م. (المحرر)، دليل الطوبولوجيا الجبرية ، أمستردام: شمال هولندا، ص 213-253، CiteSeerX  10.1.1.55.8006 ، doi :10.1016/B978-044481779-2/50007-9، ISBN 978-0-444-81779-2السيد 1361891 ​

• مانديل، مايكل أ.؛ ماي، ج. بيتر ؛ شويدي، ستيفان؛ شيپلي، بروك (2001)، "فئات نموذجية لأطياف المخطط"، وقائع الجمعية الرياضية بلندن ، السلسلة 3، 82 (2): 441-512، CiteSeerX  10.1.1.22.3815 ، doi :10.1112/S0024611501012692، MR  1806878، S2CID  551246

• عطية، مايكل ف. (1961). "البوردية والكوبوردية". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 57 (2): 200-8. doi :10.1017/s0305004100035064. S2CID  122937421.

• ليما، إيلون لاجيس (1959)، "ثنائية سبانير-وايتهيد في فئات التماثل الجديدة"، مجلة سومما برازيل. الرياضيات ، 4 : 91-148، MR  0116332
• ليما، إيلون لاجيس (1960)، "ثوابت بوستنيكوف المستقرة ومزدوجيها"، مجلة سومما برازيل. الرياضيات ، 4 : 193-251
• فوجت، راينر (1970)، فئة التماثل المستقر لبوردمان، سلسلة مذكرات المحاضرات، رقم 21، معهد ماتيماتيسك، جامعة آرهوس، آرهوس، السيد  0275431
• وايت هيد، جورج دبليو . (1962)، "نظريات التماثل المعممة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 102 (2): 227-283، doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

• التسلسلات الطيفية - ألين هاتشر - تحتوي على مقدمة ممتازة للأطياف وتطبيقات لبناء التسلسل الطيفي لآدامز
• مشروع كتاب بلا عنوان عن الأطياف المتماثلة
• هل الأطياف هي نفسها نظريات التجانس حقا؟