انقباض العضلة الموترة

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر متعدد الخطوط ، انكماش الموتر هو عملية على موتر تنشأ من الاقتران الكنسي لفضاء متجهي وفضاءه الثنائي .

يوضح هذا المثال الذي يتضمن مصفوفتين صغيرتين (موترين) كيفية عمل ذلك. [1234][5678]=[1⋅5+2⋅71⋅6+2⋅83⋅5+4⋅73⋅6+4⋅8]=[19224350]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 5+2\cdot 7&1\cdot 6+2\cdot 8\\3\cdot 5+4\cdot 7&3\cdot 6+4\cdot 8\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}}}

عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام المصفوفات أو الموترات، يُفضّل غالبًا تحريك الموتر الثاني للأعلى ووضع النتيجة أسفله، وذلك لأغراض الحساب فقط. بهذه الطريقة، يشير كل صف من المصفوفة الأولى (1234) وكل عمود من المصفوفة الثانية (5678) إلى خلية النتيجة التي ينتجها. بالطبع، يمكن أن تكون هذه المصفوفات أكبر من 2×2؛ فغالبًا ما تُستخدم مصفوفات 3×3 أو 4×4، ولكن يُسمح بأي حجم.

يُكتب هذا باستخدام تدوين الفهرس البسيط.∑ج=12أأناج×بجك=جأناك{\textstyle \sum _{j=1}^{2}a_{ij}\times b_{jk}=c_{ik}}حيث تتراوح قيم i و j و k جميعها بين 1 و 2. لاحظ كيف يختفي المؤشر j، الموجود بينهما؛ هذا هو جوهر انكماش الموتر.

في تدوين أينشتاين ، سيكون هذاأأناج×بجك=جأناك{\textstyle a_{i}{}^{j}\times b_{j}{}^{k}=c_{i}{}^{k}}تعمل الأرقام المرتفعة تمامًا مثل الأرقام المنخفضة، ولكن بمعنى مختلف. يتم جمع الأرقام المكررة والمرفوعة والمخفضة فقط. يمكن أن تحتوي العناصر على أكثر من رقمين.

يمكن اعتبار انكماش الموتر بمثابة تعميم للأثر .

صياغة مجردة

ليكن V فضاءً متجهيًا على حقل k . جوهر عملية الانكماش، وأبسط حالاتها، هو الاقتران الكنسي بين V وفضائه المتجهي الثنائي V * . هذا الاقتران هو التطبيق الخطي من حاصل الضرب الموتري لهذين الفضائين إلى الحقل k .

ج:V⊗V*→ك{\displaystyle C:V\otimes V^{*}\rightarrow k}

يتوافق مع الشكل الثنائي الخطي

⟨v،و⟩=و(v){\displaystyle \langle v,f\rangle =f(v)}

حيث f تنتمي إلى V * و v تنتمي إلى V. تُعرّف الخريطة C عملية الانكماش على موتر من النوع (1، 1) ، وهو عنصر منV⊗V*{\displaystyle V\otimes V^{*}}لاحظ أن النتيجة هي كمية قياسية (عنصر من k ). في الأبعاد المحدودة ، باستخدام التشاكل الطبيعي بينV⊗V*{\displaystyle V\otimes V^{*}}ومساحة الخرائط الخطية من V إلى V ، [ 1 ] يحصل المرء على تعريف خالٍ من الأساس للأثر .

بشكل عام، يُعتبر الموتر من النوع ( m , n ) (حيث m ≥ 1 و n ≥ 1 ) عنصرًا من عناصر الفضاء المتجهي.

V⊗⋯⊗V⊗V*⊗⋯⊗V*{\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}

(حيث يوجد m عامل V و n عامل V * ). [ 2 ] [ 3 ] بتطبيق الاقتران المتعارف عليه على العامل V رقم k والعامل V * رقم l ، وباستخدام خاصية التطابق على جميع العوامل الأخرى، يتم تعريف عملية الانكماش ( k , l )، وهي دالة خطية تُنتج موترًا من النوع ( m -1, n -1) . [ 2 ] قياسًا على الحالة (1, 1) ، تُسمى عملية الانكماش العامة أحيانًا بالأثر.

الاختصار في تدوين الفهرس

في تدوين مؤشر الموتر ، يُرمز إلى الانكماش الأساسي بين متجه ومتجه ثنائي بـ

و~(v→)=وγvγ،{\displaystyle {\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },}

وهو اختصار لعملية جمع الإحداثيات الصريحة [ 4 ]

وγvγ=و1v1+و2v2+⋯+ونvن{\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}

(حيث تمثل v i مكونات v في أساس معين و f i مكونات f في الأساس الثنائي المقابل).

بما أن الموتر الثنائي المختلط العام هو تركيبة خطية من موترات قابلة للتحليل من الشكلو⊗v{\displaystyle f\otimes v}، ومن ثمّ، يمكن صياغة الصيغة الصريحة للحالة الثنائية كما يلي: ليكن

تي=تيجأناهـأنا⊗هـج{\displaystyle \mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}

ليكن موترًا ثنائيًا مختلطًا. عندئذٍ يكون انكماشه هو

تيجأناهـأنا⋅هـج=تيجأنادلتاأناج=تيجج=تي11+⋯+تينن{\displaystyle T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}}.

يُشار إلى الانكماش العام بتسمية مؤشرين، أحدهما متغاير والآخر متغاير عكسيًا، بنفس الحرف، مع افتراض الجمع على هذين المؤشرين بموجب اصطلاح الجمع . يرث الموتر المنكمش الناتج المؤشرات المتبقية من الموتر الأصلي. على سبيل المثال، يُكتب انكماش موتر T من النوع (2,2) على المؤشرين الثاني والثالث لإنشاء موتر جديد U من النوع (1,1) على النحو التالي:

تيأببج=∑بتيأببج=تيأ11ج+تيأ22ج+⋯+تيأننج=يوأج.{\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}

على النقيض من ذلك، دع

تي=هـأنا⊗هـج{\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}

ليكن موترًا ثنائيًا غير مختلط. هذا الموتر لا ينكمش؛ إذا تم ضرب متجهات قاعدته ضربًا نقطيًا، فإن النتيجة هي موتر القياس المتغاير .

زأناج=هـأنا⋅هـج،{\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j},}

رتبته 2.

الانقباض المتري

كما في المثال السابق، لا يمكن عمومًا إجراء عملية انكماش على زوج من المؤشرات التي تكون إما متغايرة عكسيًا أو متغايرة مشتركة. مع ذلك، في وجود جداء داخلي (يُعرف أيضًا بالمقياس ) g ، يصبح هذا الانكماش ممكنًا. يُستخدم المقياس لرفع أو خفض أحد المؤشرين، حسب الحاجة، ثم تُستخدم عملية الانكماش المعتادة. تُعرف العملية المُدمجة باسم انكماش المقياس . [ 5 ]

تطبيق على حقول الموترات

يُطبَّق الانكماش غالبًا على حقول الموترات فوق الفضاءات (مثل الفضاء الإقليدي ، أو المتشعبات ، أو المخططات ). ولأن الانكماش عملية جبرية بحتة، فإنه يُمكن تطبيقه نقطيًا على حقل الموترات، فمثلًا إذا كان T حقل موترات (1,1) على الفضاء الإقليدي، فإن انكماشه (حقل قياسي) U عند النقطة x يُعطى بالعلاقة التالية:

يو(x)=∑أناتيأناأنا(x){\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}

بما أن دور x ليس معقدًا هنا، فإنه غالبًا ما يتم حذفه، ويصبح الترميز لحقول الموترات مطابقًا للترميز الخاص بالموترات الجبرية البحتة.

على مشعب ريماني ، يتوفر مقياس (حقل من الجداءات الداخلية)، وتُعدّ كل من الانكماشات المترية وغير المترية أساسيةً للنظرية. على سبيل المثال، يُعدّ موتر ريتشي انكماشًا غير متري لموتر انحناء ريمان ، بينما يُعدّ الانحناء القياسي الانكماش المتري الوحيد لموتر ريتشي.

يمكن أيضًا النظر إلى انكماش حقل الموتر في سياق الوحدات النمطية على حلقة مناسبة من الدوال على المتشعب [ 5 ] أو في سياق حزم الوحدات النمطية على حزمة البنية؛ [ 6 ] انظر المناقشة في نهاية هذه المقالة.

تباعد الموتر

كتطبيق لانكماش حقل الموتر، ليكن V حقلاً متجهياً على مشعب ريماني (على سبيل المثال، الفضاء الإقليدي ).Vαβ{\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }}ليكن المشتق المتغير لـ V (في اختيار معين للإحداثيات). في حالة الإحداثيات الديكارتية في الفضاء الإقليدي، يمكن كتابة

Vαβ=∂Vα∂xβ.{\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.}

ثم يؤدي تغيير المؤشر β إلى α إلى ربط زوج المؤشرات ببعضهما البعض، بحيث ينكمش المشتق مع نفسه للحصول على المجموع التالي:

Vαα=V00+⋯+Vنن،{\displaystyle V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n},}

وهو التباعد div V. ثم

div⁡V=Vαα=0{\displaystyle \operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0}

هي معادلة استمرارية لـ V.

بشكل عام، يمكن تعريف عمليات التباعد المختلفة على حقول الموترات ذات الرتب الأعلى ، كما يلي: إذا كان T حقل موترات يحتوي على مؤشر متغاير واحد على الأقل، فإن أخذ التفاضل المتغاير ودمج المؤشر المتغاير المختار مع المؤشر المتغاير الجديد المقابل للتفاضل ينتج عنه موتر جديد رتبته أقل بواحد من رتبة T. [ 5 ]

انكماش زوج من الموترات

يمكن تعميم عملية الانكماش الأساسية (متجه مع متجه ثنائي) بطريقة مختلفة قليلاً، وذلك بالنظر إلى زوج من الموترات T و U. حاصل الضرب الموتريتي⊗يو{\displaystyle T\otimes U}هو موتر جديد، يمكن تقليصه إذا كان له على الأقل مؤشر متغاير واحد ومؤشر متغاير عكسي واحد. الحالة التي يكون فيها T متجهًا و U متجهًا ثنائيًا هي تحديدًا العملية الأساسية التي عُرضت أولًا في هذه المقالة.

في تدوين مؤشرات الموترات، لدمج موترين مع بعضهما، يتم وضعهما جنبًا إلى جنب (متجاورين) كعوامل لنفس الحد. هذا يُحقق ضرب الموترات، مُنتجًا موترًا مُركبًا. دمج مؤشرين في هذا الموتر المُركب يُحقق الدمج المطلوب بين الموترين.

على سبيل المثال، يمكن تمثيل المصفوفات كموترات من النوع (1,1) حيث يكون الفهرس الأول متغايرًا عكسيًا والفهرس الثاني متغايرًا مشتركًا.Λαβ{\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}لتكن مكونات مصفوفة واحدة ولتكنمβγ{\displaystyle \mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }}لتكن عناصر مصفوفة ثانية. عندئذٍ، يُعطى ضربهما بالانكماش التالي، وهو مثال على انكماش زوج من الموترات:

Λαβمβγ=شمالαγ.{\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }.}

كذلك، فإن الضرب الداخلي لمتجه ذي شكل تفاضلي هو حالة خاصة من انكماش موترين مع بعضهما البعض.

سياقات جبرية أكثر عمومية

ليكن R حلقة تبديلية، وليكن M وحدة حرة منتهية فوق R. عندئذٍ، يعمل الانكماش على جبر الموترات الكامل (المختلط) لـ M بنفس الطريقة التي يعمل بها في حالة الفضاءات المتجهة فوق حقل. (والحقيقة الأساسية هي أن الاقتران القانوني يظل مثاليًا في هذه الحالة).

بشكلٍ أعم، ليكن OX حزمة من الحلقات التبادلية فوق فضاء طوبولوجي X ، على سبيل المثال، يمكن أن يكون OX حزمة البنية لمتشعب معقد ، أو فضاء تحليلي ، أو مخطط . ولتكن M حزمة حرة محليًا من الوحدات النمطية فوق OX ذات رتبة منتهية. عندئذٍ ، يظل ثنائي M حسن السلوك [ 6 ] وتكون عمليات الانكماش منطقية في هذا السياق.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ليكن L( V , V ) فضاء التطبيقات الخطية من V إلى V. عندئذٍ يكون التطبيق الطبيعي V*⊗V→ل(V،V){\displaystyle V^{*}\otimes V\rightarrow L(V,V)} يتم تعريفها بواسطة و⊗v↦ز،{\displaystyle f\otimes v\mapsto g,} حيث g ( w ) = f ( w ) v . لنفترض أن V فضاء محدود الأبعاد. إذا كانت { vi } أساسًا لـ V و{ fi } الأساس الثنائي المقابل، فإنوأنا⊗vج{\displaystyle f^{i}\otimes v_{j}}تُشير الخرائط إلى التحويل الذي تحتوي مصفوفته في هذا الأساس على عنصر واحد غير صفري فقط، وهو 1 في الموضع i ، j . وهذا يُثبت أن الخريطة متماثلة.
  2. 1 2 فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . GTM . المجلد  129. نيويورك: سبرينغر. الصفحات 471-476 . ISBN  0-387-97495-4.
  3. ↑ وارنر، فرانك (1993). أسس المشعبات التفاضلية ومجموعات لي . GTM . المجلد 94. نيويورك: سبرينغر. الصفحات 54-56 . ISBN   0-387-90894-3.
  4. ↑ في الفيزياء (وأحيانًا في الرياضيات)، تبدأ المؤشرات غالبًا من الصفر بدلًا من الواحد. في الزمكان رباعي الأبعاد، تتراوح المؤشرات من 0 إلى 3.
  5. 1 2 3 أونيل، باريت (1983). الهندسة شبه الريمانية مع تطبيقات في النسبية . دار النشر الأكاديمية. ص 86. ISBN  0-12-526740-1.
  6. 1 2 هارتشورن، روبن (1977). الهندسة الجبرية . نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-90244-9.

مراجع