منتج داخلي

في الرياضيات ، يُعرف الضرب الداخلي (ويُسمى أيضًا المشتقة الداخلية ، أو الضرب الداخلي ، أو الضرب الداخلي ، أو المشتقة الداخلية ، أو عامل الإدخال ، أو الانكماش ، أو الاشتقاق الداخلي ) بأنه اشتقاق ( أو اشتقاق عكسي) من الدرجة -1 على الجبر الخارجي للأشكال التفاضلية على مشعب أملس . يجب عدم الخلط بين الضرب الداخلي ، الذي سُمي بهذا الاسم في مقابل الضرب الخارجي .${\displaystyle \iota _{X}\omega }$تُكتب أحيانًا على النحو التالي:${\displaystyle \omega \mathbin {\lfloor } X}$، وهو ما يسمى بالانقباض الصحيح لـ${\displaystyle \omega }$مع X.​

يُعرَّف الضرب الداخلي بأنه انكماش شكل تفاضلي مع حقل متجه . وبالتالي، إذا${\displaystyle X}$هو حقل متجه على المتشعب${\displaystyle M,}$ثم $${\displaystyle \iota _{X}:\Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$$ هي الخريطة التي ترسل${\displaystyle p}$-استمارة${\displaystyle \omega }$إلى${\displaystyle (p-1)}$-استمارة${\displaystyle \iota _{X}\omega }$يُعرَّف بالخاصية التي $${\displaystyle (\iota _{X}\omega )\left(X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)=\omega \left(X,X_{1},\ldots ,X_{p-1}\right)}$$ لأي حقول متجهة${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p-1}.}$

متى${\displaystyle \omega }$هو حقل قياسي (بصيغة صفرية)،${\displaystyle \iota _{X}\omega =0}$بحسب العرف.

الضرب الداخلي هو الاشتقاق العكسي الوحيد من الدرجة -1 على الجبر الخارجي بحيث يكون على الأشكال الأحادية${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle ,}$$ أين${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$هل الازدواجية هي الاقتران بين${\displaystyle \alpha }$والمتجه${\displaystyle X.}$ بصراحة، إذا${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle p}$-form و${\displaystyle \beta }$هو${\displaystyle q}$-form، ثم $${\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=\left(\iota _{X}\alpha \right)\wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge \left(\iota _{X}\beta \right).}$$ تنص العلاقة المذكورة أعلاه على أن الضرب الداخلي يخضع لقاعدة لايبنتز المتدرجة . وتُسمى العملية التي تحقق الخطية وقاعدة لايبنتز اشتقاقًا.

إذا كانت الإحداثيات محلية${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$حقل المتجهات${\displaystyle X}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle X=f_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

ثم يُعطى الناتج الداخلي بواسطة $${\displaystyle \iota _{X}(dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n})=\sum _{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_{r}dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$$ أين${\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{r}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$هي الصيغة التي يتم الحصول عليها عن طريق حذف${\displaystyle dx_{r}}$من${\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$.

بسبب عدم تناظر الأشكال، $${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega ,}$$ وهكذا${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0.}$يمكن مقارنة ذلك بالمشتق الخارجي${\displaystyle d,}$والتي تمتلك العقار${\displaystyle d\circ d=0.}$

الضرب الداخلي بالنسبة لمبدل حقلين متجهين${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$يفي بالهوية $${\displaystyle \iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right]=\left[\iota _{X},{\mathcal {L}}_{Y}\right].}$$البرهان. لأي شكل k${\displaystyle \Omega }$،$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\Omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\Omega )=({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)+\Omega ({\mathcal {L}}_{X}Y,-)-({\mathcal {L}}_{X}\Omega )(Y,-)=\iota _{{\mathcal {L}}_{X}Y}\Omega =\iota _{[X,Y]}\Omega }$$وينطبق الأمر نفسه على النتيجة الأخرى.

يربط المنتج الداخلي بين المشتق الخارجي ومشتق لي للأشكال التفاضلية بواسطة صيغة كارتان (المعروفة أيضًا باسم هوية كارتان ، أو صيغة كارتان للتماثل ^{[ 1 ]} أو صيغة كارتان السحرية ) : $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .}$$

حيث استُخدم المُضاد للتبادل . تُعرّف هذه المتطابقة ازدواجية بين المشتقات الخارجية والداخلية. تُعدّ متطابقة كارتان مهمة في الهندسة التبسيطية والنسبية العامة : انظر خريطة الزخم . ^{[ 2 ]} سُمّيت صيغة كارتان للتماثل نسبةً إلى إيلي كارتان . ^{[ 3 ]}

في الجبر الخارجي على فضاء متجهي V ، يُعمم الضرب الداخلي لأي متجهين متعددين a و b . الضرب الداخلي الأيمن ، أو الانكماش الأيمن ،${\displaystyle \textstyle \mathbin {\lfloor }$ :\bigwedge V\times \bigwedge V\to \bigwedge V} تُعرَّف على النحو التالي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle a\mathbin {\lfloor } b=a\vee b^{\bigstar },}$

أين${\displaystyle \vee }$هو الناتج المضاد الخارجي (المعروف أيضًا باسم الناتج التراجعي)، والرمز العلوي${\displaystyle \bigstar }$يشير إلى الثنائية الهودجية . وبالمثل، فإن الضرب الداخلي الأيسر ، أو الانكماش الأيسر ،${\displaystyle \rfloor }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle a\mathbin {\rfloor } b=a_{\bigstar }\vee b,}$

حيث الرمز السفلي${\displaystyle \bigstar }$يشير إلى النسخة اليسرى من ثنائية هودج.

عندما يكون a و b متجهين متعددين متجانسين من نفس الدرجة، فإن حاصل الضرب الداخلي الأيسر والأيمن يختزل كل منهما إلى حاصل الضرب الداخلي بحيث

${\displaystyle a\mathbin {\lfloor } b=a\mathbin {\rfloor } b=a\cdot b.}$

بالنسبة لمتجه X (ذي الدرجة 1)، ومتجه متعدد متجانس a ذي الدرجة p ، ومتجه متعدد عشوائي b ، فإن الضرب الداخلي الأيمن يحقق القاعدة التالية:

${\displaystyle (a\wedge b)\mathbin {\lfloor } X=(a\mathbin {\lfloor } X)\wedge b+(-1)^{p}a\wedge (b\mathbin {\lfloor } X).}$

هذا هو النظير الدقيق لقاعدة لايبنتز للضرب المعطاة للمؤثر${\displaystyle \iota _{X}}$فوق.

• الضرب الغطاءي – طريقة في الطوبولوجيا الجبرية 
• الضرب الداخلي – فضاء متجهي مع الضرب النقطي المعمم. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• انكماش الموتر – عملية في الرياضيات 

• ثيودور فرانكل، هندسة الفيزياء: مقدمة ؛ مطبعة جامعة كامبريدج، الطبعة الثالثة، 2011
• لورينغ دبليو. تو، مقدمة في المتشعبات ، الطبعة الثانية، سبرينغر، 2011. doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6