شكل تشيرن-سيمونز

في الرياضيات ، تُعرف أشكال تشيرن-سيمونز بأنها فئات مميزة ثانوية معينة . ^{[ 1 ]} سُميت النظرية نسبةً إلى شينغ-شين تشيرن وجيمس هاريس سيمونز ، المؤلفين المشاركين في ورقة بحثية نُشرت عام 1974 بعنوان "الأشكال المميزة والثوابت الهندسية"، والتي انبثقت منها النظرية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

بفرض وجود متعدد الشعب وجبر لي ذي قيمة من الدرجة الأولى${\displaystyle \mathbf {A} }$وبناءً على ذلك، يمكننا تعريف عائلة من الأشكال p : ^{[ 4 ]}

في بُعد واحد، يُعطى شكل تشيرن-سيمونز من الرتبة 1 بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ].}$

في ثلاثة أبعاد، يُعطى شكل تشيرن-سيمونز الثلاثي بالصيغة التالية

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}$

في خمسة أبعاد، يُعطى شكل تشيرن-سيمونز الخماسي بالصيغة التالية:

$[6pt] = {}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}}}$

حيث يُعرَّف الانحناء F على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

الشكل العام لتشيرن-سيمونز${\displaystyle \أوميغا _{2k-1}}$يتم تعريفها بطريقة تجعل

${\displaystyle d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} (F^{k}),}$

حيث يُستخدم الضرب الخارجي لتعريف F ^k . يتناسب الطرف الأيمن من هذه المعادلة مع خاصية تشيرن رقم k للوصلة.${\displaystyle \mathbf {A} }$.

بشكل عام، يتم تعريف شكل تشيرن-سيمونز p لأي p فردي . ^{[ 5 ]}

في عام 1978، صاغ ألبرت شوارتز نظرية تشيرن-سيمونز ، وهي نظرية حقل كمومي طوبولوجية مبكرة ، باستخدام أشكال تشيرن-سيمونز. ^{[ 6 ]}

في نظرية القياس ، يعتبر التكامل من شكل تشيرن-سيمونز ثابتًا هندسيًا عالميًا، وعادة ما يكون ثابتًا قياسيًا بتردد جمع عدد صحيح.

• تماثل تشيرن-ويل
• الشذوذ الكيرالي
• نظرية المجال الكمومي الطوبولوجية
• متعددة حدود جونز

• بيرتلمان، راينهولد أ. (2001). "صيغة تشيرن-سيمونز، ومؤثر التماثل، والشذوذ" . الشذوذ في نظرية الحقل الكمومي (  طبعة منقحة). مطبعة كلارندون . ص 321-341 . ISBN  0-19-850762-3.